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186 VII. Integrationsmethoden ............................................................................................................................................................................ Der Flächeninhalt eines Kreises bzw. eines Kreissegments Mithilfe der Integralrechnung können wir die aus der Sekundarstufe I bekannten Formeln für den Inhalt einer Kreisfläche und eines Kreissegments herleiten. Wir werden zunächst den Flächeninhalt des Einheitskreises bestimmen. c Beispiel: Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Einheitskreises (Radius r ¼ 1). Lösung: Aus Symmetriegründen kann zunächst der Flächeninhalt der oberen Hälfte des Einheitskreises berechnet werden. 1. Aufstellen der Halbkreisfunktion: Die Koordinaten x und y eines Punktes des oberen Halbkreises genügen der Gleichung x 2 þ y 2 ¼ 1. 2. Flächeninhalt des Halbkreises: Wir berechnen zunächst den Flächeninhalt des Halbkreises. p Da dieser durch die Funktion fðxÞ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 x 2 , 1 x 1, darstellbar ist, gilt für den Inhalt der Halbkreisfläche: A Halbkreis ¼ ð 1 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 x 2 dx: 3. Berechnung des bestimmten Integrals: Wir berechnen das bestimmte Integral mittels Substitution. Dabei verwenden wir die Typ-2-Substitution x ¼ sin z. Durchläuft die ursprüngliche Integrationsvariable x Werte von 1 bis 1, so durchläuft die neue Integrationsvariable z monoton p 2 bis p 2 : Wir erhalten schließlich ein Integral, das durch Produktintegration bestimmt werden kann. 4. Flächeninhalt des Einheitskreises: Für den Flächeninhalt des gesamten Einheitskreises gilt: A Kreis ¼ 2 A Halbkreis . c Somit erhalten wir insgesamt A Kreis ¼ p. -1 x 2 þ y 2 ¼ 1 ðSatz des PythagorasÞ Halbkreisfunktion: p fðxÞ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 ¼ x 2 , 1 x 1 Flächeninhalt des Halbkreises: A Halbkreis ¼ ð 1 1 y 1 1 x . pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 x 2 dx Substitution: x ¼ sin z dx Differentiale: ¼ cos z, dx ¼ cos z dz dz Integrationsgrenzen: xl€auft von 1 bis 1 zl€auft von ð 1 1 ¼ ¼ p 4 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 x 2 dx ¼ ð p 2 p 2 ð p 2 p 2 y 1 x p 2 bis p 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 sin 2 z cos z dz h cos 2 zdz¼ 1 ðz þ sin z cos zÞ 2 p 4 ¼ p 2 A Kreis ¼ 2 A Halbkreis ¼ 2 p 2 ¼ p i p 2 p 2
1. 2. Die Produktintegration Substitutionsmethode 187 c ..................................................................................................................................................................................... c Wir wollen nun eine Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Kreisabschnitts entwickeln. Hierzu beschränken wir uns erneut auf den Einheitskreis. A ¼ 1 2 ðb sin bÞ: A ¼ 2 A 1 ¼ 1 2 ðb sin bÞ y Beispiel: Bestimmen Sie den Flächeninhalt 1 eines Kreissegments über dem Winkel a, dessen Bogenmaß b ist, im Einheitskreis. -1 b 1 x Lösung: y p 1. Aufstellen des bestimmten Integrals: 1 y ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 x 2 ,0 x 1 Um den Flächeninhalt eines Kreissegments zu berechnen, können wir auch hier b 2 aus Symmetriegründen zunächst den Inhalt /2 . A 1 der halben Fläche A 1 (rot) berechnen, 1 x cos die die Halbkreisfunktion h mit ider x-Achse 2 über dem Intervall cos b 2 , 1 einschließt. Flächeninhalt des Kreissegments: Diese lässt sich durch das folgende bestimmte Integral darstellen: A ¼ 2 A 1 ð 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi A 1 ¼ 1 x 2 dx A 1 ¼ 1 x 2 dx: cos b 2 cos b 2 2. Berechnung des bestimmten Integrals: Substitution: x ¼ sin z, z ¼ arcsin x Wir berechnen zunächst eine Stammfunktion des Integranden mithilfe der Substitu- 1 x 2 dx ¼ 1 sin 2 z cos z dz ðpffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðpffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi tion x ¼ sin z analog zum vorigen Beispiel. ð ¼ cos 2 zdz¼ 1 ðsin z cos z þ zÞþC 2 Durch Resubstitution von z ¼ arcsin x erhalten Resubstitution: z ¼ arcsin x, sin z ¼ x wir unter Berücksichtigung der Ei- sinðarcsinÞ x ¼ x qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi genschaften