Fehlerrechnung_Vorlesung11.pdf
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Ankündigung<br />
Sondertutorium zur Besprechung der Probeklausur und<br />
Klausurvorbereitung <strong>Fehlerrechnung</strong> allgemein<br />
Termine:<br />
Wochentag Zeit Ort<br />
Mittwoch 16:00 - 18:00 HS3<br />
Freitag 16:00 - 18:00 HS3<br />
Das Tutorium ist nicht verpflichtend,<br />
weiterhin ist keine Anmeldung nötig<br />
Beginn: 08.01.2014<br />
Ansprechpartner: M. Wagner<br />
S. Hümmer Mo-Fr: 08:00 – 12:00<br />
in Raum B017<br />
T. Kießling: Auswertung von Messungen und <strong>Fehlerrechnung</strong> - Verteilungsfunktionen III: Poissonverteilung, Gewichtete Mittelwerte 09.01.2014 Vorlesung 11- 1
Ankündigung<br />
Blockkurs Grundpraktikum<br />
Wintersemester 2013/2014:<br />
03.03.2014 – 21.03.2014<br />
Anmeldezeitraum:<br />
13.01.2013 – 31.01.2013<br />
online unter www.physik.uni-wuerzburg.de/grundpraktikum/<br />
Termine:<br />
T17 Montag/Donnerstag 08:30<br />
T18 Montag/Donnerstag 14:00<br />
T19 Dienstag/Freitag 08:30<br />
T20 Dienstag/Freitag 14:00<br />
Sicherheitseinweisung BAM am 27.02.2014<br />
T. Kießling: Auswertung von Messungen und <strong>Fehlerrechnung</strong> - Verteilungsfunktionen III: Poissonverteilung, Gewichtete Mittelwerte 09.01.2014 Vorlesung 11- 2
Verteilungsfunktionen III:<br />
Wiederholung<br />
Poissonverteilung<br />
T. Kießling: Auswertung von Messungen und <strong>Fehlerrechnung</strong> - Verteilungsfunktionen III: Poissonverteilung, Gewichtete Mittelwerte 09.01.2014 Vorlesung 11- 3
1.) Die Binomialverteilung<br />
Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung<br />
Was bisher geschah…<br />
W<br />
⎛ n ⎞<br />
⎝m⎠<br />
m<br />
( ) ( ) n −<br />
m = ⎜ ⎟⋅ p ⋅ 1−<br />
p<br />
m<br />
Beschreibt Anzahl der Erfolge bei Serie gleichartiger und unabhängiger Versuche mit<br />
nur zwei möglichen Ergebnissen (Bernoulli - Experiment)<br />
W(m) beschreibt, für gegebene Erfolgswahrscheinlichkeit p, die Wahrscheinlichkeit bei n<br />
Versuchen genau m Erfolge zu erzielen.<br />
Normiert, d. h. Summe über alle W(m) ist eins.<br />
Erwartungswert M = n·p<br />
Varianz: 2 = n·p (1-p) = M (1-p)<br />
T. Kießling: Auswertung von Messungen und <strong>Fehlerrechnung</strong> - Verteilungsfunktionen III: Poissonverteilung, Gewichtete Mittelwerte 09.01.2014 Vorlesung 11- 4
2.) Die Normalverteilung ( )<br />
Kontinuierliche Verteilung<br />
Was bisher geschah…<br />
( x − M ) 2<br />
−<br />
1<br />
= , ∈ R.<br />
σ 2π<br />
2<br />
2 σ<br />
G x e x<br />
Symmetrisch um den Erwartungswert M, geht schnell gegen null wen (x - M) 2 groß wird<br />
Standardabweichung gegeben durch , Wendepunkt der Verteilungsfunktion<br />
Normiert, d. h.<br />
+∞ −<br />
∫<br />
−∞<br />
1<br />
σ 2π<br />
e<br />
( x − M ) 2<br />
2 σ<br />
2<br />
dx<br />
=<br />
1<br />
Fehlerfunktion<br />
P<br />
1 −<br />
2<br />
( innerhalb 1σ<br />
) = e dz<br />
1<br />
2π<br />
∫ + −1<br />
z<br />
2<br />
Im Grenzfall n ∞ konvergiert Binomialverteilung gegen Normalverteilung<br />
T. Kießling: Auswertung von Messungen und <strong>Fehlerrechnung</strong> - Verteilungsfunktionen III: Poissonverteilung, Gewichtete Mittelwerte 09.01.2014 Vorlesung 11- 5
Von der Binomial- zur Normalverteilung<br />
Bernoulli- Verteilung<br />
diskret<br />
Parameter: n=1, p<br />
Binomial-Verteilung<br />
diskret<br />
