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1. Die Normalverteilung 601
Wird der Stichprobenumfang n für eine
feste Grundwahrscheinlichkeit p weiter
vergrößert, so nähert sich die Form des Histogramms
im Grenzfall einer „Glockenkurve“
an.
Es ergeben sich dabei je nach Wert von p
unterschiedliche Glockenkurven.
P(X = k)
0,1
10 20 30
p = 0,5
n = 50
k
Allerdings kann man eine sogenannte Standardisierung durchführen. Dabei wird durch eine
geeignete Transformation allen Histogrammen eine relativ einheitliche Form und Lage verpasst.
Noch wichtiger ist, dass die transformierten Histogramme sich mit wachsendem n allesamt
unabhängig von p ein und derselben „Glockenkurve“ anpassen.
Der Standardisierungsprozess
Schritt 1: Durch einen ersten Übergang
von der Zufallsgröße X zur Zufallsgröße
Y ¼ X m wird der Erwartungswert nach
0 verschoben. Das mit wachsendem n zu
beobachtende Auswandern des Histogramms
nach rechts wird vermieden.
Schritt 2: Anschließend sorgt ein weiterer
Übergang zu Z ¼ X m dafür, dass die
s
Standardabweichung auf 1 normiert wird.
Der wesentliche Teil des Histogramms
bleibt dann unabhängig von n stets etwa
gleich breit.
Die Streifenbreiten verändern sich allerdings
von 1 auf
1
sðXÞ .
Der Erwartungswert wird nicht weiter beeinflusst.
Er bleibt bei 0.
Schritt 3: Zum Ausgleich der Streifenbreitenänderung
werden die Streifenhöhen
mit s(X) multipliziert.
Dadurch erreicht man, dass die Streifenflächeninhalte
gleich bleiben, sodass
Streifen Nr. k auch in der standardisierten
Form den Flächeninhalt B(n; p; k) besitzt.
Die rechts dargestellte Bildfolge verdeutlicht
das Verhalten einer standardisierten
Zufallsvariablen für wachsendes n.
Die unten dargestellten Histogramme sind
die standardisierten Formen der auf der
vorherigen Seite abgebildeten Histogramme.
Beachten Sie die mit wachsendem
n eintretende Annäherung an die eingezeichnete
Glockenkurve.
P(Z = z)
0,4
-3 -2 -1 1 2 3 z
P(Z = z)
0,4
P(Z = z)
0,4
p = 0,5
n = 4
p = 0,5
n = 8
-3 -2 -1 1 2 3 z
p = 0,5
n = 12
-3 -2 -1 1 2 3
z