einer Umkehrfunktion und p cos z ¼ 1 sin des trigonometrischen Pythagoras die nebenstehende Stammfunktion des Integran- ðarcsin xÞ ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 x 2 ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 x den. dx ¼ 1 2 x p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 x 2 þ 1 2 arcsin x þ C Das Einsetzen der Integrationsgrenzen liefert nun das bestimmte Integral in Abhän- Einsetzen der Integrationsgrenzen: h gigkeit des Winkels im Bogenmaß b. A 1 ¼ 1 2 x p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi i 1 1 x 2 þ 1 2 arcsin x cos b 2 ¼ p 1 4 2 cos b 2 sin b 1 2 2 arcsin sin p b 2 2 3. Flächeninhalt des Kreissegments: ¼ p 1 4 4 sin b 1 p b 2 2 2 ¼ 1 4 ðb sin bÞ Für den Flächeninhalt des gesamten Kreissegments erhalten wir somit Flächeninhalt des Kreissegments:
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1. 2. Die Produktintegration Substitutionsmethode<br />
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c<br />
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c<br />
Wir wollen nun eine Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Kreisabschnitts entwickeln.<br />
Hierzu beschränken wir uns erneut auf den Einheitskreis.<br />
A ¼ 1 2 ðb sin bÞ: A ¼ 2 A 1 ¼ 1 2 ðb sin bÞ<br />
y<br />
Beispiel: Bestimmen Sie den Flächeninhalt<br />
1<br />
eines Kreissegments über dem<br />
Winkel a, dessen Bogenmaß b ist, im<br />
Einheitskreis.<br />
-1<br />
b<br />
1 x<br />
Lösung:<br />
y<br />
p<br />
1. Aufstellen des bestimmten Integrals:<br />
1 y ¼<br />
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi<br />
1 x 2 ,0 x 1<br />
Um den Flächeninhalt eines Kreissegments<br />
zu berechnen, können wir auch hier<br />
b<br />
2<br />
aus Symmetriegründen zunächst den Inhalt<br />
/2 .<br />
A 1<br />
der halben Fläche A 1 (rot) berechnen,<br />
1 x<br />
cos<br />
die die Halbkreisfunktion h mit ider x-Achse<br />
2<br />
über dem Intervall cos b 2 , 1 einschließt. Flächeninhalt des Kreissegments:<br />
Diese lässt sich durch das folgende bestimmte<br />
Integral darstellen:<br />
A ¼ 2 A 1<br />
ð 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi<br />
ð 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi<br />
A 1 ¼ 1 x 2 dx<br />
A 1 ¼ 1 x 2 dx:<br />
cos b 2<br />
cos b 2<br />
2. Berechnung des bestimmten Integrals: Substitution: x ¼ sin z, z ¼ arcsin x<br />
Wir berechnen zunächst eine Stammfunktion<br />
des Integranden mithilfe der Substitu-<br />
1 x 2 dx ¼ 1 sin 2 z cos z dz<br />
ðpffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi<br />
ðpffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi<br />
tion x ¼ sin z analog zum vorigen Beispiel.<br />
ð<br />
¼ cos 2 zdz¼ 1 ðsin z cos z þ zÞþC<br />
2<br />
Durch Resubstitution von z ¼ arcsin x erhalten<br />
Resubstitution: z ¼ arcsin x, sin z ¼ x<br />
wir unter Berücksichtigung der Ei-<br />
sinðarcsinÞ x ¼ x<br />
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi<br />
genschaften einer Umkehrfunktion und<br />
p<br />
cos z ¼ 1 sin<br />
des trigonometrischen Pythagoras die nebenstehende<br />
Stammfunktion des Integran-<br />
ðarcsin xÞ ¼<br />
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi<br />
1 x 2<br />
ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi<br />
1 x<br />
den.<br />
dx ¼ 1 2 x<br />
p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi<br />
1 x 2 þ 1 2 arcsin x þ C<br />
Das Einsetzen der Integrationsgrenzen liefert<br />
nun das bestimmte Integral in Abhän-<br />
Einsetzen der Integrationsgrenzen:<br />
h<br />
gigkeit des Winkels im Bogenmaß b.<br />
A 1 ¼ 1 2 x<br />
p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi i 1<br />
1 x 2 þ 1 2 arcsin x<br />
cos b 2<br />
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¼ p 1<br />
4 2 cos b 2 sin b 1<br />
2 2 arcsin sin p b<br />
2 2<br />
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3. Flächeninhalt des Kreissegments:<br />
¼ p 1<br />
4 4 sin b 1 p b<br />
2 2 2<br />
¼ 1 4 ðb sin bÞ<br />
Für den Flächeninhalt des gesamten Kreissegments<br />
erhalten wir somit<br />
Flächeninhalt des Kreissegments:
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