Fehlerrechnung_Vorlesung11.pdf

Ankündigung 

Sondertutorium zur Besprechung der Probeklausur und 

Klausurvorbereitung Fehlerrechnung allgemein 

Termine: 

Wochentag Zeit Ort 

Mittwoch 16:00 - 18:00 HS3 

Freitag 16:00 - 18:00 HS3 

Das Tutorium ist nicht verpflichtend, 

weiterhin ist keine Anmeldung nötig 

Beginn: 08.01.2014 

Ansprechpartner: M. Wagner 

S. Hümmer Mo-Fr: 08:00 – 12:00 

in Raum B017 

T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Verteilungsfunktionen III: Poissonverteilung, Gewichtete Mittelwerte 09.01.2014 Vorlesung 11- 1

Ankündigung 

Blockkurs Grundpraktikum 

Wintersemester 2013/2014: 

03.03.2014 – 21.03.2014 

Anmeldezeitraum: 

13.01.2013 – 31.01.2013 

online unter www.physik.uni-wuerzburg.de/grundpraktikum/ 

Termine: 

T17 Montag/Donnerstag 08:30 

T18 Montag/Donnerstag 14:00 

T19 Dienstag/Freitag 08:30 

T20 Dienstag/Freitag 14:00 

Sicherheitseinweisung BAM am 27.02.2014 


Verteilungsfunktionen III: 

Wiederholung 

Poissonverteilung 


1.) Die Binomialverteilung 

Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung 

Was bisher geschah… 

W 

⎛ n ⎞ 

⎝m⎠ 

m 

( ) ( ) n − 

m = ⎜ ⎟⋅ p ⋅ 1− 

p 

m 

Beschreibt Anzahl der Erfolge bei Serie gleichartiger und unabhängiger Versuche mit 

nur zwei möglichen Ergebnissen (Bernoulli - Experiment) 

W(m) beschreibt, für gegebene Erfolgswahrscheinlichkeit p, die Wahrscheinlichkeit bei n 

Versuchen genau m Erfolge zu erzielen. 

Normiert, d. h. Summe über alle W(m) ist eins. 

Erwartungswert M = n·p 

Varianz: 2 = n·p (1-p) = M (1-p) 


2.) Die Normalverteilung ( ) 

Kontinuierliche Verteilung 

Was bisher geschah… 

( x − M ) 2 

− 

1 

= , ∈ R. 

σ 2π 

2 

2 σ 

G x e x 

Symmetrisch um den Erwartungswert M, geht schnell gegen null wen (x - M) 2 groß wird 

Standardabweichung gegeben durch , Wendepunkt der Verteilungsfunktion 

Normiert, d. h. 

+∞ − 

∫ 

−∞ 

1 

σ 2π 

e 

( x − M ) 2 

2 σ 

2 

dx 

= 

1 

Fehlerfunktion 

P 

1 − 

2 

( innerhalb 1σ 

) = e dz 

1 

2π 

∫ + −1 

z 

2 

Im Grenzfall n ∞ konvergiert Binomialverteilung gegen Normalverteilung 


Von der Binomial- zur Normalverteilung 

Bernoulli- Verteilung 

diskret 

Parameter: n=1, p 

Binomial-Verteilung 

diskret 

Parameter: n, p 

Bi (x) 

n ∞ 

p const. 

Gauss-Verteilung 

Normal-Verteilung 

kontinuierlich 

Parameter: µ, σ 

G (x) 

Wir machen eine Messung 

Die Messwerte x m setzen sich aus einer großen Zahl 

von kleinen Elementarfehlern β zusammen, 

die um den wahren Wert (Mittelwert) µ verteilt sind. 

Die Elementarfehler treten n mal auf, 

m mal positiv und n-m mal negativ. 

Der Fehler f m setzt sich somit zusammen aus (p = 1/2): 

f m = m β - (n-m) β = 2 m β - n β 

[m = n/2 + f m / 2 β ] 



Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Fehler m mal positiv und 

n-m mal negativ auftritt wird durch die Binomial-Verteilung 

gegeben: 

P 

m 

= 

⎛ n ⎞ 

⎜ ⎟p 

⎝m⎠ 

P m 

P m+1 

P m+2 

P m+3 Pm+4 

m 

( 1− 

p) 

n−m 

= 

⎛ n ⎞ 1 

⎜ ⎟ 

⎝m⎠2 

n 

= 

m! 

n! 

n 

( n − m )! 

