Klausur Aerodynamik II 27. 08. 2013 MUSTERL¨OSUNG ...

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AERODYNAMISCHES INSTITUT
der Rheinisch - Westfälischen
Technischen Hochschule Aachen
Univ.-Prof. Dr.-Ing. W. Schröder
Klausur
Aerodynamik II
27. 08. 2013
M U S T E R L Ö S U N G
E I N S IC H T N A H M E
Hinweis:
Achten Sie darauf, ob Sie alle Aufgaben erhalten haben:
Klausur Aerodynamik II
Fragenteil, Skelett-Theorie und linearisierte Potentialtheorie, Traglinientheorie

2
Integrale und Additionstheoreme
Additionstheoreme
• sin(x±y) = sin(x)·cos(y)±sin(y)·cos(x)
• cos(x±y) = cos(x)·cos(y)∓sin(x)·sin(y)
• sin 2 (x)+cos 2 (x) = 1
• sin(2x) = 2·sin(x)·cos(x)
• sin(x) = 2·sin(x/2)·cos(x/2)
• sin 2 (x) = 1 2 (1−cos(2x))
• cos 2 (x) = 1 2 (1+cos(2x))
• cos(2x) = cos 2 (x)−sin 2 (x)
• tan( x 2 ) = √
1−cosx
1+cosx
• tan( x )·sin(x) = 1−cos(x)
2
• sin(x)·sin(nx) = − 1 2 (cos[(n+1)x]−cos[(n−1)x])
• sin[(n+1)x]−sin[(n−1)x] = 2·cos(nx)·sin(x)
∞∑ 1
•
n sin(nϕ p)·sin(nϕ) = 1 (
4 ln 1−cos(ϕp +ϕ)
)
1−cos(ϕ p −ϕ)
n=1
Integrale
∫
1
•
ax+b dx = 1 a ·ln(ax+b)
∫
•
x
ax+b dx = x a − b a 2 ·ln(ax+b)
∫ x
2
•
X dx = 1 [ 1
]
a 3 2 (X)−2b(X)+b2 ln(X)
mit X = ax+b
∫
• sin(ax)dx = − cos(ax)
a
∫
• cos(ax)dx = + sin(ax)
a
∫
• sin 2 (ax)dx = x 2 − 1
4a sin(2ax)
∫
• cos 2 (ax)dx = x 2 + 1
4a sin(2ax)
∫
• sin 3 (ax)dx = cos3 (ax)
− cos(ax)
3a a
∫
•
cos 3 (ax)dx = − sin3 (ax)
3a
+ sin(ax)
a
∫
• cos 4 (ax)dx = 3 sin(2ax)
x+ + sin(4ax)
8 4a 32a
∫
• sin(ax)cos(ax)dx = sin2 (ax)
2a
∫ π
• sin(n·ϕ)·cos(p·ϕ)dϕ =
0
∫ π
• cos(n·ϕ)·cos(p·ϕ)dϕ =
0
∫ π
• sin(n·ϕ)·sin(p·ϕ)dϕ =
0
• Glauert-Integral
∫ π
0
{ π/2 n = p
0 n ≠ p
{ π/2 n = p
0 n ≠ p
{ π/2 n = p
0 n ≠ p
cos(n·ϕ ′ )
cos(ϕ)−cos(ϕ ′ ) dϕ′ = −π · sin(n·ϕ)
sin(ϕ)
∫
• cos(ax)·cos(bx)dx =
sin[(a−b)x]
2(a−b)
+ sin[(a+b)x]
2(a+b)
∀ |a| ≠ |b|
}
}
}

