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608 XXII. Die Normalverteilung B. Bestimmung von P(k 1 X k 2 ) für großes n In der statistischen Praxis sind häufig Wahrscheinlichkeiten der Form Pðk 1 X k 2 Þ zu berechnen. Auch in diesen Fällen kann die Näherungsformel von Laplace für binomialverteilte Zufallsgrößen angewandt werden, sofern die Laplace-Bedingung erfüllt ist. In solchen Fällen wendet man die Laplace-Formel zweimal an: Pðk 1 X k 2 Þ¼Fðn; p; k 2 Þ Fðn; p; k 1 1ÞFðz 2 Þ Fðz 1 Þ mit den Hilfsgrößen z 2 ¼ k 2 m þ 0,5 s und z 1 ¼ k 1 1 m þ 0,5 s ¼ k 1 m 0,5 . s c ......................................................................................................................... Beispiel: Im Automobilwerk sind 300 Mitarbeiter in der Produktion beschäftigt. Der Krankenstand liegt bei 5 %. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 12 und höchstens 20 Personen erkrankt sind? b) Die Produktion verläuft nur reibungslos, wenn an allen 300 Plätzen gearbeitet wird. Um die krankheitsbedingten Ausfälle zu kompensieren, gibt es eine „Springergruppe“, deren Mitglieder bei Bedarf einspringen. Wie viele Personen müssen bereitstehen, um mit mindestens 99 % Sicherheit eine reibungslose Produktion sicherzustellen? Lösung: a) Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit Pð12 X 20Þ, wobei X die Anzahl der erkrankten p Mitarbeiter ist. Wegen s ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 14,25 > 3 ist die Anwendung der Näherungsformel berechtigt. Die nebenstehende Rechnung liefert: Pð12 X 20ÞFð1,46Þ Fð 0,93Þ ¼ Fð1,46Þ ð1 Fð0,93ÞÞ ¼ 0,9279 ð1 0,8238Þ 0,7517 ¼ 75,17%. c b) Die Tabelle zur Normalverteilung zeigt, dass FðzÞ0,99 für z 2,33 gilt. Dieses erlaubt den Rückschluss, welche Werte k für die Zufallsgröße X nun erlaubt sind. Ergebnis: Stehen mindestens 24 Personen in Reserve, so ist die Produktion zu 99% sichergestellt. Pð12 X 20Þ¼PðX 20Þ PðX 11Þ ¼ F(300; 0,05;20) – F(300; 0,05; 11) Hilfsgrößen: m ¼ 15 p s ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 14,25 20 15 þ 0,5 z 2 ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1,46 z 1 ¼ Ansatz: 14,25 12 15 0,5 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 14,25 p 0,93 PðX kÞFðzÞ0,99 ) z 2,33 (Tabelle) ) k 15 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ 0,5 14,25 p 2,33 ) k 23,29 Übung 5 Die Wahrscheinlichkeit einer Jungengeburt beträgt bekanntlich 51,4%. In einem Bundesland werden jährlich ca. 50 000 Kinder geboren. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden zwischen 25 500 und 26000 Jungen geboren?
2. Anwendung der Normalverteilung 609 Übungen Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung 6. Eine Reißnagelsorte fällt mit Wahrscheinlichkeiten von 2 3 in Kopflage und von 1 in Seitenlage. Es werden 100 Reißnägel geworfen. 3 a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird genau 66-mal die Kopflage erreicht? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Kopflage genau 50-mal erreicht? Approximation der kumulierten Binomialverteilung durch die Normalverteilung 7. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei 6000 Würfelwürfen höchstens 950-mal die Augenzahl Sechs fällt? 8. Eine Maschine produziert Schrauben. Die Ausschussquote beträgt 5 %. a) Wie groß muss eine Stichprobe sein, damit die Normalverteilung anwendbar ist? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit befinden sich in einer Stichprobe von 500 Schrauben mindestens 30 defekte Schrauben? c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind weniger als 20 defekte Schrauben in der Probe? 9. Die Wahrscheinlichkeit einer Knabengeburt beträgt ca. 51,4 %. Mit welcher Wahrscheinlichkeit befinden sich unter 500 Neugeborenen mehr Mädchen als Knaben? 10. Bei einem gefälschten Würfel ist die Wahrscheinlichkeit für eine Sechs auf 12 % reduziert. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Würfel bis 150 Wurfversuchen dennoch mehr Sechsen zeigt als bei einem fairen Würfel zu erwarten wären? 11. Eine Münze wird 1000-mal geworfen. a) Wie groß sind Erwartungswert und Standardabweichung der Anzahl X der Kopfwürfe? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Abweichung der Kopfzahl X vom Erwartungswert nach oben/unten höchstens die einfache Standardabweichung beträgt? 12. Ein Multiple-Choice-Test enthält 100 Fragen mit jeweils drei Antwortmöglichkeiten, wovon stets genau eine richtig ist. Befriedigend wird bei mindestens 50 richtigen Antworten vergeben. Ausreichend wird bei mindestens 40 richtigen Antworten vergeben. Ein Proband rät nur. Mit welcher Wahrscheinlichkeit besteht er den Test mit Befriedigend bzw. besteht er nicht bzw. erzielt er 28 bis 38 richtige Antworten? 13. Ein Reifenfabrikant garantiert, dass 95% seiner Reifen keine Unwucht aufweisen. Ein Großhändler nimmt 500 Reifen ab. a) Wie groß sind Erwartungswert und Standardabweichung für die Anzahl X der unwuchtigen Reifen? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit weisen höchstens zehn der Reifen eine Unwucht auf? Mit welcher Wahrscheinlichkeit beträgt die Anzahl der unwuchtigen Reifen 20–30?
