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VII. Integrationsmethoden
Bemerkung zur Substitution bei bestimmten Integralen:
Substituiert man bei bestimmten Integralen die Integrationsgrenzen mit, so ist darauf zu achten,
dass der Substitutionsterm über dem Integrationsintervall monoton ist. Wir wollen an einem
Gegenbeispiel demonstrieren, dass eine Nichtbeachtung der Monotonie zu einem falschen Ergebnis
führt.
Hierzu bearbeiten wir das bestimmte Integral
1 x 2 dx mithilfe der Substitutions-
Ð
1
methode. Mit der Substitution z ¼ x 2 erhält
man die nebenstehende Rechnung. Ersetzt
man nun die Integrationsgrenzen einfach
durch die entsprechenden Randwerte,
wie rechts dargestellt, so ergibt sich als Ergebnis
0.
Substitution: z ¼ x 2 p
) x ¼ ffiffi z
Differentiale: z 0 ¼ dz
dz
¼ 2x) dx ¼
dx 2x
Integrationsgrezen: xl€auft von 1 bis 1
zl€auft von 1 bis 1
Rechnung:
ð 1 ð 1
x 2 dx ¼
1 1
ð 1
z dz p
2 ffiffi ¼ 1 z 2
1
pffiffi
z dz ¼ 0
Dies widerspricht aber der nebenstehenden
Berechnung des bestimmten Integrals
mithilfe der Potenzregel der Integration.
Bei der Lösung mithilfe der Substitutionsmethode
wurde bei der Ersetzung
der Integrationsgrenzen die Monotonie
des Substitutionsterms im gegebenen Integrationsintervall
nicht sichergestellt, sodass
man ein falsches Ergebnis erhielt.
Denn während x alle Werte von 1 bis 1
annimmt, durchläuft z alle Werte von 1 bis
0 und von 0 bis 1. Dieser Prozess muss bei
der Substitution berücksichtigt werden.
Man kann das Integrationsintervall in zwei
Teilintervalle unterteilen, über denen jeweils
die Monotonie des Substitutionsterms
vorliegt. Beim vorliegenden Beispiel
muss man also zunächst von 0 bis 1
integrieren und dann das Doppelte bilden.
Lösung mithilfe der Potenzregel:
ð 1 h i 1
x 2 dx ¼ 1 3 x3 ¼ 1 1
1 3 3
1
ð 1 x 2 dx ¼
1
ð 1 0
1
z
¼ 2 3
z = x 2
-1 1 x
pffiffi
h pffiffiffiffii 1
z dz ¼
2
z
3
3 ¼ 2 0 3
Bestimmt man jedoch zunächst wie im 1.
Verfahren auf S.275 eine Stammfunktion
von x 2 und bildet erst nach der Resubstitution
das bestimmte Integral, so ergibt sich,
da die Stammfunktion von x abhängt, das
richtige Ergebnis.
ð ð
x 2 dx ¼ 1 pffiffi
pffiffiffiffi
z
2 dz ¼
1
z
3
3 þ C ¼
1
3 x3 þ C
ð 1 h i 1
x 2 dx ¼ 1 3 x3 ¼ 1 1 3
1
1
3
¼ 2 3