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604
XXII. Die Normalverteilung
C. Die globale Näherungsformel von Laplace und de Moivre
Eine Zufallsgröße, deren Wahrscheinlichkeitsverteilung die Gauß’sche Glockenkurve ist, wird
als normalverteilte Zufallsgröße bezeichnet. Binomialverteilte Zufallsgrößen sind für großes n
annähernd normalverteilt.
Im Folgenden betrachten wir die kumulierte
Binomialverteilung.
F(n; p; k) kann wegen
F(n; p; k) ¼ B(n; p; 0) þ...þ B(n;p; k)
als Summe der Flächeninhalte der Säulen
Nr. 0 bis Nr. k der Binomialverteilung
gedeutet werden.
Man kann aber auch die entsprechenden
Säulen der zugehörigen standardisierten
Form verwenden, da diese inhaltsgleich
sind (siehe auch Seite 601).
Diese Fläche wiederum kann durch
diejenige Fläche unter der Gauß’schen
Glockenkurve approximiert werden, die
sich von t ¼ 1bis t ¼ z erstreckt, wobei
z ¼ k m þ 0,5 der rechte Randwert der standardisierten
Säule Nr. k ist.
s
Der angegebene Wert der Hilfsgröße z ergibt
sich, wenn zur Mitte der k-ten Säule –
also zu k m
1
– die halbe Säulenbreite
s 2s addiert
wird. Diese Stetigkeitskorrektur ist
notwendig, um die Fläche der k-ten Säule
vollständig zu berücksichtigen.
Den Flächeninhalt kann man als Integral
von j berechnen. Für das entsprechende
Integral von 1 bis z verwendet man abkürzend
die Bezeichnung F(z).
Die Funktion F heißt Gauß’sche Integralfunktion.
604-1
P(X = k)
F(n;p;k)
2 4 6 8 10 k 14
F(n;p;k)
F(n;p;k)
P(Z = z)
−4 −2 4
k−μ
σ
Φ(z)
ϕ(z)
k−μ+0,5
z = σ
Gaußsche Integralfunktion
ð z
FðzÞ¼p
1 ffiffiffiffiffi e 1 2 t2 dt
2p
1
k
z
z
Weil man F nicht durch elementare Funktionen ausdrücken kann, sind die Werte dieser wichtigen
Funktion im Tabellenteil auf Seite 715 als „Normalverteilung“ tabelliert. Ein CAS ermittelt
solche Integralwerte durch numerische Integration. In der folgenden Übung soll die Integralfunktion
auf CAS definiert werden. Da der Flächeninhalt unter der Glockenkurve insgesamt
gleich 1 ist, folgt Fð0Þ¼0,5. Diese Eigenschaft nutzen wir bei der neuen CAS-Funktion iphi (z).
Übung 4
Definieren Sie auf einem CAS die Funktion F z. B. durch 0.5+ Ð phi ((t),t,0,z) § iphi(z).