2 

m+4 

Die Verteilung ist treppenförmig 

Lassen wir β immer kleiner werden und n immer 

größer, 

dann wird die Anzahl der Stufen immer größer, die 

Kurve immer "glatter". 

Versuch, eine Funktion zu finden, 

die den Verlauf beschreibt. 

f m f m+1 f m+2 f m+3 f m+4 



f m = m β - (n-m) β = 2 m β - n β 

∆P 

∆f 

= 

P 

f 

m 

m 

− 

− 

P 

f 

m+ 

1 

m+ 

1 

P 

m 

⎛ n ⎞ 

⎝m⎠ 

1 

2 

⎛ n ⎞ 

⎝m 

+ 1⎠ 

= ⎜ ⎟ und P 

n 

m+ 

1 

= ⎜ ⎟ 

1 

2 

n 

P 

n − m 

m + 1 

m+ 1 

= Pm 

sowie fm− 

fm+ 

1 

= − 

2 β 

∆P 

∆f 

= 

n 

− 2m 

−1 

Pm 

⋅ 

m + 1 2β 

Die Rechnung soll durchgeführt werden für Fehler, 

die klein sind gegen den maximalen Fehler, also 

f m > 1. 

[m = n/2 + f m / 2 β] 



P 

∆f 

∆ [m = n/2 + f m / 2 β] 

= 

∆P 

≈ − 

∆ 

f 

n − 2m 

−1 

Pm 

⋅ 

m + 1 2β 

P f 

2 

n 

β 

P f 

2 

n 

β 

m m 

= − = 

dP 

df 

n - 2 m – 1 ≈ n - 2 m = - f m / β 

und der Nenner 

m + 1 ≈ m = n/2 + f m /2 β ≈ n/2 

Abkürzung : n β 2 = σ 2 

Abkürzung : n β 2 = σ 2 const 

dP 

df 

P f dP 1 

= − 

= − ⋅ f ⋅df 

2 

2 

σ P σ 

1 2 

lnP = − x + 

2 

2σ 

P 

= 

d 

⋅e 

− 

x 

2 

2σ 

2 

d 

= 

1 

2 

2πσ 


Wann ist n ∞ in der Praxis gut erfüllt? 

Was fehlt ? 

FAUSTREGEL: n·p > 9 

d. h. n hinreichend groß und p nicht zu klein. 

je asymmetrischer die Binomialverteilung, desto größer muss n 

sein um gut durch Normalverteilung genähert zu sein. 

Was passiert, wenn p sehr klein ist? 

Betrachten wir den Fall n ∞ und p 0, 

mit der Nebenbedingung n·p = konstant. 


Von der Binomial- zur Poisson-Verteilung 

⎛ n ⎞ 

= ⎜ ⎟⋅ p ⋅ 1− 

p 

⎝m⎠ 

m 

Binomialverteilung ( ) ( ) n − m 

W 

m 

Gesucht: 

W(m) für n ∞ und p = /n 

n! 

⎛ µ ⎞ ⎛ µ ⎞ 

lim W ( m) 

= lim ⋅⎜ ⎟ ⋅⎜1 

− ⎟ 

n→∞ 

n→∞ 

( n − m)! m! 

⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠ 

m 

n−m 

m 

⎛ µ ⎞ ⎛ n ( n − 1)( n − 2) ⋅⋅⋅ ( n − m 

+ 

1) 

⎞ ⎛ µ ⎞ ⎛ µ 

⎞ 

= lim ⎜ ⎟⎜ 1 1 

n→∞ 

m 

⎟⋅⎜ − ⎟ ⋅⎜ − ⎟ 

⎝ m! 