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XXII. Die Normalverteilung<br />
B. Bestimmung von P(k 1 X k 2 ) für großes n<br />
In der statistischen Praxis sind häufig Wahrscheinlichkeiten der Form Pðk 1 X k 2 Þ zu berechnen.<br />
Auch in diesen Fällen kann die Näherungsformel von Laplace für binomialverteilte<br />
Zufallsgrößen angewandt werden, sofern die Laplace-Bedingung erfüllt ist.<br />
In solchen Fällen wendet man die Laplace-Formel zweimal an:<br />
Pðk 1 X k 2 Þ¼Fðn; p; k 2 Þ Fðn; p; k 1 1ÞFðz 2 Þ Fðz 1 Þ<br />
mit den Hilfsgrößen z 2 ¼ k 2 m þ 0,5<br />
s<br />
und z 1 ¼ k 1 1 m þ 0,5<br />
s<br />
¼ k 1 m 0,5<br />
.<br />
s<br />
c<br />
.........................................................................................................................<br />
Beispiel: Im Automobilwerk sind 300 Mitarbeiter in der Produktion beschäftigt. Der Krankenstand<br />
liegt bei 5 %.<br />
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 12 und höchstens 20 Personen erkrankt<br />
sind?<br />
b) Die Produktion verläuft nur reibungslos, wenn an allen 300 Plätzen gearbeitet wird. Um<br />
die krankheitsbedingten Ausfälle zu kompensieren, gibt es eine „Springergruppe“, deren<br />
Mitglieder bei Bedarf einspringen. Wie viele Personen müssen bereitstehen, um mit mindestens<br />
99 % Sicherheit eine reibungslose Produktion sicherzustellen?<br />
Lösung:<br />
a) Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit<br />
Pð12 X 20Þ, wobei X die Anzahl<br />
der erkrankten p Mitarbeiter ist. Wegen<br />
s ¼<br />
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 14,25 > 3 ist die Anwendung<br />
der Näherungsformel berechtigt. Die<br />
nebenstehende Rechnung liefert:<br />
Pð12 X 20ÞFð1,46Þ Fð 0,93Þ<br />
¼ Fð1,46Þ ð1 Fð0,93ÞÞ<br />
¼ 0,9279 ð1 0,8238Þ<br />
0,7517 ¼ 75,17%.<br />
c<br />
b) Die Tabelle zur Normalverteilung<br />
zeigt, dass FðzÞ0,99 für z 2,33<br />
gilt.<br />
Dieses erlaubt den Rückschluss, welche<br />
Werte k für die Zufallsgröße X<br />
nun erlaubt sind.<br />
Ergebnis: Stehen mindestens 24 Personen<br />
in Reserve, so ist die Produktion zu<br />
99% sichergestellt.<br />
Pð12 X 20Þ¼PðX 20Þ PðX 11Þ<br />
¼ F(300; 0,05;20) – F(300; 0,05; 11)<br />
Hilfsgrößen:<br />
m ¼ 15<br />
p<br />
s ¼<br />
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 14,25<br />
20 15 þ 0,5<br />
z 2 ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi<br />
1,46<br />
z 1 ¼<br />
Ansatz:<br />
14,25<br />
12 15 0,5<br />
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi<br />
14,25<br />
p 0,93<br />
PðX kÞFðzÞ0,99<br />
) z 2,33 (Tabelle)<br />
)<br />
k 15<br />
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi<br />
þ 0,5<br />
14,25<br />
p 2,33<br />
) k 23,29<br />
Übung 5<br />
Die Wahrscheinlichkeit einer Jungengeburt beträgt bekanntlich 51,4%.<br />
In einem Bundesland werden jährlich ca. 50 000 Kinder geboren.<br />
Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden zwischen 25 500 und 26000 Jungen geboren?
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