Parameter: n, p<br />
Bi (x)<br />
n ∞<br />
p const.<br />
Gauss-Verteilung<br />
Normal-Verteilung<br />
kontinuierlich<br />
Parameter: µ, σ<br />
G (x)<br />
Wir machen eine Messung<br />
Die Messwerte x m setzen sich aus einer großen Zahl<br />
von kleinen Elementarfehlern β zusammen,<br />
die um den wahren Wert (Mittelwert) µ verteilt sind.<br />
Die Elementarfehler treten n mal auf,<br />
m mal positiv und n-m mal negativ.<br />
Der Fehler f m setzt sich somit zusammen aus (p = 1/2):<br />
f m = m β - (n-m) β = 2 m β - n β<br />
[m = n/2 + f m / 2 β ]<br />
T. Kießling: Auswertung von Messungen und <strong>Fehlerrechnung</strong> - Verteilungsfunktionen III: Poissonverteilung, Gewichtete Mittelwerte 09.01.2014 Vorlesung 11- 6
Von der Binomial- zur Normalverteilung<br />
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Fehler m mal positiv und<br />
n-m mal negativ auftritt wird durch die Binomial-Verteilung<br />
gegeben:<br />
P<br />
m<br />
=<br />
⎛ n ⎞<br />
⎜ ⎟p<br />
⎝m⎠<br />
P m<br />
P m+1<br />
P m+2<br />
P m+3 Pm+4<br />
m<br />
( 1−<br />
p)<br />
n−m<br />
=<br />
⎛ n ⎞ 1<br />
⎜ ⎟<br />
⎝m⎠2<br />
n<br />
=<br />
m!<br />
n!<br />
n<br />
( n − m )!<br />
2<br />
m+4<br />
Die Verteilung ist treppenförmig<br />
Lassen wir β immer kleiner werden und n immer<br />
größer,<br />
dann wird die Anzahl der Stufen immer größer, die<br />
Kurve immer "glatter".<br />
Versuch, eine Funktion zu finden,<br />
die den Verlauf beschreibt.<br />
f m f m+1 f m+2 f m+3 f m+4<br />
T. Kießling: Auswertung von Messungen und <strong>Fehlerrechnung</strong> - Verteilungsfunktionen III: Poissonverteilung, Gewichtete Mittelwerte 09.01.2014 Vorlesung 11- 7
Von der Binomial- zur Normalverteilung<br />
f m = m β - (n-m) β = 2 m β - n β<br />
∆P<br />
∆f<br />
=<br />
P<br />
f<br />
m<br />
m<br />
−<br />
−<br />
P<br />
f<br />
m+<br />
1<br />
m+<br />
1<br />
P<br />
m<br />
⎛ n ⎞<br />
⎝m⎠<br />
1<br />
2<br />
⎛ n ⎞<br />
⎝m<br />
+ 1⎠<br />
= ⎜ ⎟ und P<br />
n<br />
m+<br />
1<br />
= ⎜ ⎟<br />
1<br />
2<br />
n<br />
P<br />
n − m<br />
m + 1<br />
m+ 1<br />
= Pm<br />
sowie fm−<br />
fm+<br />
1<br />
= −<br />
2 β<br />
∆P<br />
∆f<br />
=<br />
n<br />
− 2m<br />
−1<br />
Pm<br />
⋅<br />
m + 1 2β<br />
Die Rechnung soll durchgeführt werden für Fehler,<br />
die klein sind gegen den maximalen Fehler, also<br />
f m > 1.<br />
[m = n/2 + f m / 2 β]<br />
T. Kießling: Auswertung von Messungen und <strong>Fehlerrechnung</strong> - Verteilungsfunktionen III: Poissonverteilung, Gewichtete Mittelwerte 09.01.2014 Vorlesung 11- 8
Von der Binomial- zur Normalverteilung<br />
P<br />
∆f<br />
∆ [m = n/2 + f m / 2 β]<br />
=<br />
∆P<br />
≈ −<br />
∆<br />
f<br />
n − 2m<br />
−1<br />
Pm<br />
⋅<br />
m + 1 2β<br />
P f<br />
2<br />
n<br />
β<br />
P f<br />
2<br />
n<br />
β<br />
m m<br />
= − =<br />
dP<br />
df<br />
n - 2 m – 1 ≈ n - 2 m = - f m / β<br />
und der Nenner<br />
m + 1 ≈ m = n/2 + f m /2 β ≈ n/2<br />
Abkürzung : n β 2 = σ 2<br />
Abkürzung : n β 2 = σ 2 const<br />
dP<br />
df<br />
P f dP 1<br />
= −<br />
= − ⋅ f ⋅df<br />
2<br />
2<br />
σ P σ<br />
1 2<br />
lnP = − x +<br />
2<br />
2σ<br />
P<br />
=<br />
d<br />
⋅e<br />
−<br />
x<br />
2<br />
2σ<br />
2<br />
d<br />
=<br />
1<br />
2<br />
2πσ<br />
T. Kießling: Auswertung von Messungen und <strong>Fehlerrechnung</strong> - Verteilungsfunktionen III: Poissonverteilung, Gewichtete Mittelwerte 09.01.2014 Vorlesung 11- 9