⎠⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠ 

n 

−m 

m 

⎛ µ ⎞ ⎛ n n −1 n − 2 n − m + 1⎞ ⎛ µ ⎞ ⎛ µ ⎞ 

= ⎜ ⎟ lim ⎜ ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ ⎟⋅⎜1 − ⎟ ⋅⎜1 

− ⎟ 

m! 

n→∞ 

⎝ ⎠ ⎝ n n 

 

n n ⎠ ⎝ n ⎠ ⎝ 

n ⎠ 

→1 

n 

→1 

−m 

m 

⎛ µ ⎞ ⎛ µ ⎞ 

= ⎜ ⎟ lim ⎜1 

− ⎟ 

m! 

n→∞ 

⎝ ⎠ ⎝ n ⎠ 

n 


Von der Binomial- zur Poisson-Verteilung 

m 

⎛ µ ⎞ ⎛ µ ⎞ 

lim W ( m) 

= ⎜ ⎟ lim ⎜1 

− ⎟ 

n→∞ 

m! 

n→∞ 

⎝ ⎠ ⎝ n ⎠ 

n 

Kurze Erinnerung: Euler‘sche Zahl und Näherungsformel Exponentialfunktion 

e 

x 

⎛ 

= lim ⎜1+ 

n→∞⎝ 

x ⎞ 

⎟ 

n ⎠ 

n 

Damit: 

lim 

n→∞ 

( ) 

W m 

m 

⎛ ⎞ 

= ⎜ ⎟e 

⎝ m! 

⎠ 

µ −µ 

Dies wird als Poisson`scher Grenzwertsatz oder 

als Gesetz seltener Ereignisse bezeichnet. 


Poisson-Verteilung 

µ e 

x! 

x −µ 

Die Verteilung: P( x) = , wobei x = 0,1,2,3, ..... 

heißt Poissonverteilung oder Verteilung seltener Ereignisse. 

x ist die Anzahl von Ereignissen in einer bestimmten Zeit oder in einem 

bestimmten Volumen, wobei ein bestimmter Mittelwert µ solcher Ereignisse 

erwartet werden kann. 

Die Ereignisse müssen zufällig und unabhängig voneinander sein. 

Die Verteilung ist diskret und asymmetrisch. 



Konsistenz: Wie groß ist der Mittelwert (Erwartungswert)? 

x 

∞ 

∞ x 

µ − 

xP ∑ 

x= 

0 x= 

0 x! 

µ 

( x) x 

= ∑ = e 

Der erste Term der Summe ist Null. 

Der Faktor x/x! kann durch 1/(x-1)! ersetzt werden. 

x 

= 

µ e 

−µ 

∞ 

∑ 

x 

µ 

−1 

( x −1) 

! 

x= 

1 

 

2 3 

µ µ 

1+ 

µ + + + .... = 

2! 

3! 

e 

µ 

= 

µ 

Das heißt der Parameter µ , der die Poisson-Verteilung charakterisiert, 

ist gleich der mittleren Anzahl der gezählten Ereignisse, die erwartet wird, 

wenn wir das Zählexperiment viele Male wiederholen. 



Wie groß ist die Standardabweichung ? 

Zunächst Berechnung der Varianz 

σ 

2 

= 

= 

∑ 

∞ 

x= 

0 

( x 

− 

µ 

) 

2 

µ 

x! 

x −µ 

e 

∞ 

2 

2 

∑( x − 2xµ 

+ µ ) 

x= 

0 

x 

µ e 

x! 

−µ 

2 

σ 

∞ 

= ∑ x 

x= 

0 

2 

x 

µ e 

x! 

−µ 

∞ 

x 

− 

µ 

µ 

e 

−∑ 

2 x µ 

x= 

0 x! 

 

 

2 

−2µ 

∞ x −µ 

2 µ e 

+ ∑ µ 

x= 

0 x! 

 

 

2 

+ µ 



Verschiebungssatz: 

σ 

2 

∞ 

∑ 

x = 0 

x= 

0 

( x µ ) 2 

= − 

x 

µ e 

x! 

∞ 

µ e 

= ∑ x − 

x! 

−µ 

x −µ 

2 2 

µ 

σ 

ersetzen von x 2 mit (x ( x - 1 ) + x ), führt zu 

x µ 

x µ 

( x ( x − ) + x) µ e 

2 x ( x −1) µ e 

2 

2 

∞ − 

= ∑ 

x! 

2 1 

= 

x= 

0 

∞ 

∑ 

x= 

0 

x 

− 

µ 

x −µ 

∞ x −µ 

( x −1) µ e xµ 

e 

2 

x! 

+ 

∑ 

x= 

0 

x! 

− 

µ 

σ 

∑ 

= ∑ ∞ − 

x= 

0 

∞ 

2 

= µ ∑ 

x= 

2 

x! 

x−2 

− 

µ e 

(x − 2 )! 

