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602 XXII. Die Normalverteilung B. Die Näherungsformel von Laplace und de Moivre Jede binomialverteilte Zufallsgröße X kann in der beschriebenen Weise standardisiert werden. Das Histogramm der zugehörigen standardisierten Zufallsgröße Z kann in jedem Fall durch ein und diesselbe Glockenkurve approximiert (angenähert) werden. Es handelt sich um die sogenannte Gauß’sche Glockenkurve. Sie ist nach dem Mathematiker und Astronomen Carl Friedrich Gauß (1777–1855) benannt, der sie im Zusammenhang mit der Fehlerrechnung entdeckte. Ihr Graph ist rechts abgebildet. Ihre Funktionsgleichung lautet: Gaußsche Glockenkurve jðtÞ¼ p 1 ffiffiffiffiffiffi 2 p e 1 2 t2 Mithilfe der Funktion j kann das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsvariablen mit hoher Genauigkeit angenähert werden, wenn die sogenannte Laplace-Bedingung erfüllt ist: ϕ ϕ(t) = 1 2π e −0,5t2 Laplace-Bedingung p s ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi n p ð1 pÞ > 3 0,1 −3 −2 −1 1 2 3 Satz XXII.1: Die lokale Näherungsformel von Laplace und De Moivre p Die binomialverteilte Zufallsgröße X erfülle die Laplace-Bedingung s ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi n p ð1 pÞ > 3. Dann giltp die folgende Näherungsformel für B(n; p; k), wobei m ¼ n p der Erwartungswert und s ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi n p ð1 pÞ die Standardabweichung von X sind: PðX ¼ kÞ¼B(n;p; k) p 1 ffiffiffiffiffiffi e 1 2 z2 ¼ 1 k m jðzÞ mit z ¼ s 2 p s s 602-1 Übung 1 p ffi Definieren sie auf einem CAS die Funktion j z. B. durch e^(–t^2/2)/ (2 p) § phi (t) und verwenden Sie phi (t) zur Darstellung des Graphen. Wie kann phi(t) für Berechnungen mit der lokalen Näherungsformel genutzt werden?
1. Die Normalverteilung 603 c ................................................................................................................. c Beispiel: Geben Sie die Tabellenwerte und die Näherungswerte der Gauß’schen Glockenkurve für die folgenden Ereignisse an: a) Bei 100 Würfen einer Laplace-Münze erscheint genau 50-mal Wappen. b) 100 Würfe mit einem Laplace-Würfel ergeben exakt 20 Sechsen. Lösung: Die Werte B(n; p; k) der Binomialverteilung erhalten wir aus den Tabellen zur kumulierten Binomialverteilung, indem wir die dort notierten Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse X k und X k 1 voneinander subtrahieren: PðX ¼ kÞ¼PðX kÞ PðX k 1Þ. Für die Näherungslösung der Gauß’schen Glockenkurve berechnen wir zunächst den Wert, den die Hilfsgröße z ¼ k m annimmt. Dann setzen wir in die Näherungs- s formel ein. Im ersten Fall erhalten wir fast völlige Übereinstimmung der Näherungslösung mit der exakten Lösung. Im 2. Fall beträgt die Abweichung ca. 6 %. Das liegt daran, dass hier die Laplace- Bedingung nur knapp erfüllt ist. zu a: n ¼ 100; p ¼ 0;5; k ¼ 50 m ¼ 50; s ¼ 5 Tabelle: B(100; 0,5; 50) =F(100; 0,5; 50) – F(100; 0,5; 49) 0,0796 Gauß’sche Glockenkurve: z ¼ k m 50 50 ¼ ¼ 0 s 5 B(100; 0,5; 50) 1 s jð0Þ¼ p 1 ffiffiffiffiffi ¼ 0,0798 5 2p zu b: n ¼ 100; p ¼ 1 ;k¼ 20 6 m 16,67; s 3,7268 Tabelle: Bð100; 1 6 ;20Þ0,0678 Gauß’sche Glockenkurve: z ¼ k m 20 16,67 0,8935 s 3,7268 Bð100; 1 6 ;20Þ1 s jð0,8935Þ0,0718 Übung 2 a) 3 % der elektronischen Bauteile entsprechen nicht der Norm. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind in einer Charge von 500 Teilen genau 12 defekt? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei 1000 Roulette-Spielen genau 500-mal die Kugel auf einem schwarzen Feld liegen bleibt? c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben genau 2 der 968 Schüler der Schule am 24. Dezember Geburtstag? Ermitteln Sie den exakten Wert sowie die Näherungslösung mithilfe der Gauß’- schen Glockenkurve. Übung 3 X sei eine binomialverteilte Zufallsgröße mit den Parametern n ¼ 10 und p ¼ 0,4. Z sei die zugehörige standardisierte Zufallsgröße. a) Zeichnen Sie das Histogramm der Verteilung der Zufallsgröße X. b) Bestimmen Sie Erwartungswert und Standardabweichung von X. c) Welche Werte kann die standardisierte Zufallsgröße Z annehmen? d) Stellen Sie das Histogramm der Verteilung der standardisierten Zufallsgröße Z und die Gauß’sche Glockenkurve in einem Diagramm dar.