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1. Aufgabe: Fragenteil (15 Punkte)
1. Ein Radfahrer fährt mit der Geschwindigkeit v = 36km/h.
Wie groß ist die zur Überwindungdes Luftwiderstandeserforderliche Leistung in W, wenn die gesamte
Querschnittsfläche des Radfahrers A = 0.5m 2 und der Widerstandsbeiwert der Strömung c w = 0.8
betragen? (ρ Luft = 1.2kg/m 3 ).
Welche Art des Strömungswiderstandes dominiert beim Radfahrer?
2. (a) Erläutern Sie kurz die Unterschiede in der Strömung um ein konventionelles Profil bei der kritischen
Machzahl M krit und der Divergenz-Machzahl M div (alternativ mit Skizze).
(b) Nennen Sie zwei Maßnahmen zur Erhöhung von M krit und M div , die bei Flugzeugen angewandt
werden.
3. (a) Skizzieren Sie in den Lösungsblättern sorgfältig das Strömungsfeld um das NACA 2412 Profil,
das mit der in Abb. 1.1 dargestellten c p Verteilung gemessen bei M ∞ = 0.4 in Verbindung steht.
MarkierenSieimStrömungsfeldIhrerSkizzeundbenennenSiestichwortartigdieaufderSaugseite
dieser c p Verteilung herausragenden Merkmale, die auf Reibungseffekte zurückzuführen sind.
(b) Übertragen Sie die in Abb. 1.1 dargestellte c p Verteilung in Ihre Lösungsblätter und zeichnen
Sie sorgfältig im gleichen Diagramm eine neue c p,2 Verteilung, die Sie bei einer Reynoldszahl
von 3·10 6 erwarten würden. Die Machzahl bleibt unverändert. Achten Sie auf die Relation der
Verläufe zueinander.
Abbildung 1.1: Druckbeiwertsverlauf eines NACA2412 Profils bei M ∞ = 0.4
4. Diskretisieren Sie zur Bestimmung der numerischen Lösung die folgende Gleichung:
∂u
∂t +u∂u ∂x + 1̺
∂p
∂x = 0
Benutzen Sie für die Zeitableitung eine Vorwärtsdifferenz und für die räumlichen Ableitungen eine
Rückwärtsdifferenz. Verwenden Sie eine Genauigkeit erster Ordnung und gehen Sie von äquidistanten
Schrittweiten in Zeit- (∆t) und in Raumrichtung (∆x) aus.
Hinweis:
Falls nötig, übertragen Sie die Skizzen in Ihre Lösungsblätter und zeichnen Sie die Lösung dort ein!

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2. Aufgabe: Skelett-Theorie und linearisierte Potentialtheorie
(20 Punkte)
Im Folgenden soll das dargestellte Profil angenähert durch ein Parabelskelett für verschiedene Machzahlen
untersucht werden (je nach Aufgabenteil).
Z=z/l
f/l
αM ∞
0.5 1.0
X=x/l
Abbildung 2.1: Parabelskelett
1. Unter Anwendung der Skelett-Theorie für einen inkompressiblen Fall:
(a) Berechnen Sie die Zirkulationsverteilung γ(ϕ) nach Birnbaum-Ackermann in Abhängigkeit vom
Anstellwinkel α und der relativen Profilwölbung f/l.
(b) Leiten Sie die Formel zur Berechnung des Auftriebskoeffizienten c l = (2πA 0 +πA 1 ) her.
(c) Der Momementenbeiwert um die Profilnase kann nach der Formel c m = − π 2 (A 0 +A 1 ) berechnet
werden.
Bestimmen Sie die Lage des Druckpunktes in Abhängigkeit vom Auftriebskoeffizienten c l und der
relativen Profilwölbung f/l.
Skizzieren Sie in einem Diagramm diese Abhängigkeit (X Druckpunkt (c l )) mit Angabe des Grenzwertes
für c l → ∞.
2. Nun wird dasselbe Profil bei Machzahlen Ma 1 = 0.6 und Ma 2 = 3 unter Anwendung linearisierter
Potentialtheorie untersucht.
(a) Berechnen Sie die zugehörigen Auftriebsbeiwerte c l1 und c l2 für die Machzahlen Ma 1 = 0.6 und
Ma 2 = 3 entsprechend.
(b) Berechnen Sie die zugehörigen Widerstandsbeiwerte c w1 und c w2 für die Machzahlen Ma 1 = 0.6
und Ma 2 = 3 entsprechend, wenn das Profil ohne Anstellwinkel angeströmt wird.
Gegeben: Anstellwinkel α, Sehnenlänge l, Wölbung f, Ma 1 = 0.6 und Ma 2 = 3
Hinweise:
γ(ϕ) = 2V ∞ ·
(
A 0 ·tan
( ϕ
2)
+
−w a (ϕ) = − w
V ∞
= A 0 +
− w
V ∞
= α− dZ
dX
)
N∑
A n ·sin(nϕ)
n=1
N∑
A n ·cos(nϕ)
n=1
u
V ∞
= ± γ(X)
V ∞
2β
c p | Ma∞>1.2 = ± √
Ma 2 ∞ −1

