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2. Anwendung der Normalverteilung 611
Übung 14
Eine Maschine produziert Schrauben mit einer durchschnittlichen Länge von m ¼ 80 mm und
einer Standardabweichung von s ¼ 2 mm.
a) Wie groß ist der Prozentsatz aller produzierten Schrauben, die länger sind als 78 mm?
b) Wie groß ist der Prozentsatz der Schrauben, deren Längen zwischen 78 und 82 mm liegen?
c) Nach längerer Laufleistung steigt die Standardabweichung auf s ¼ 4 mm. Welcher Prozentsatz
der Schrauben liegt nun innerhalb des Toleranzbereichs von 78 mm bis 82 mm?
Abschließende Bemerkungen
Bei einer diskreten Zufallsgröße X gibt es zu jedem Wert k, den X annehmen kann, eine Säule im
Verteilungsdiagramm, deren Fläche die Wahrscheinlichkeit PðX ¼ kÞ darstellt. Als Beispiel
hierfür kann eine binomialverteilte Zufallsgröße gelten.
Bei einer stetigen Zufallsgröße X hat jeder Einzelwert r die Wahrscheinlichkeit Null, denn ihm
entspricht im Verteilungsdiagramm keine Säule, sondern nur noch ein Strich. Man betrachtet
daher für stetige Zufallsgrößen keine Punktwahrscheinlichkeiten, sondern nur Intervallwahrscheinlichkeiten
PðX rÞ, PðX > rÞ bzw. Pða X bÞ.
Hieraus ergibt sich: Die Formel aus Satz XXII.3 benötigt keine Stetigkeitskorrektur im Gegensatz
zu der Formel aus Satz XXII.2 für eine binomialverteilte Zufallsgröße.
Übungen
15. Ein Intelligenztest liefert im Bevölkerungsdurchschnitt einen Mittelwert von
m ¼ 120 Punkten bei einer Standardabweichung von s ¼ 10 Punkten.
a) Eine zufällig ausgewählte Person wird getestet. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erreicht
sie weniger als 100 Punkte?
b) 20 Personen werden getestet. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erreicht davon mindestens
eine Person 130 oder mehr Punkte?
16. Eine Maschine produziert Stahlplatten mit einer durchschnittlichen Stärke von 20 mm. Die
Standardabweichung beträgt s ¼ 0,8 mm. Die Platten können nicht verwendet werden,
wenn sie unter 19 bzw. über 22 mm stark sind.
a) Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine Platte verwendet werden kann.
b) Ein Abnehmer kauft 500 Platten. Wie viele kann er voraussichtlich verwenden?
c) Die Maschine wird neu justiert. Ihre Standardabweichung beträgt nun nur noch 0,6 mm.
Wie viele brauchbare Platten enthält nun der Abnehmer von 500 Platten?
17. Die EG-Richtlinie für Abfüllmaschinen besagt: Die tatsächliche Füllmenge darf im Mittel
nicht niedriger sein als die Nennfüllmenge. Bei Literflaschen beträgt die Nennfüllmenge
1000 ml. Ein Abfüllbetrieb hat seine Maschinen auf den Mittelwert m ¼ 1005 ml eingestellt.
Die unvermeidliche Streuung beträgt s ¼ 3 ml.
a) Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Kunde eine unterfüllte Flasche erhält,
d.h. mit weniger als 1000 ml tatsächlicher Füllmenge.
b) Eine neue Maschine hat eine Streuung von nur s ¼ 1 ml. Wie muss der Mittelwert eingestellt
werden, wenn die Wahrscheinlichkeit für eine Unterfüllung gleich bleiben soll?