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IX. Logarithmusfunktionen
1. Die Differentiation der Umkehrfunktion
Die Steigung einer Funktion und die Steigung ihrer Umkehrfunktion hängen eng miteinander
zusammen. Im Folgenden werden wir diesen Zusammenhang geometrisch-anschaulich herleiten
und begründen.
Wir betrachten den Punkt Px ð jfx
ðÞÞ auf
dem Graphen der Funktion f.
P 0 ðfx
ðÞx j Þist dann der Spiegelpunkt von P
auf dem Graphen der Umkehrfunktion f 1 .
In den Punkten P und P 0 zeichnen wir jeweils
ein Tangentenstück mit Steigungsdreieck
ein. Die beiden Steigungsdreiecke
sind dann offensichtlich ebenfalls spiegelgleich.
f hat im Punkt P die Steigung f 0 ðxÞ¼ b a .
f
1 dagegen hat im Spiegelpunkt P 0 die
Steigung ðf 1 Þ 0 ðfx
ðÞÞ¼ a b .
Die erste Steigung ist also der Kehrwert
des zweiten Steigungswertes. Daraus ergibt
sich die nebenstehend aufgeführte
Umkehrformel.
y
f(x)
x
P
a
x
b
f
a
b
f(x)
P'
f -1
f sei eine umkehrbare, an der Stelle x differenzierbare
Funktion mit f 0 ðÞ6¼ x 0. Dann gilt
die sogenannte
Umkehrformel „1. Fassung“
f 0 ð
1
xÞ¼ .
ðf 1 Þ 0 ðfx
ð ÞÞ Die Ableitung einer Funktion an der Stelle x
ist gleich dem Kehrwert der Ableitung ihrer
Umkehrfunktion an der Stelle f(x).
x
c
.................................................................
c
Die Umkehrformel kann die Differentiation einer Funktion vereinfachen, wenn ihre Umkehrfunktion
in einfacher Weise differenziert werden kann.
Beispiel: Berechnen Sie die Ableitung der Funktion fðxÞ¼
3p ffiffiffi x ðx > 0Þ.
Lösung:
Leicht zu differenzieren ist die Umkehrfunktion
f 1 ðxÞ¼ x 3 . Deren Ableitung an
der Stelle x ist ðf 1 Þ 0 ðÞ¼ x 3x 2 .
In der Umkehrformel benötigen wir
ðf 1 Þ 0 ðfðxÞÞ ¼ ðf 1 Þ 0 ffiffi
ð 3p ffiffi
x Þ¼3ð 3p
x Þ 2 .
Setzen wir dies in die Umkehrformel ein,
so erhalten wir das Resultat:
f 0 ðÞ¼ x
1
3
ffiffi 3p 2
.
x
Umkehrfunktion von f:
fx ðÞ¼ 3p ffiffi x
f 1 ðxÞ¼x 3
Ableitung von f –1 :
ðf 1 Þ 0 ðxÞ¼3x 2
Ableitung von f:
f 0 1
ðÞ¼ x
ð
f 1
1
¼
ðf 1 Þ 0 ffiffi
3p
x
¼ 1 ffiffi 3 3p 2
x
Þ 0 ðfx
ð ÞÞ