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3. Aufgabe: Traglinientheorie (15 Punkte)
ω
R
r 0
r
u ∞ = 0
x
b
Eine Windenergieanlage soll bei Windstille auf ihre axialen Lasten F x am Getriebekopf getestet werden.
Der Rotor hat drei Blätter mit konstanter Breite b, bei denen nur der Anteil r 0 ≤ r ≤ R aerodynamisch als
relevantangesehenwird.InersterNäherungkanndieDreidimensionalitätdesStrömungsfeldesvernachlässigt
und von einer stationären Anströmung jedes Rotorblattes ausgegangen werden.
1. Ein Generator lässt nun die Blätter mit der Rotationsgeschwindigkeit ω rotieren. Geben Sie die Gleichung
für die lokale Anströmgeschwindigkeit in Abhängigkeit des Radius r eines Rotorblattes an und
skizzieren Sie diese für den tragenden Teil des Blattes. Tragen Sie in Ihre Skizze die Randwerte der
Geschwindigkeitsverteilung ein.
2. Berechnen Sie mit Hilfe des Satzes von Kutta-Zhukhovski die Auftriebsverteilung l Blatt (r) entlang
eines Rotorblattes.
3. Welche maximale Rotationsgeschwindigkeit ω max ist erlaubt, wenn eine Kraft F x,max am Getriebekopf
nicht überschritten werden darf? Welche Aussage lässt sich über den Einfluss von r 0 /R auf errechnete
Rotationsgeschwindigkeit ω treffen?
4. Bestimmen Sie die Verteilung des Auftriebsbeiwertes in Abhängigkeit vom Radius c L (r), die sich für
diesen Fall ergibt. Geben Sie die verwendeten Referenzgrößen explizit an!
5. Erläutern Sie ausführlich die Unterschiede zwischen dem hier betrachteten Fall und den realen Strömungsverhälnissen
eines solchen Testfalls.
Gegeben: Maximalkraft am Getriebekopf F x,max , Anzahl der Rotorblätter s, Sehne der Rotorblätter b,
Radius R, Radius r 0 = 0.1 R, Zirkulation Γ 0 , Freie Anströmung u ∞ = 0
Hinweis:
(
Zirkulationsverteilung: Γ(r) = Γ 0
[3 1− r ) 3 (
−6 1− r ) 2 (
+3 1− r ) ]
R R R

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1. Aufgabe: (LÖSUNG) Fragenteil (15 Punkte)
1.
ρ
F w = c w
2 v2 A
ρ
P = F w ·v = c w
2 v3 A
= 0.8· 1.2
2 ·103 ·0.5W
= 0.8·0.6·1000·0.5W
= 8
10 · 6
10 ·1000· 1
2 W = 240W
Beim Radfahrer dominiert der Druckwiderstand.
2. (a) Bei M krit : Lokale erstmalige Entstehung des Überschallgebietes auf dem Profil.
Bei M div : Entstehung eines Verdichtungsstoßes am Ende des Überschallgebietes auf dem Profil.
(b) 1. Pfeilung
2. Reduzierung der rel. Profildicke
3. Minderung der Saugspitzen durch moderate Beschleunigung der Strömung (z.B. durch Verschiebung
der Dickenrücklage nach hinten)
3. (a) 1. Ablösung der laminaren Grenzschicht.
2. Umschlag der Strömung an der Ablöseblase
3. Wiederanliegen der turbulenten Grenzschicht.
1 2 3
(b)

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4. Vorwärtsdifferenz:
∂f
∂x | i = f i+1 −f i
− ∂2 f
h 2 ∂x 2| i · h2
2 − ∂3 f
∂x 3| i · h2 2
6 +...
Rückwärtsdifferenz:
∂f
∂x | i = f i −f i−1
+ ∂2 f
h 1 ∂x 2| i · h1
2 − ∂3 f
∂x 3| i · h2 1
6 +...
⇒ un+1 i
∆t
−u n i
+u i
u i −u i−1
∆x
+ 1 ρ · pi −p i−1
∆x
= 0