µ 

+ 

+ µ − 

µ − 

2 

µ 

µ 

Ersetzen von x-2 durch ν, summieren von ν = 0 

ergibt für die Summe den Wert eins und damit wird: 

2 

2 

2 

σ µ 

= µ + µ − µ = 

µ 

σ µ 

= 

µ 



σ µ 

= 

µ 

Die Standardabweichung ist somit gleich der 

Wurzel aus dem Mittelwert. 

Der Fehler des Mittelwertes ist gegeben durch: 

σ = 

µ 

wobei n die Anzahl der Messungen ist, die wir verwendet haben, um den 

Mittelwert zu bestimmen. 

σ 

µ 

n 

Der relative Fehler der Poisson-Verteilung ist somit: 

σ µ 

nµ 

= 

µ 

nµ 

= 

1 

n µ 



Die Anwendung der Poisson-Verteilung ist breit gefächert: 

Anzahl der Telefongespräche, die in einer bestimmten Zeit bei einer Firma 

eintreffen. 

Anzahl der Kunden an einem Bankschalter pro Zeiteinheit. 

Anzahl der Bakterien pro Liter Nährlösung. 

Anzahl der Verkehrsunfälle pro Zeiteinheit an einer Kreuzung. 

Anzahl der in einer bestimmten Zeit zerfallenden Atomkerne. 



Beispiel: 

An einer Kreuzung finden pro Woche zwei Verkehrsunfälle statt. 

Die Häufigkeit der Verkehrsunfälle wird durch eine Poissonverteilung 

mit µ = 2 beschrieben. 

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, 

dass in einer Woche kein Unfall stattfindet ? 

P 

( x) 

= 

e 

x! 

x µ 

µ − 

0 −2 

2 e 

P = 

0! 

−2 

( 0) = = e 0. 

135335 



Beispiel: 

An einer Kreuzung finden pro Woche zwei Verkehrsunfälle statt. 

Die Häufigkeit der Verkehrsunfälle wird durch eine Poissonverteilung mit 

µ = 2 beschrieben. 

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, 

dass weniger als vier Verkehrsunfälle in zwei Wochen stattfinden ? 

P(≤ 3) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) = 0.4335 

P 

P 

P 

P 

( 0) 

( 1) 

( 2) 

= 

= 

= 

0 

4 e 

0! 

1 − 

4 e 

1! 

2 

4 e 

2! 

3 

4 e 

3! 

−4 

4 

−4 

−4 

= 0. 

018316 

= 0. 

073264 

= 0146528 . 

( 3) = = 0. 

195367 

Ähnliche Fragen sind z. B. wie viele Kinder werden 

pro Tag in einem Krankenhaus geboren ? 

(Jahreszeitliche Schwankungen) !!. 

Liegt tatsächlich eine Poissonverteilung vor ? 

Qualitativer graphischer Vergleich 

Quantitativ mittels χ 2 -Test 



0,25 

Poisson-Wahrscheinlichkeit 

für erwartete zwei Unfälle pro Woche 

Unfallwahrscheinlichkeit 

0,20 

0,15 

0,10 

0,05 

0,00 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 

Anzahl der Unfälle 



Betrachte die Anzahl der Unfälle an der Kreuzung über ein Jahr: 

Poissonverteilt? 

Anzahl Unfälle Häufigkeit Relative Häufigkeit 

0 7 0,13462 

1 14 0,26923 

2 16 0,30769 

3 9 0,17308 

4 4 0,07692 

5 1 0,01923 

6 0 0 

7 1 0,01923 

8 0 0 

Wie groß ist der Mittelwert? 



Anzahl Unfälle Häufigkeit Relative Häufigkeit 

0 7 0,13462 

1 14 0,26923 

2 16 0,30769 

3 9 0,17308 

4 4 0,07692 

5 1 0,01923 

6 0 0 

7 1 0,01923 

8 0 0 

µ = (0⋅ 7 + 1⋅ 14 + 2⋅ 16 + 3⋅ 9 + 4⋅ 4 + 5⋅ 1+ 6⋅ 0 + 7 ⋅ 1+ 8⋅ 0) / 52 = 1,94 



Betrachte die Anzahl der Unfälle an der Kreuzung über ein Jahr: 

Poissonverteilt? 

Anzahl Unfälle Häufigkeit Relative Häufigkeit Poissonwahr. 

