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XXII. Die Normalverteilung
2. Anwendung der Normalverteilung
A. Bestimmung von P(X k) = F(n; p; k) für großes n
Anhand eines typischen Beispiels kann man am besten erkennen, wie die globale Näherungsformel
von Laplace und de Moivre für Binomialverteilungen unter Verwendung der Tabelle zur
Gauß’schen Integralfunktion oder eines CAS praktisch eingesetzt wird.
c
.......................................................................................................................
c
Beispiel: Ein fairer Würfel wird 1200-mal geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit fallen
a) höchstens 10 % mehr Sechsen als die zu erwartende Anzahl,
b) mindestens 5 % weniger Sechsen als die zu erwartende Anzahl?
Lösung:
Theoretisch sind 200 Sechsen zu erwarten.
Gesucht ist also
a) PðX 220Þ, b) PðX 190Þ,
wobei X die Anzahl der in den 1200
Würfeln fallenden Sechsen sei.
Die Näherungsformel ist anwendbar, denn
es gilt: p
s ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p
n p ð1 pÞ > ffiffiffiffiffiffiffi
166 > 3.
Nebenstehende Rechnung liefert:
a) PðX 220ÞFð1,59Þ,
b) PðX 190ÞFð 0,74Þ.
Tritt ein negatives Argument auf, ist die
Funktionalgleichung Fð zÞ¼1 FðzÞ
hilfreich, so dass auch bei b) die Tabelle
zur Normalverteilung (Seite 715) verwendet
werden kann. Wir erhalten als Resultate:
a) PðX 220Þ94,41%,
b) PðX 190Þ22,97%.
Die genauen Werte betragen übrigens
a) 94,24 % und b) 23,21 %.
Gesuchte Wahrscheinlichkeiten:
PðX 220Þ¼F 1200; 1 6 ; 220
PðX 190Þ¼F 1200; 1 6 ; 190
Bestimmung der Hilfsgröße z:
a) z ¼
b) z ¼
220 200 þ 0,5
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1200 1 6 5 6
q 1,59
190 200 þ 0,5
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1200 1 6 5 6
q 0,74
Anwendung der Näherungsformel:
a) PðX 220ÞFð1,59Þ¼94,41%
b) PðX 190ÞFð 0,74Þ
¼ 1 Fð0,74Þ
1 0,7703
¼ 0,2297 ¼ 22,97%
Übung 1
Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt bei 500 Münzwürfen höchstens 260-mal Kopf?
Übung 2
Eine Maschine produziert Knöpfe mit einem Ausschussanteil von 3%. Ein Abnehmer macht
eine Stichprobe, indem er 1000 Knöpfe prüft. Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet er
a) nicht mehr als 42 ausschüssige Knöpfe, b) höchstens 25 ausschüssige Knöpfe?