8
2. Aufgabe: (LÖSUNG) Skelett-Theorie und linearisierte Potentialtheorie
(20 Punkte)
1. (a) Das angestellte Parabelskelett wird bei inkompressibler Strömung durch die ersten beiden Birnbaum’schenNormalverteilungenbeschrieben,dieausderkinematischenRandbedingungbestimmt
werden:
Integration zur Bestimmung von A 1 :
α− dZ(s)
dX = A 0 +A 1 ·cosϕ, ∀(A n ) = 0 für n 2
⇒ A 0 = α und dZ(s)
dX = −A 1 ·cosϕ
dZ (s)
dX = −A 1 ·cosϕ ⇒ dZ (s) = −A 1 ·cosϕ·dX
Aus der Substitution X = 1 2
(1+cosϕ) folgt cosϕ = 2X −1
dZ (s) = −A 1 (2X −1)dX ⇒ Z (s) (X) = −A 1 (X 2 −X)+C
Z (s) (X = 0) = 0 ⇒ C = 0
Z (s) (X = 1 2 ) = f l
⇒ A 1 = 4 f l
Somit lautet die Zirkulationsverteilung nach Birnbaum-Ackermann für das untersuchte Profil:
( ( ϕ
) ( ( ϕ
γ(ϕ) = 2V ∞ · A 0 ·tan +A 1 ·sinϕ = 2V ∞ · α·tan
2)
2)+4 f )
l ·sinϕ
(b) Aus dem Satz von Kutta-Zhukhovski folgt für die zweidimensionale Auftriebskraft
∫ l
ˆL = ̺V ∞ Γ = ̺V ∞ γ(x)dx = ̺V ∞ l
Für den Auftriebskoeffizienten c l ergibt sich:
Eingesetzt γ(ϕ) mit dX = − 1 2sinϕdϕ ergibt
0
c l = ˆL
̺
2 V ∞ 2l = 2∫ 1
0 γ(X)dX
V ∞
∫ 1
0
γ(X)dX
c l = 4V ∫ π
∞
(α·tan ϕ 2V ∞ 2 sinϕ+4f l sinϕsinϕ)dϕ
= 2(
∫ π
0
0
α·(1−cosϕ)dϕ+4 f l
∫ π
0
sinϕsinϕdϕ)
= 2(α(ϕ−sinϕ)| π 0 +2π f l )
= 2πα+4π f l
(= 2πA 0 +πA 1 )

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(c) Aus dem Hinweis folgt für den Momentenbeiwert um die Profilnase:
c m = − π 2 (A 0 +A 1 ) = − π 2 (α+4f l )
Für den Druckpunkt (X A ) ergibt sich aus der Betrachtung des Momentengleichgewichts um die
Profilnase:
X A = x A
l
= − c m
c l
=
π
2 (α+4f l )
c l
Für den Anstellwinkel α ergibt sich aus (b):
c l = 2απ +4π f l
⇒ α = −2 f l + c l
2π
Eingesetzt in die Formel für den Druckpunkt ergibt sich:
x A
l
=
π
2 (−2f l + c l
2π +4f l ) = 1 c l 4 +πf l
1
c l
X A=x A/l
0.25
c l
2. Nun wird dasselbe Profil bei Machzahlen Ma 1 = 0.6 und Ma 2 = 3 unter Anwendung linearisierter
Potentialtheorie untersucht.
(a) Für den Fall mit Ma 1 = 0.6 ergibt sich der Auftriebsbeiwert aus der Prandtl-Glauert-Regel und
dem in Teil 1 bestimmten Wert für den inkompressiblen Fall zu:
c l | Ma1 =0.6 =
1
√
1−Ma
2
1
c l | Ma1 =0 =
1
√
1−0.6 2 (2πα+4πf l )
Im Rahmen der linearisierten Potentialtheorie ist für den Auftriebsbeiwert bei Ma 2 = 3 nur die
Anstellung Profilsehne relevant. Aus dem Hinweis ergibt sich dann:

10
2β
c p | Ma∞>1.2 = ± √
Ma 2 ∞ −1 ⇒ ∆c p =
4α
√
Ma 2 ∞ −1
c l | Ma2 =3.0 =
∫ 1
0
∆c p dX =
4α
√
Ma
2
2 −1 = 4α √
8
(b) Berechnen Sie die zugehörigen Widerstandsbeiwerte c w1 und c w2 für die Machzahlen Ma 1 = 0.6
und Ma 2 = 3 entsprechend, wenn das Profil ohne Anstellwinkel angeströmt wird.
Für den Fall mit Ma 1 = 0.6 besitzt das Profil keinen Widerstandsbeiwert (D’Alembert’sches
Paradoxon):
c w | Ma1 =0.6 = 0
Im Rahmen der linearisierten Potentialtheorie ergibt sich der Widerstandsbeiwert bei Ma 2 = 3
zu:
c w | Ma2 =3.0 =
∫ 1
0
∆c p · dZ
dX dX
Mit dem Hinweis c p | Ma∞>1.2 = ±
√
2β
Ma 2 ∞ −1
und βˆ=
dZ
dX
ergibt sich:
c w | Ma2 =3.0 =
∫ 1
0
( )
4 dZ 2
√
Ma
2
2 −1 · dX
dX
Z = 4 f dZ
X(1−X) ⇒
l dX = (1−2X)4f l
64 f 2 ∫ 1
c w | Ma2 =3.0 = √
3 2 −1 l 2 (1−2X) 2 dX
0
= 64
3 √ f 2
8 l 2

