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XXII. Die Normalverteilung
1. Die Normalverteilung
Die zur Auswertung von Bernoulli-Ketten verwendeten Tafelwerke zu Binomialverteilungen
können nur eine kleine Auswahl von Kettenlängen abdecken. In diesem Buch sind Tabellen für
Bernoulli-Ketten der Längen n ¼ 1 bis n ¼ 20 sowie n ¼ 50, n ¼ 80 und n ¼ 100 dargestellt.
In der Praxis kommen natürlich auch Bernoulli-Ketten vor, die durch diese Tabellen nicht erfasst
werden, z. B. sehr lange Bernoulli-Ketten.
Soll beispielsweise die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmt werden, dass beim 500-maligen
Werfen einer fairen Münze höchstens 260-mal Kopf kommt, so ist der Wert F(500; 0,5; 260)
der kumulierten Binomialverteilung zu berechnen. Eine Tabelle für die Kettenlänge n ¼ 500
steht uns nicht zur Verfügung. Die direkte Berechnung des Wertes F(500; 0,5; 260) ist so zeitaufwändig,
dass wir einen Computer einsetzen müssen. Aber auch der CAS-Taschenrechner
benötigt für diese Berechnung bereits ca. 3 Minuten. Bei entsprechend langen Ketten ist schließlich
auch ein CAS ohne Chance.
Dennoch müssen wir nicht passen, denn es gibt die Möglichkeit, die Werte aller kumulierten
Binomialverteilungen bei genügend großem Stichprobenumfang näherungsweise durch Funktionswerte
einer einzigen relativ einfachen Funktion F darzustellen. Im Folgenden wird der
nicht ganz einfache Prozess dargestellt, der schließlich zu dieser Funktion führt.
A. Die Standardisierung der Binomialverteilung
Die Gestalt des Histogramms zu einer
binomialverteilen Zufallsgröße X hängt
nur von den Parameters n und p ab. Diese
bestimmen die Anzahl und die Höhe der
Säulen sowie die Position der höchsten
Säule, während die Säulenbreite stets 1
ist, sodass die Fläche der Säule Nr. k gleich
B(n; p; k) ist.
Halten wir die Grundwahrscheinlichkeit p
fest, so ist Folgendes zu beobachten:
1. Mit wachsendem n rückt die höchste
Säule des Histogramms weiter nach
rechts.
Der Erwartungswert m ¼ EðXÞ¼n p
wächst mit n an.
2. Mit wachsendem n wächst die Anzahl
der Säulen des Histogramms an, das
Histogramm wird breiter und flacher.
Die Streuung, d.h. p die Standardabweichung
sðXÞ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
n p ð1 pÞ wird mit
n größer.
P(X = k)
0,2
0,2
0 1 2 3 4 k
P(X = k)
0,2
0 1 2 3 4 5 6 7 k
P(X = k)
p = 0,5
n = 4
μ = 2
s = 1
p = 0,5
n = 8
μ = 4
s = √2
p = 0,5
n = 12
μ = 6
s = √3
0 2 4 6 8 10 k