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602
XXII. Die Normalverteilung
B. Die Näherungsformel von Laplace und de Moivre
Jede binomialverteilte Zufallsgröße X
kann in der beschriebenen Weise standardisiert
werden. Das Histogramm der zugehörigen
standardisierten Zufallsgröße Z
kann in jedem Fall durch ein und diesselbe
Glockenkurve approximiert (angenähert)
werden. Es handelt sich um die sogenannte
Gauß’sche Glockenkurve.
Sie ist nach dem Mathematiker und Astronomen
Carl Friedrich Gauß (1777–1855)
benannt, der sie im Zusammenhang mit
der Fehlerrechnung entdeckte.
Ihr Graph ist rechts abgebildet. Ihre Funktionsgleichung
lautet:
Gaußsche Glockenkurve
jðtÞ¼
p
1 ffiffiffiffiffiffi
2 p
e 1 2 t2
Mithilfe der Funktion j kann das Histogramm
einer binomialverteilten Zufallsvariablen
mit hoher Genauigkeit angenähert
werden, wenn die sogenannte
Laplace-Bedingung erfüllt ist:
ϕ
ϕ(t) =
1
2π
e −0,5t2
Laplace-Bedingung
p
s ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
n p ð1 pÞ > 3
0,1
−3 −2 −1 1 2 3
Satz XXII.1: Die lokale Näherungsformel von Laplace und De Moivre p
Die binomialverteilte Zufallsgröße X erfülle die Laplace-Bedingung s ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
n p ð1 pÞ > 3.
Dann giltp
die folgende Näherungsformel für B(n; p; k), wobei m ¼ n p der Erwartungswert
und s ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
n p ð1 pÞ die Standardabweichung von X sind:
PðX ¼ kÞ¼B(n;p; k) p 1 ffiffiffiffiffiffi e 1 2 z2 ¼ 1 k m
jðzÞ mit z ¼
s 2 p s s
602-1
Übung 1
p ffi
Definieren sie auf einem CAS die Funktion j z. B. durch e^(–t^2/2)/ (2 p) § phi (t) und
verwenden Sie phi (t) zur Darstellung des Graphen. Wie kann phi(t) für Berechnungen mit der
lokalen Näherungsformel genutzt werden?