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VII. Integrationsmethoden
Bemerkungen zur Substitutionsmethode
Die folgenden eher theoretischen Ausführungen kann der praktisch Interessierte ohne Bedenken
übergehen. Wir raten ihm, sich die Zeit vielmehr mit dem Lösen von Übungsaufgaben zu vertreiben,
denn nur so lernt man, Substitutionsintegrationen durchzuführen.
Begründung zur Typ-1-Substitution:
Eine Typ-1-Substitution kann versucht werden, wenn das Integral – abgesehen von konstanten
Faktoren – die Gestalt Ð fðgðxÞÞ g 0 ðxÞdx besitzt. Man substituiert dann gðxÞ¼z und erhält das
Integral Ð fðzÞdz. Anschließend bestimmt man eine Stammfunktion F(z) von f(z) und resubstituiert
z=g(x), sodass man im Ergebnis F(g(x)) als Stammfunktion des Ausgangsintegranden
erhält.
Dass F(g(x)) tatsächlich eine Stammfunktion von fðgðxÞÞ g 0 ðxÞ ist, weist man durch eine Differentiation
mithilfe der Kettenregel nach: ½FðgðxÞÞŠ 0 ¼ F 0 ðgðxÞÞ g 0 ðxÞ=fðgðxÞÞ g 0 ðxÞ:
Bemerkung zur Typ-2-Substitution:
In der Regel liegt der Integrand nicht in reiner Typ-1-Form fðgðxÞÞ g 0 ðxÞ vor. Dann kann man
eine Typ-2-Substitution versuchen, bei welcher die Integrationsvariable x selbst durch einen
Term t(z) substituiert wird, sodass das Integral Ð fðxÞdx in das Integral Ð fðtðzÞÞ t 0 ðzÞdz transformiert
wird, das dann im günstigsten Fall einfacher zu lösen ist als das Ausgangsintegral. Diese
Vorgehensweise hat den Vorteil, dass man nicht an eine bestimmte Form der Substitution gebunden
ist, sondern mit beliebigen Substitutionstermen frei experimentieren kann. Allerdings
wählt man den Substitutionsterm meistens so, dass ein besonders unangenehmer Teil des Integranden
– wie z:B: ein Quadrat oder eine Wurzel – wegfällt. Beliebte Substitutionsterme sind
x ¼ z 2 ,x¼ 1 ,x¼ sin z.
z
Knobelaufgabe
Frau Klug hat drei Töchter. Als ihr Nachbar Herr Schlau sie nach dem Alter
ihrer Töchter fragt, sagt sie:
„Das Produkt ihrer Alter ergibt 36. Die Summe ihrer Alter ist meine Hausnummer.“
Daraufhin antwortet Herr Schlau: „Diese Angaben genügen noch nicht.
Die Antwort ist nicht eindeutig.“
Daraufhin sagt Frau Klug: „Meine älteste Tochter heißt Julia.“
Wie alt sind die drei Töchter?