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1. 2. Die Produktintegration Substitutionsmethode
183
Anwendung auf bestimmte Integrale
Die Substitutionsmethode lässt sich auch auf bestimmte Integrale anwenden. Hierfür sind zwei
Wege möglich. Entweder bestimmt man wie oben eine Stammfunktion des Integranden und
setzt anschließend die Grenzen ein oder man arbeitet sofort mit bestimmten Integralen wie unten
in der 2. Lösung dargestellt.
c
..................................................................................................................................
c
Beispiel: Berechnen Sie das bestimmte Integral
1. Lösung:
Wir bestimmen zunächst eine Stammfunktion
des Integranden und verwenden
hierzu die Typ-1-Substitution z ¼ 1 þ x 2 .
Wir gehen wie im obigen Beispiel vor.
Einsetzen der Integrationsgrenzen in eine
Stammfunktion des Integranden liefert
dann das Ergebnis des gesuchten bestimmten
Integrals.
2. Lösung:
Arbeitet man von Anfang an mit dem bestimmten
Integral, so muss beachtet werden,
dass die Integrationsgrenzen bei der
Substitution ebenfalls zu verändern sind.
Läuft ursprünglich die Integrationsvariable
x von 2 bis 3, so läuft die neue Integrationsvariable
z ¼ 1 þ x 2 monoton von 5
bis 10. Wichtig ist hierbei die Monotonie
des Substitutionsterms 1 þ x 2 im betrachteten
Bereich, die ausschließt, dass die Integrationsvariable
etwa zurückläuft.
Man erhält selbstverständlich bei beiden
Lösungswegen dasselbe Ergebnis für das
gesuchte bestimmte Integral.
ð 3 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x
1 þ x 2
2
dx mittels Substitution.
Substitution: z ¼ 1 þ x 2
Differentiale: z 0 ¼ dz
dz
¼ 2x) dx ¼
dx 2x
Stammfunktion:
ð
ð p
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x
1
dx ¼ p dz ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1 þ x 2 þ C
1 þ x 2
2 ffiffi z
Einsetzen der Integrationsgrenzen:
hpffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffii 3
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x
dx ¼ 1 þ x 2 0,93
2
ð 3 2
1 þ x 2
Integrationsgrenzen:
x läuft von 2 bis 3
z läuft von 5 bis 10
z
10
5
1
Rechnung:
ð 3 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x
1 þ x 2
2
10
ð
dx ¼
z = 1 + x 2
1 2 3 x
p
p dz ¼ ½ ffiffi zŠ 10
5 0,93
1
2 ffiffi z
5
Übung 3
Berechnen Sie das bestimmte Integral mittels Substitution auf zwei Arten.
p
a)
0
ffip
2
ð
ð 3
xcosðx 2 Þdx b)
0
1
ð1 þ xÞ 2 dx c)
ð 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x
x þ 2
1
dx