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186 VII. Integrationsmethoden ............................................................................................................................................................................ Der Flächeninhalt eines Kreises bzw. eines Kreissegments Mithilfe der Integralrechnung können wir die aus der Sekundarstufe I bekannten Formeln für den Inhalt einer Kreisfläche und eines Kreissegments herleiten. Wir werden zunächst den Flächeninhalt des Einheitskreises bestimmen. c Beispiel: Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Einheitskreises (Radius r ¼ 1). Lösung: Aus Symmetriegründen kann zunächst der Flächeninhalt der oberen Hälfte des Einheitskreises berechnet werden. 1. Aufstellen der Halbkreisfunktion: Die Koordinaten x und y eines Punktes des oberen Halbkreises genügen der Gleichung x 2 þ y 2 ¼ 1. 2. Flächeninhalt des Halbkreises: Wir berechnen zunächst den Flächeninhalt des Halbkreises. p Da dieser durch die Funktion fðxÞ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 x 2 , 1 x 1, darstellbar ist, gilt für den Inhalt der Halbkreisfläche: A Halbkreis ¼ ð 1 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 x 2 dx: 3. Berechnung des bestimmten Integrals: Wir berechnen das bestimmte Integral mittels Substitution. Dabei verwenden wir die Typ-2-Substitution x ¼ sin z. Durchläuft die ursprüngliche Integrationsvariable x Werte von 1 bis 1, so durchläuft die neue Integrationsvariable z monoton p 2 bis p 2 : Wir erhalten schließlich ein Integral, das durch Produktintegration bestimmt werden kann. 4. Flächeninhalt des Einheitskreises: Für den Flächeninhalt des gesamten Einheitskreises gilt: A Kreis ¼ 2 A Halbkreis . c Somit erhalten wir insgesamt A Kreis ¼ p. -1 x 2 þ y 2 ¼ 1 ðSatz des PythagorasÞ Halbkreisfunktion: p fðxÞ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 ¼ x 2 , 1 x 1 Flächeninhalt des Halbkreises: A Halbkreis ¼ ð 1 1 y 1 1 x . pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 x 2 dx Substitution: x ¼ sin z dx Differentiale: ¼ cos z, dx ¼ cos z dz dz Integrationsgrenzen: xl€auft von 1 bis 1 zl€auft von ð 1 1 ¼ ¼ p 4 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 x 2 dx ¼ ð p 2 p 2 ð p 2 p 2 y 1 x p 2 bis p 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 sin 2 z cos z dz h cos 2 zdz¼ 1 ðz þ sin z cos zÞ 2 p 4 ¼ p 2 A Kreis ¼ 2 A Halbkreis ¼ 2 p 2 ¼ p i p 2 p 2
1. 2. Die Produktintegration Substitutionsmethode 187 c ..................................................................................................................................................................................... c Wir wollen nun eine Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Kreisabschnitts entwickeln. Hierzu beschränken wir uns erneut auf den Einheitskreis. A ¼ 1 2 ðb sin bÞ: A ¼ 2 A 1 ¼ 1 2 ðb sin bÞ y Beispiel: Bestimmen Sie den Flächeninhalt 1 eines Kreissegments über dem Winkel a, dessen Bogenmaß b ist, im Einheitskreis. -1 b 1 x Lösung: y p 1. Aufstellen des bestimmten Integrals: 1 y ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 x 2 ,0 x 1 Um den Flächeninhalt eines Kreissegments zu berechnen, können wir auch hier b 2 aus Symmetriegründen zunächst den Inhalt /2 . A 1 der halben Fläche A 1 (rot) berechnen, 1 x cos die die Halbkreisfunktion h mit ider x-Achse 2 über dem Intervall cos b 2 , 1 einschließt. Flächeninhalt des Kreissegments: Diese lässt sich durch das folgende bestimmte Integral darstellen: A ¼ 2 A 1 ð 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi A 1 ¼ 1 x 2 dx A 1 ¼ 1 x 2 dx: cos b 2 cos b 2 2. Berechnung des bestimmten Integrals: Substitution: x ¼ sin z, z ¼ arcsin x Wir berechnen zunächst eine Stammfunktion des Integranden mithilfe der Substitu- 1 x 2 dx ¼ 1 sin 2 z cos z dz ðpffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðpffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi tion x ¼ sin z analog zum vorigen Beispiel. ð ¼ cos 2 zdz¼ 1 ðsin z cos z þ zÞþC 2 Durch Resubstitution von z ¼ arcsin x erhalten Resubstitution: z ¼ arcsin x, sin z ¼ x wir unter Berücksichtigung der Ei- sinðarcsinÞ x ¼ x qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi genschaften einer Umkehrfunktion und p cos z ¼ 1 sin des trigonometrischen Pythagoras die nebenstehende Stammfunktion des Integran- ðarcsin xÞ ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 x 2 ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 x den. dx ¼ 1 2 x p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 x 2 þ 1 2 arcsin x þ C Das Einsetzen der Integrationsgrenzen liefert nun das bestimmte Integral in Abhän- Einsetzen der Integrationsgrenzen: h gigkeit des Winkels im Bogenmaß b. A 1 ¼ 1 2 x p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi i 1 1 x 2 þ 1 2 arcsin x cos b 2 ¼ p 1 4 2 cos b 2 sin b 1 2 2 arcsin sin p b 2 2 3. Flächeninhalt des Kreissegments: ¼ p 1 4 4 sin b 1 p b 2 2 2 ¼ 1 4 ðb sin bÞ Für den Flächeninhalt des gesamten Kreissegments erhalten wir somit Flächeninhalt des Kreissegments:
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VII. Integrationsmethoden<br />
............................................................................................................................................................................<br />
Der Flächeninhalt eines Kreises bzw. eines Kreissegments<br />
Mithilfe der Integralrechnung können wir die aus der Sekundarstufe I bekannten Formeln für den<br />
Inhalt einer Kreisfläche und eines Kreissegments herleiten. Wir werden zunächst den Flächeninhalt<br />
des Einheitskreises bestimmen.<br />
c Beispiel: Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Einheitskreises (Radius r ¼ 1).<br />
Lösung:<br />
Aus Symmetriegründen kann zunächst der<br />
Flächeninhalt der oberen Hälfte des Einheitskreises<br />
berechnet werden.<br />
1. Aufstellen der Halbkreisfunktion:<br />
Die Koordinaten x und y eines Punktes des<br />
oberen Halbkreises genügen der Gleichung<br />
x 2 þ y 2 ¼ 1.<br />
2. Flächeninhalt des Halbkreises:<br />
Wir berechnen zunächst den Flächeninhalt<br />
des Halbkreises. p Da dieser durch die Funktion<br />
fðxÞ¼<br />
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi<br />
1 x 2 , 1 x 1, darstellbar<br />
ist, gilt für den Inhalt der Halbkreisfläche:<br />
A Halbkreis ¼<br />
ð 1 1<br />
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi<br />
1 x 2 dx:<br />
3. Berechnung des bestimmten Integrals:<br />
Wir berechnen das bestimmte Integral mittels<br />
Substitution. Dabei verwenden wir die<br />
Typ-2-Substitution x ¼ sin z.<br />
Durchläuft die ursprüngliche Integrationsvariable<br />
x Werte von 1 bis 1, so durchläuft<br />
die neue Integrationsvariable z monoton<br />
p<br />
2 bis p 2 :<br />
Wir erhalten schließlich ein Integral, das<br />
durch Produktintegration bestimmt werden<br />
kann.<br />
4. Flächeninhalt des Einheitskreises:<br />
Für den Flächeninhalt des gesamten Einheitskreises<br />
gilt: A Kreis ¼ 2 A Halbkreis .<br />
c Somit erhalten wir insgesamt A Kreis ¼ p.<br />
-1<br />
x 2 þ y 2 ¼ 1 ðSatz des PythagorasÞ<br />
Halbkreisfunktion:<br />
p<br />
fðxÞ¼<br />
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi<br />
1 ¼ x 2 , 1 x 1<br />
Flächeninhalt des Halbkreises:<br />
A Halbkreis ¼<br />
ð 1 1<br />
y<br />
1<br />
1<br />
x<br />
.<br />
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi<br />
1 x 2 dx<br />
Substitution: x ¼ sin z<br />
dx<br />
Differentiale: ¼ cos z, dx ¼ cos z dz<br />
dz<br />
Integrationsgrenzen:<br />
xl€auft von 1 bis 1<br />
zl€auft von<br />
ð 1 1<br />
¼<br />
¼ p 4<br />
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi<br />
1 x 2 dx ¼<br />
ð p 2<br />
p<br />
2<br />
ð p 2<br />
p<br />
2<br />
y<br />
1<br />
x<br />
p<br />
2 bis p 2<br />
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi<br />
1 sin 2 z cos z dz<br />
h<br />
cos 2 zdz¼ 1 ðz þ sin z cos zÞ<br />
2<br />
<br />
p<br />
4<br />
<br />
¼ p 2<br />
A Kreis ¼ 2 A Halbkreis<br />
¼ 2 p 2 ¼ p<br />
i p<br />
2<br />
p<br />
2
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