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1. Die Normalverteilung 603<br />
c<br />
.................................................................................................................<br />
c<br />
Beispiel: Geben Sie die Tabellenwerte und die Näherungswerte der Gauß’schen Glockenkurve<br />
für die folgenden Ereignisse an:<br />
a) Bei 100 Würfen einer Laplace-Münze erscheint genau 50-mal Wappen.<br />
b) 100 Würfe mit einem Laplace-Würfel ergeben exakt 20 Sechsen.<br />
Lösung:<br />
Die Werte B(n; p; k) der Binomialverteilung<br />
erhalten wir aus den Tabellen zur<br />
kumulierten Binomialverteilung, indem<br />
wir die dort notierten Wahrscheinlichkeiten<br />
der Ereignisse X k und X k 1<br />
voneinander subtrahieren:<br />
PðX ¼ kÞ¼PðX kÞ PðX k 1Þ.<br />
Für die Näherungslösung der Gauß’schen<br />
Glockenkurve berechnen wir zunächst den<br />
Wert, den die Hilfsgröße z ¼ k m annimmt.<br />
Dann setzen wir in die Näherungs-<br />
s<br />
formel ein.<br />
Im ersten Fall erhalten wir fast völlige<br />
Übereinstimmung der Näherungslösung<br />
mit der exakten Lösung.<br />
Im 2. Fall beträgt die Abweichung ca. 6 %.<br />
Das liegt daran, dass hier die Laplace-<br />
Bedingung nur knapp erfüllt ist.<br />
zu a: n ¼ 100; p ¼ 0;5; k ¼ 50<br />
m ¼ 50; s ¼ 5<br />
Tabelle:<br />
B(100; 0,5; 50)<br />
=F(100; 0,5; 50) – F(100; 0,5; 49)<br />
0,0796<br />
Gauß’sche Glockenkurve:<br />
z ¼ k m 50 50<br />
¼ ¼ 0<br />
s 5<br />
B(100; 0,5; 50)<br />
1 s jð0Þ¼ p 1 ffiffiffiffiffi ¼ 0,0798<br />
5 <br />
2p<br />
zu b: n ¼ 100; p ¼ 1 ;k¼ 20<br />
6<br />
m 16,67; s 3,7268<br />
Tabelle:<br />
Bð100; 1 6 ;20Þ0,0678<br />
Gauß’sche Glockenkurve:<br />
z ¼ k m 20 16,67<br />
0,8935<br />
s 3,7268<br />
Bð100; 1 6 ;20Þ1 s jð0,8935Þ0,0718<br />
Übung 2<br />
a) 3 % der elektronischen Bauteile entsprechen nicht der Norm. Mit welcher Wahrscheinlichkeit<br />
sind in einer Charge von 500 Teilen genau 12 defekt?<br />
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei 1000 Roulette-Spielen genau 500-mal die<br />
Kugel auf einem schwarzen Feld liegen bleibt?<br />
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben genau 2 der 968 Schüler der Schule am 24. Dezember<br />
Geburtstag? Ermitteln Sie den exakten Wert sowie die Näherungslösung mithilfe der Gauß’-<br />
schen Glockenkurve.<br />
Übung 3<br />
X sei eine binomialverteilte Zufallsgröße mit den Parametern n ¼ 10 und p ¼ 0,4.<br />
Z sei die zugehörige standardisierte Zufallsgröße.<br />
a) Zeichnen Sie das Histogramm der Verteilung der Zufallsgröße X.<br />
b) Bestimmen Sie Erwartungswert und Standardabweichung von X.<br />
c) Welche Werte kann die standardisierte Zufallsgröße Z annehmen?<br />
d) Stellen Sie das Histogramm der Verteilung der standardisierten Zufallsgröße Z und die<br />
Gauß’sche Glockenkurve in einem Diagramm dar.
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