3 REM-KL Untersuchungen an Halbleitern

REM-KL Untersuchungen an Halbleitern 27
Für Niederinjektion und konstante Temperatur erhält man aus (3.4) und (3.13) für die
Minoritäts-Überschussladungsträgerdichte q(r,t) (q=∆p im n- bzw. q=∆n im p-Halbleiter):
b g (3.14)
2 1
− ∂ + ∇ − − = −
∂t q( r, t) D q( r, t) µ∇ F( r, t) q( r, t) () q( r,
r
t) g( r,
τ
t)
Die Feldstärkeverteilung bestimmt sich aus (3.5) und kann bei totaler Verarmung in einer
Raumladungszone konstant gesetzt werden (Schottky-Näherung).
Die stationäre Minoritätsträgerverteilung q(r) in Anwesenheit eines ausgedehnten Effektes
ohne Driftfelder (F=0) ergibt sich aus der stationären Kontinuitätsgleichung:
2 1
D∇ q()
r − q() r = −g()
r
τ() r
(3.15)
Die ortsabhängige Lebensdauer τ(r) weist dabei unmittelbar auf den lokalen Einfluss des
Volumendefektes hin. Grenzflächen am Ort r S werden durch die Randbedingung der Form
∂
D q ∂n
r=r
S
= vq( r ) (3.16)
S
S
berücksichtigt, durch die ein Diffusionsstrom in Richtung der Grenzflächennormalen fließt.
Die i.Allg. nichtstrahlende Grenzflächenrekombination erfolgt mit einer Geschwindigkeit v S .
In Raumrichtungen mit praktisch unendlicher Ausdehnung verschwindet die Ladungsträgerdichte
( q( r)
→0für r → ∞ ).
Die Kontinuitätsgleichung kann mit Hilfe der Methode der Greenschen Funktion gelöst
werden, welche für verschiedene Probengeometrien bekannt ist [roo55, don78]. G(r,r‘)
entspricht der Ladungsdichteverteilung bei Generation durch eine Punktquelle bei r‘. Die
ungestörte Ladungsträgerdichte in einem defektfreien Halbleiter für beliebige Generation
folgt dann durch Integration über das Probenvolumen Ω S zu:
z
1
q0
D d 3
() r = r' 4
g (') r G (', r r)
(3.17)
π Ω
S
Gleichungen (3.14) und (3.15) sind die Grundlage für die Berechnung des KL-Kontrastes
in Anwesenheit ausgedehnter Defekte und werden in Kapitel 7 benutzt.
3.2.1.5 Spektrale optische Absorption
Der spektrale optische Absorptionskoeffizient α(hν) ist eine weitere für das optische
Verhalten eines Halbleiters relevante Größe. Er steht im Zusammenhang mit der komplexen
dielektrischen Funktion ε(hν) bzw. dem komplexen Brechungsindex n(hν):
4πνχ
ε = n = n+ iχ,
α = , (3.18)
c
wobei n und χ als (reeller) Brechung- bzw. Absorptionskoeffizient bezeichnet werden. Der
Verlauf des Absorptionskoeffizienten am fundamentalen Übergang bei hν≈E g spielt dabei die
größte Rolle. Für parabolische Bänder erhält man einen wurzelförmigen Verlauf der direkten
Absorptionskante:
αbhνg~ hν−Eg
(h ν≥ Eg)
. (3.19)