0 7 0,13462 0,144 

1 14 0,26923 0,279 

2 16 0,30769 0,270 

3 9 0,17308 0,175 

4 4 0,07692 0,085 

5 1 0,01923 0,033 

6 0 0 0,011 

7 1 0,01923 0,003 

8 0 0 0,001 



Unfallwahrscheinlichkeit 

0,30 

0,25 

0,20 

0,15 

0,10 

0,05 

Relative Häufigkeit 

Anzahl Unfälle 

Poissonwahrscheinlichkeit 

für erwartete 1,92 Unfälle 

Übereinstimmung gut? 

0,00 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 

Anzahl der Unfälle 


Zusammenhang der Poisson- und Normalverteilung 

Poisson- 

Verteilung 

diskret 

Parameter µ = σ 2 

P(x) 

Gauss-Verteilung 

Normal-Verteilung 



µ ∞ 

µ = n p 

G (x) 

29.09.2003 Vorlesung 5 44 


Zusammenhang der Verteilungen 

Bernoulli - Verteilung 

diskret 

Parameter: n=1, p 

Binomial-Verteilung 

diskret 

Parameter: n, p 

Bi (x) 

n ∞ 

p 0 

Poisson - Verteilung 

diskret 

Parameter µ = σ 2 

P(x) 

n ∞ 

p const. 

Gauß - Verteilung 

Normal - Verteilung 



G (x) 

µ ∞ 

µ = n p 


Zusammenhang der Verteilungen 

Ist die Population endlich ? 

JA 

NEIN 

Ist n groß ? 

Ist n·p > 9 ? 

JA 

NEIN 

JA 

NEIN 

Hypergeometrisch Gauß Poisson 

Binomial 


Gewichtete Mittelwerte 


Spannendes aus der Wahlforschung… 


Spannendes aus der Wahlforschung… 

Man nimmt fünf Messergebnisse, jedes mit seinem Fehler. 

Man bestimmt daraus den Mittelwert. 

Der resultierende Mittelwert hat keinen Fehler mehr ?!? 



Problem: Zusammenfassung von Messergebnissen 

Zwei Arbeitsgruppen A und B mit unterschiedlichen Versuchsmethoden 

X 

X 

= 

= 

X 

X 

A 

B 

± 

± 

σ 

σ 

A 

B 

Zusammenfassen zu einem Messwert. 

Wenn x A - x B größer als die Summe der beiden Standardabweichungen, 

dann einer der Messungen misstrauen. 

Die Messergebnisse sind inkonsistent. 

Annahme die Messwerte seien konsistent. 

Welchen Wert besitzt der Bestwert? 


Erster naheliegender Gedanke: 


(x A + x B )/2 

Ungeeignet, wenn die beiden Standardfehler unterschiedlich sind. 

Bei obiger Mittelung haben beide Messergebnisse das gleiche Gewicht, obwohl 

bei einer der Messungen der Mittelwert genauer ist als bei der anderen 

Annahme beide Messungen folgen einer Gauß-Verteilung 

G 

M 

( X ) 

A 

( X A −M 

) 

− 

1 2 

2σ 

A 

A 

2 

∝ e 

GM 

( X 

B 

) 

σ 

∝ 

σ 

( X B −M 

) 

− 

1 2 

2σ 

B 

B 

e 

2 

Die Wahrscheinlichkeit, dass A den Messwert X A und B den Wert X B findet, 

ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten. 


G 

M 

( X ) 

A 

Annahme beide Messungen folgen einer Gauß-Verteilung 

( X A −M 

) 

− 

1 2 

2σ 

A 

A 


2 

∝ e 

GM 

( X 

B 

) 

σ 

σ 

( X B −M 

) 

− 

1 2 

2σ 

B 

Die Wahrscheinlichkeit, dass A den Messwert X A und B den Wert X B findet, 

ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten. 

∝ 

B 

e 

2 

X A 

X B 



Aus: 

erhalten wir 

mit 

( − ) 

( − ) 

2 2 

B 

− 

2 2 

A 

σ B 

X A M X M 

− 

1 2σ 

1 2 

M ( A ) ∝ 

und 

M ( B ) ∝ 

σ 

A 

σ 

B 

G X e G X e 

1 

GMges = GM ( X 

A ) ⋅GM ( X 

B ) ∝ e 

σ σ 

χ 

2 

2 2 

⎛ X − M ⎞ ⎛ X − M ⎞ 

A 

B 

= ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ 

⎝ σ 

A ⎠ ⎝ σ 

B ⎠ 

A 

B 

2 

χ 

− 

2 

Die Abkürzung "CHI-Quadrat" ist die Summe der Quadrate der Abweichungen der beiden 

Messwerte von M, 

jeweils dividiert durch die entsprechende Unsicherheit. 

