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1. Die Normalverteilung 605
Möchte man für eine binomialverteilte Zufallsgröße X mit den Parametern n und p die kumulierte
Wahrscheinlichkeit PðX kÞ¼F(n; p; k) näherungsweise berechnen, so geht man in der
Praxis nach folgendem Rezept vor, das als Näherungsformel von Laplace bekannt ist.
Satz XXII.2: Die globale Näherungsformel von Laplace und de Moivre
für Binomialverteilungen
p
1. Prüfe, ob die Laplace-Bedingung s ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
n pð1 pÞ > 3 grob erfüllt ist.
2. Bestimme die obere Integrationsgrenze z ¼ k m þ 0,5 ¼ p k ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
n p þ 0,5 .
s n p ð1 pÞ
3. Lies aus der Tabelle der „Normalverteilung“ den Funktionswert F (z) ab.
Dann gilt die Näherung: P(X k)=F(n; p; k) F(z) 605-1
Anhand eines typischen Beispiels erkennt man, wie die Laplace’sche Näherungsformel unter
Verwendung der Tabelle zur Gauß’schen Integralfunktion praktisch eingesetzt wird.
c
.......................................................................................................................
c
Beispiel: Einführendes Beispiel zur Näherungsformel von Laplace
Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit bei 100 Würfeln mit einer fairen Münze
höchstens 52-mal Kopf kommt. Verwenden Sie die Näherungsformel von Laplace.
Lösung:
X sei die Anzahl der Kopfwürfe beim 100-
maligen Münzwurf.
X ist binomialverteilt mit den Parametern
n ¼ 100 (Länge der Bernoulli-Kette) und
p ¼ 0,5 (Wahrscheinlichkeit für Kopf bei
einmaligem Münzwurf).
Gesucht ist PðX 52Þ¼F(100; 0,5; 52).
Die Näherungsformel von Laplace und de
Moivre ist anwendbar, da die Bedingung
s > 3 erfüllt ist.
Also ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit
annähernd gleich F(z), wobei der Wert
des Arguments z mithilfe der angegebenen
Formel errechnet werden muss.
Wir erhalten z ¼ 0,50.
Nun lesen wir aus der Tabelle zur Normalverteilung
(Seite 715) den Funktionswert
F(0,50) ab und erhalten folgendes Endresultat:
PðX 52ÞFð0,50Þ0,6915 ¼ 69,15%.
Das Ergebnis stimmt fast mit dem Tabellenwert
F(100; 0,5; 52) ¼ 0,6914 überein.
Gesuchte Wahrscheinlichkeit:
X ¼ Anzahl der Kopfwürfe bei 100
Münzwürfen
PðX 52Þ¼Fð100; 0,5; 52Þ
Anwendbarkeit der Näherungsformel:
p
s ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p
n p ð1 pÞ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
100 0,5 0,5
p
¼
ffiffiffiffiffi
25 > 3
Bestimmung der Hilfsgröße z:
z ¼ k m þ 0,5 52 50 þ 0,5
¼
s
5
¼ 2,5
5 ¼ 0,50
Bestimmung von F(z) mittels Tabelle:
Fð0,50Þ0,6915
Vergleich mit der Tabelle zur kumulierten
Binomialverteilung:
F(100; 0,5; 52) ¼ 0,6914