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188 VII. Integrationsmethoden Übungen 5. Berechnen Sie die folgenden Integrale mittels Substitution (Typ 1). ð ð ð a) ð3xþ 5Þ 4 dx b) cosð2x þ 3Þdx c) ð1 xÞ 2 dx ð ð ð d) sinx cos 2 x xdx e) 3 sin x dx f) ð1 þ x 4 Þ 2 cos 4 x dx 6. Berechnen Sie die folgenden bestimmten Integrale. a) d) ð 1 0 ð 2 1 1 dx b) ð1 þ xÞ 2 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x 1 þ x 2 3p dx e) ð 4 0 ð 5 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 9 2xdx c) p x ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 5 x dx f) 0,5 ð x 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 x 3 0 ð 3 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x 5xþ 1 0 7. Berechnen Sie die aufgeführten Integrale mit der angegebenen Substitution. ð ð 1 a) p x ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx Substitution: x ¼ 1 b) pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x dx Substitution: z ¼ a 2 x 2 x 2 1 z a 2 x 2 ð ð 1 c) dx Substitution: z ¼ tanx d) pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 9 x 2 dx Substitution: x ¼ 3sinz sin 2 x 8. Die folgenden Integrale sind nicht ganz einfach zu knacken. Versuchen Sie es. ð ð ð 1 a) pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx b) sin 3 x cos 3 x xdx c) pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 dx pffiffi x þ 1 9. Zeigen Sie, dass für den Flächeninhalt eines Kreises mit einem beliebigen Radius r (r > 0) die bekannte Formel A ¼ pr 2 gilt. Gehen Sie dabei folgendermaßen vor: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a) Begründen Sie: A ¼ 2 r 2 x 2 dx ð r r 1 x 2 dx dx b) Berechnen Sie das bestimmte Integral mit Hilfe der Substitution x ¼ rsinz. 10. Zeigen Sie, dass für den Flächeninhalt eines Kreissegments über dem Winkel a (im Bogenmaß b) in einem Kreis mit einem beliebigen Radius r die Formel A ¼ r2 ð 2 b sinbÞ gilt. 11. Zeigen Sie, dass für den Flächeninhalt einer Ellipse A ¼ pab gilt. y b Hinweis: Die Koordinaten x, y eines Punktes der Ellipse genügen der Gleichung x2 þ y2 ¼ 1. a 2 b 2 -a -b a x
VII. Integrationsmethoden 189 Überblick Regel zur Produktintegration ð ð u 0 vdx¼ uv u v 0 dx Substitutionsmethode Typ-I-Substitution Besitzt das Integral die Gestalt Ð fðgðxÞÞ g 0 ðxÞ dx, dann substituiert man gðxÞ¼z und erhält das Integral Ð fðzÞ dz. Ist FðzÞ Stammfunktion von fðzÞ, dann ergibt sich nach Rücksubstitution z ¼ gðxÞ im Ergebnis FðgðxÞÞ als Stammfunktion des Ausgangsintegranden fðgðxÞÞ g 0 ðxÞ. Typ-II-Substitution Liegt der Integrand nicht in der Typ-I-Form fðgðxÞÞ g 0 ðxÞ vor, dann kann man versuchen, mittels Substitution der Integrationsvariablen x durch einen Term tðzÞ das Integral Ð fðxÞ dx in das Integral Ð fðtðzÞÞ t 0 ðzÞ dz zu transformieren, das im günstigsten Fall einfacher zu lösen ist als das Ausgangsintegral. Differentiale dx und dy Der formale Umgang mit Differentialen leistet gute Dienste bei der Substitutionsmethode. Anschaulich sind die Differentiale dx und dy die Kathetenlängen in Steigungsdreiecken einer Kurventangente. Dabei ist dx der Tangentenzuwachs in x-Richtung und dy der Tangentenzuwachs in y-Richtung. Ist f 0 ðxÞ die Steigung des Funktionsgraphen im entsprechenden Kurvenpunkt PðxjfðxÞÞ, dann gilt für den Quotienten der Differentiale: y P Graph f dy dx Tangente dy dx ¼ f0 ðxÞ; also dy ¼ f 0 ðxÞdx: x
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