M ist der zu suchende Bestwert, dessen Wahrscheinlichkeit maximal ist, 

oder was identisch ist, dessen χ 2 minimal ist. 

Minimierung der "Summe der Quadrate" oder 

Methode der kleinsten Quadrate 



χ 

2 

2 2 

⎛ X − M ⎞ ⎛ X − M ⎞ 

A 

B 

= ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ 

⎝ σ 

A ⎠ ⎝ σ 

B ⎠ 

Differenzieren nach M und Ableitung gleich Null setzen. 

∂ 2 X 

A 

M X M 

2 2 0 

M χ − 

− 

= − − = 

∂ 

σ σ 

B 

2 2 

A 

B 

Auflösen nach M ergibt den Bestwert: 

M 

= 

x Best 

= 

X A 

X 

2 

σ + 

A 

σ 

1 1 

2 2 

σ + σ 

A 

B 

2 

B 

B 

Übersichtlichere Schreibweise mit den Abkürzungen: 

X 

Best 

= 

w 

A 

X 

w 

A 

A 

+ 

+ 

Allgemeine Formulierung 

w 

w 

B 

B 

X 

B 

X 

Best 

w 

A 

N 

∑ 

= 

i= 

1 

= 

N 

∑ 

i= 

1 

X 

1 

σ 

i 

w 

w 

i 

2 

A 

i 

und 

w 

B 

= 

1 

σ 

2 

B 


Gewichtete Mittelwerte - Beispiel 

Messung des Ohm´schen Widerstandes durch 3 Studenten 

(Ergebnisse in Ohm) 

R 1 = 11± 1, R 2 = 12 ± 1, R 3 = 10 ± 3 

w 1 =1, w 2 = 1 und w 3 = 1/9 

R 

Best 

= 

3 

⎛ 1 ⎞ 

w ( 1⋅11) + ( 1⋅12) 

+ ⎜ ⋅10 

iRi 

⎟ 

= 1 

= 

⎝ 9 ⎠ 

= 11. 42Ω 

3 

⎛ 1 ⎞ 

∑w 

⎜1 

+ 1 + 

i 

⎟ 

i= 

1 

⎝ 9 ⎠ 

∑ 

i 

Wie groß ist der Fehler von R Best ? 


Gewichtete Mittelwerte - Beispiel 

R 

∂ R 

Best 

Best 

∂ R 

i 

= 

= 

w R 

1 

+ w 

w + w + w 

w 

w + w + w 

1 

1 

1 

i 

2 

2 

R 

2 

2 

3 

+ w 

3 

3 

R 

3 

und 

σ 

2 

R 

i 

= 

1 

w 

i 

σ 

2 

⎛ ∂ R ⎞ 

2 

⎛ 

Best 

∂ R ⎞ 

2 

⎛ 

Best 

∂ R ⎞ 

Best 

= ⎜ 

R1 

R2 

R 

⎟ σ + 

⎜ 

+ 

1 

R 

⎟ σ 

⎜ 

2 

R 

⎟ σ 

⎝ ∂ ⎠ ⎝ ∂ ⎠ ⎝ ∂ 

3 ⎠ 

R Best 

+ 

= 

⎛ w1 

⎜ 

⎝ w1 

+ w2+ 

w 

3 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

2 

1 

w 

1 

⎛ w ⎞ 

2 

+ 

⎜ 

w1 

w2 

w 

⎟ 

⎝ + + 

3 ⎠ 

2 

2 

1 

w 

2 

2 

2 

R 

⎛ w3 

+ 

⎜ 

⎝ w1+ 

w2+ 

w3 

3 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

2 

1 

w 

3 

= 

w + w + w 

( w + w w ) 2 

1 

1 

2 

2 

3 

3 

Allgemeine Formulierung: 

σ 

Best 

= 

1 

∑ 

w 

i 

In unserem Beispiel: σ Best = (1+1+1/9) -1/2 = 0.69 Ω 

R = (11.42 ± 0.69) Ω

Fehlerrechnung_Vorlesung11.pdf

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