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184 VII. Integrationsmethoden Bemerkung zur Substitution bei bestimmten Integralen: Substituiert man bei bestimmten Integralen die Integrationsgrenzen mit, so ist darauf zu achten, dass der Substitutionsterm über dem Integrationsintervall monoton ist. Wir wollen an einem Gegenbeispiel demonstrieren, dass eine Nichtbeachtung der Monotonie zu einem falschen Ergebnis führt. Hierzu bearbeiten wir das bestimmte Integral 1 x 2 dx mithilfe der Substitutions- Ð 1 methode. Mit der Substitution z ¼ x 2 erhält man die nebenstehende Rechnung. Ersetzt man nun die Integrationsgrenzen einfach durch die entsprechenden Randwerte, wie rechts dargestellt, so ergibt sich als Ergebnis 0. Substitution: z ¼ x 2 p ) x ¼ ffiffi z Differentiale: z 0 ¼ dz dz ¼ 2x) dx ¼ dx 2x Integrationsgrezen: xl€auft von 1 bis 1 zl€auft von 1 bis 1 Rechnung: ð 1 ð 1 x 2 dx ¼ 1 1 ð 1 z dz p 2 ffiffi ¼ 1 z 2 1 pffiffi z dz ¼ 0 Dies widerspricht aber der nebenstehenden Berechnung des bestimmten Integrals mithilfe der Potenzregel der Integration. Bei der Lösung mithilfe der Substitutionsmethode wurde bei der Ersetzung der Integrationsgrenzen die Monotonie des Substitutionsterms im gegebenen Integrationsintervall nicht sichergestellt, sodass man ein falsches Ergebnis erhielt. Denn während x alle Werte von 1 bis 1 annimmt, durchläuft z alle Werte von 1 bis 0 und von 0 bis 1. Dieser Prozess muss bei der Substitution berücksichtigt werden. Man kann das Integrationsintervall in zwei Teilintervalle unterteilen, über denen jeweils die Monotonie des Substitutionsterms vorliegt. Beim vorliegenden Beispiel muss man also zunächst von 0 bis 1 integrieren und dann das Doppelte bilden. Lösung mithilfe der Potenzregel: ð 1 h i 1 x 2 dx ¼ 1 3 x3 ¼ 1 1 1 3 3 1 ð 1 x 2 dx ¼ 1 ð 1 0 1 z ¼ 2 3 z = x 2 -1 1 x pffiffi h pffiffiffiffii 1 z dz ¼ 2 z 3 3 ¼ 2 0 3 Bestimmt man jedoch zunächst wie im 1. Verfahren auf S.275 eine Stammfunktion von x 2 und bildet erst nach der Resubstitution das bestimmte Integral, so ergibt sich, da die Stammfunktion von x abhängt, das richtige Ergebnis. ð ð x 2 dx ¼ 1 pffiffi pffiffiffiffi z 2 dz ¼ 1 z 3 3 þ C ¼ 1 3 x3 þ C ð 1 h i 1 x 2 dx ¼ 1 3 x3 ¼ 1 1 3 1 1 3 ¼ 2 3
1. 2. Die Produktintegration Substitutionsmethode 185 Kombination von Substitutionsmethode und Produktintegration Wir behandeln nun exemplarisch eine Aufgabe, bei welcher das involvierte Integral nur noch durch den geballten Einsatz gleich mehrerer Integrationsmethoden gelöst werden kann. c ........................................................................................... ð Beispiel: Gesucht ist das unbestimmte Integral arcsin x dx. Lösung: Wir kennen weder eine Stammfunktion von arcsin x, noch sind Ansatzpunkte für eine erfolgversprechende Substitution in Sicht. Jedoch ist uns aufgrund des Beispiels auf Seite 273 die Ableitung von arcsin x bekannt: ðarcsin xÞ 0 ¼ p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 . Ist eine Funktion zu integrieren, deren Ableitung 1 x 2 relativ einfach ist, so kann man den Integranden gewissermaßen „künstlich“ als Produkt mithilfe des Faktors 1 darstellen und dann eine Produktintegration vornehmen (Typ 3 der Produktintegration: Faktor 1). Wir zeigen dieses Verfahren im Folgenden: ð ð ð 1 arcsin x dx ¼ 1 arcsin x dx ¼ x arcsin x x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx 1 x 2 u 0 v u v u v 0 Im Restintegral zeichnet sich nun eine offensichtliche Substitutionsmöglichkeit ab: Substitution: z ¼ 1 x 2 dz dz , ¼ 2x, dx¼ dx 2x ð ð ð 1 x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx ¼ x p 1 pffiffi ffiffi dz 1 ¼ p z 2x 2 ffiffi dz ¼ z z þ C ¼ 1 x 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 x 2 þ C c Wir erhalten als eindrucksvolles Resultat: Ð p arcsin x dx ¼ x arcsin x þ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 x 2 þ C. Übung 4 Versuchen Sie, die folgenden Integrale zu „knacken“. aÞ ð x sinð3xÞdx bÞ ð x 2 ð1 þ x 2 Þ 2 dx Hinweis: ðarctanxÞ 0 ¼ 1 1 þ x 2 Knobelaufgabe 1. Wie lauten die beiden letzten Ziffern von 7 777 7 7 ? 2. Alle Zahlen der Form 1331 1030301 1003003001 usw. sind Kubikzahlen. Weisen Sie dies nach.
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