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3. Aufgabe: (LÖSUNG) Traglinientheorie (15 Punkte)
1.
ωR
u
Geschwindigkeit : u(r) = ω r
Steigung :
du(r)
dr
= ω
ωr 0
r 0
R
r
2. Bestimmung der Auftriebskraft bezogen auf einen Schnitt in radialer Richtung Kutta-Zhukhovski:
l = ρ u(r) Γ(r)
⇒ dL
dr = l Blatt(r) = ρ u(r) Γ(r)
= ρ ωr Γ 0
[3
(
1− r R
(
= ρωΓ 0 r 1−
R) r [ 3
(
= 3ρωΓ 0 r 1− r )( r 2
R R)
) 3 (
−6 1− r R
(
1−2 r ( r
) 2
)−6+6
R + r ]
R R +3
) 2 (
+3 1− r ) ]
R

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3. Integrale Auftriebskraft eines Blattes:
∫ R
⇒ L Blatt = ρ u(r) Γ(r)dr
r 0
∫ R
[ (
= ρ ωr Γ 0 3 1− r
r 0
R
∫ R
= ρωΓ 0
r 0
r
= ρωΓ 0
∫ R
r 0
r
= ρωΓ 0
∫ R
r 0
r
) 3 (
−6 1− r ) 2 (
+3 1− r R R) ] dr
(
1−
R) r [ (
3 1−2 r ( r
) 2
)−6+6
R + r ]
R R +3 dr
(
1− r ) [ 3−6 r ]
R R +3r 2 r −6+6
R R +3 dr
(
1−
R) r ( ( ) r 2
3 dr
R)
(5R−4r) r 4 ∣ ∣∣∣
R
= 3ρωΓ 0
20 R 3 r
[
0
(5R−4R) R
4
= 3ρωΓ 0
20 R 3 − (5R−4r 0) r0
4 ]
20 R 3
⎡
= 3ρωΓ 0
⎢
1
⎣
= 3 20 ρωΓ 0R 2
20 R2
} {{ }
K1
− 4,6R 10−4 R 4
20 R 3
} {{ }
K2
⎤
⎥
⎦
F x,max = L ges = s L Blatt = s 3 20 ρω maxΓ 0 R 2
⇒ ω max = F x,max
s 3
20 ρΓ 0R 2
Da K2/K1 ∝ O −3 , folgt daraus, dass das Verhältnis r 0 /R einen vernachlässigbaren Einfluss auf die
zu ermittelnde Rotationsgeschwindigkeit besitzt.
4. Referenzgrößen:
Fläche eines Rotorblattes: A = b (R−r 0 )
Staudruck, z.B bei r=R: q(r = R) = 1 2 ρ u2 (r = R) = 1 2 ρ ω2 R 2
Allgemeine Definition des Auftriebsbeiwerts in Abhängigkeit von r (pro Länge):
c L (r) = l(r)
A q =
ρ u(r) Γ(r)
b (R−r 0 ) 1 2 ρ ω2 R 2
(
2 r Γ 0
[3 1− r ) 3 (
−6 1− r ) 2 (
+3 1− r ) ]
R R R
=
b(R−r 0 ) ω R 2
5. Die Berechnung des Auftriebs mit Kutta-Zhukhovski vernachlässigt die Dreidimensionalität und die
Reibung, die in der Realität einen Widerstand erzeugen wird. Außerdem werden die Einflüsse des
Flügelrandwirbels, der induzierten Abwärtsgeschwindigkeit und des Nachlauf eines Blattes auf das
nachfolgende Blatt vernachlässigt. Dies führt dazu, dass die hier bestimmte Tragkraft des Rotors
höher ist als sie in der Realität wäre.