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610 XXII. Die Normalverteilung C. Exkurs: Normalverteilung bei stetigen Zufallsgrößen Eine Zufallsgröße, die nur ganz bestimmte isolierte Zahlenwerte annehmen kann, bezeichnet man als diskrete Zufallsgröße. Ein Beispiel ist die Augenzahl beim Würfeln. Sie kann als Werte nur die diskreten Zahlen 1 bis 6 annehmen. Im Unterschied hierzu spricht man von einer stetigen Zufallsgröße, wenn diese innerhalb eines bestimmten Intervalls jeden beliebigen reellen Zahlenwert annehmen kann. Beispiele hierfür sind die Körpergröße eines Tieres, die Länge einer Schraube oder das Gewicht einer Kirsche. Stetige Zufallsgrößen sind oft von Natur aus normalverteilt. Man stellt dies durch empirische Messreihen fest. Aus den Messwerten kann man dann auch den Erwartungswert m und die Standardabweichung bestimmen. Anschließend kann man mithilfe der Normalverteilungstabelle diverse Problemstellungen lösen. Dabei wendet man den folgenden Satz an. Satz XXII.3: Normalverteilte stetige Zufallsgrößen X sei eine normalverteilte stetige Zufallsgröße mit dem Erwartungswert m und der Standardabweichung s. Dann gilt für jedes reelle r die Formel PðX rÞ¼FðzÞ mit z ¼ r m s . ϕ P(X < – r) = Φ(z) z = r−μ s r c .................................................................................................. c Beispiel: Die Körpergröße Die Körpergröße X von erwachsenen männlichen Grizzlys ist eine normalverteilte Zufallsgröße. Aus empirischen Untersuchungen sind Mittelwert und Standardabweichung bekannt. m ¼ 240 cm, s ¼ 10 cm. Für einen zoologischen Garten wird ein Jungtier gefangen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird seine Körpergröße maximal 230 cm erreichen? Lösung: Wir möchten PðX 230Þ berechnen. Aus r ¼ 230, m ¼ 240 und s ¼ 10 erhalten wir den Wert der Hilfsgröße z. Er ist z ¼ 1. Nun können wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit PðX 230Þ mithilfe der Normalverteilungstabelle bestimmen (vgl. rechts). Resultat: Der Grizzly wird mit einer Wahrscheinlichkeit von ca 16 % relativ klein bleiben, d. h. 230 cm nicht überschreiten. Ursus Arctus Horribilis Berechnung der Hilfesgröße z: z ¼ r m s 230 240 ¼ ¼ 1 10 Berechnung von PðX 230Þ: PðX 230Þ¼FðzÞ¼Fð ¼ 1 Fð1Þ ¼ 1 0,8413 ¼ 0,1587 1Þ
2. Anwendung der Normalverteilung 611 Übung 14 Eine Maschine produziert Schrauben mit einer durchschnittlichen Länge von m ¼ 80 mm und einer Standardabweichung von s ¼ 2 mm. a) Wie groß ist der Prozentsatz aller produzierten Schrauben, die länger sind als 78 mm? b) Wie groß ist der Prozentsatz der Schrauben, deren Längen zwischen 78 und 82 mm liegen? c) Nach längerer Laufleistung steigt die Standardabweichung auf s ¼ 4 mm. Welcher Prozentsatz der Schrauben liegt nun innerhalb des Toleranzbereichs von 78 mm bis 82 mm? Abschließende Bemerkungen Bei einer diskreten Zufallsgröße X gibt es zu jedem Wert k, den X annehmen kann, eine Säule im Verteilungsdiagramm, deren Fläche die Wahrscheinlichkeit PðX ¼ kÞ darstellt. Als Beispiel hierfür kann eine binomialverteilte Zufallsgröße gelten. Bei einer stetigen Zufallsgröße X hat jeder Einzelwert r die Wahrscheinlichkeit Null, denn ihm entspricht im Verteilungsdiagramm keine Säule, sondern nur noch ein Strich. Man betrachtet daher für stetige Zufallsgrößen keine Punktwahrscheinlichkeiten, sondern nur Intervallwahrscheinlichkeiten PðX rÞ, PðX > rÞ bzw. Pða X bÞ. Hieraus ergibt sich: Die Formel aus Satz XXII.3 benötigt keine Stetigkeitskorrektur im Gegensatz zu der Formel aus Satz XXII.2 für eine binomialverteilte Zufallsgröße. Übungen 15. Ein Intelligenztest liefert im Bevölkerungsdurchschnitt einen Mittelwert von m ¼ 120 Punkten bei einer Standardabweichung von s ¼ 10 Punkten. a) Eine zufällig ausgewählte Person wird getestet. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erreicht sie weniger als 100 Punkte? b) 20 Personen werden getestet. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erreicht davon mindestens eine Person 130 oder mehr Punkte? 16. Eine Maschine produziert Stahlplatten mit einer durchschnittlichen Stärke von 20 mm. Die Standardabweichung beträgt s ¼ 0,8 mm. Die Platten können nicht verwendet werden, wenn sie unter 19 bzw. über 22 mm stark sind. a) Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine Platte verwendet werden kann. b) Ein Abnehmer kauft 500 Platten. Wie viele kann er voraussichtlich verwenden? c) Die Maschine wird neu justiert. Ihre Standardabweichung beträgt nun nur noch 0,6 mm. Wie viele brauchbare Platten enthält nun der Abnehmer von 500 Platten? 17. Die EG-Richtlinie für Abfüllmaschinen besagt: Die tatsächliche Füllmenge darf im Mittel nicht niedriger sein als die Nennfüllmenge. Bei Literflaschen beträgt die Nennfüllmenge 1000 ml. Ein Abfüllbetrieb hat seine Maschinen auf den Mittelwert m ¼ 1005 ml eingestellt. Die unvermeidliche Streuung beträgt s ¼ 3 ml. a) Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Kunde eine unterfüllte Flasche erhält, d.h. mit weniger als 1000 ml tatsächlicher Füllmenge. b) Eine neue Maschine hat eine Streuung von nur s ¼ 1 ml. Wie muss der Mittelwert eingestellt werden, wenn die Wahrscheinlichkeit für eine Unterfüllung gleich bleiben soll?
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