Wann ist n ∞ in der Praxis gut erfüllt?<br />
Was fehlt ?<br />
FAUSTREGEL: n·p > 9<br />
d. h. n hinreichend groß und p nicht zu klein.<br />
je asymmetrischer die Binomialverteilung, desto größer muss n<br />
sein um gut durch Normalverteilung genähert zu sein.<br />
Was passiert, wenn p sehr klein ist?<br />
Betrachten wir den Fall n ∞ und p 0,<br />
mit der Nebenbedingung n·p = konstant.<br />
T. Kießling: Auswertung von Messungen und <strong>Fehlerrechnung</strong> - Verteilungsfunktionen III: Poissonverteilung, Gewichtete Mittelwerte 09.01.2014 Vorlesung 11- 10
Von der Binomial- zur Poisson-Verteilung<br />
⎛ n ⎞<br />
= ⎜ ⎟⋅ p ⋅ 1−<br />
p<br />
⎝m⎠<br />
m<br />
Binomialverteilung ( ) ( ) n − m<br />
W<br />
m<br />
Gesucht:<br />
W(m) für n ∞ und p = /n<br />
n!<br />
⎛ µ ⎞ ⎛ µ ⎞<br />
lim W ( m)<br />
= lim ⋅⎜ ⎟ ⋅⎜1<br />
− ⎟<br />
n→∞<br />
n→∞<br />
( n − m)! m!<br />
⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠<br />
m<br />
n−m<br />
m<br />
⎛ µ ⎞ ⎛ n ( n − 1)( n − 2) ⋅⋅⋅ ( n − m<br />
+<br />
1)<br />
⎞ ⎛ µ ⎞ ⎛ µ<br />
⎞<br />
= lim ⎜ ⎟⎜ 1 1<br />
n→∞<br />
m<br />
⎟⋅⎜ − ⎟ ⋅⎜ − ⎟<br />
⎝ m!<br />
⎠⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠<br />
n<br />
−m<br />
m<br />
⎛ µ ⎞ ⎛ n n −1 n − 2 n − m + 1⎞ ⎛ µ ⎞ ⎛ µ ⎞<br />
= ⎜ ⎟ lim ⎜ ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ ⎟⋅⎜1 − ⎟ ⋅⎜1<br />
− ⎟<br />
m!<br />
n→∞<br />
⎝ ⎠ ⎝ n n<br />
<br />
n n ⎠ ⎝ n ⎠ ⎝<br />
n ⎠<br />
→1<br />
n<br />
→1<br />
−m<br />
m<br />
⎛ µ ⎞ ⎛ µ ⎞<br />
= ⎜ ⎟ lim ⎜1<br />
− ⎟<br />
m!<br />
n→∞<br />
⎝ ⎠ ⎝ n ⎠<br />
n<br />
T. Kießling: Auswertung von Messungen und <strong>Fehlerrechnung</strong> - Verteilungsfunktionen III: Poissonverteilung, Gewichtete Mittelwerte 09.01.2014 Vorlesung 11- 11
Von der Binomial- zur Poisson-Verteilung<br />
m<br />
⎛ µ ⎞ ⎛ µ ⎞<br />
lim W ( m)<br />
= ⎜ ⎟ lim ⎜1<br />
− ⎟<br />
n→∞<br />
m!<br />
n→∞<br />
⎝ ⎠ ⎝ n ⎠<br />
n<br />
Kurze Erinnerung: Euler‘sche Zahl und Näherungsformel Exponentialfunktion<br />
e<br />
x<br />
⎛<br />
= lim ⎜1+<br />
n→∞⎝<br />
x ⎞<br />
⎟<br />
n ⎠<br />
n<br />
Damit:<br />
lim<br />
n→∞<br />
( )<br />
W m<br />
m<br />
⎛ ⎞<br />
= ⎜ ⎟e<br />
⎝ m!<br />
⎠<br />
µ −µ<br />
Dies wird als Poisson`scher Grenzwertsatz oder<br />
als Gesetz seltener Ereignisse bezeichnet.<br />
T. Kießling: Auswertung von Messungen und <strong>Fehlerrechnung</strong> - Verteilungsfunktionen III: Poissonverteilung, Gewichtete Mittelwerte 09.01.2014 Vorlesung 11- 12
Poisson-Verteilung<br />
µ e<br />
x!<br />
x −µ<br />
Die Verteilung: P( x) = , wobei x = 0,1,2,3, .....<br />
heißt Poissonverteilung oder Verteilung seltener Ereignisse.<br />
x ist die Anzahl von Ereignissen in einer bestimmten Zeit oder in einem<br />
bestimmten Volumen, wobei ein bestimmter Mittelwert µ solcher Ereignisse<br />
erwartet werden kann.<br />
Die Ereignisse müssen zufällig und unabhängig voneinander sein.<br />
Die Verteilung ist diskret und asymmetrisch.<br />
T. Kießling: Auswertung von Messungen und <strong>Fehlerrechnung</strong> - Verteilungsfunktionen III: Poissonverteilung, Gewichtete Mittelwerte 09.01.2014 Vorlesung 11- 13
Poisson-Verteilung<br />
Konsistenz: Wie groß ist der Mittelwert (Erwartungswert)?<br />
x<br />
∞<br />
∞ x<br />
µ −<br />
xP ∑<br />
x=<br />
0 x=<br />
0 x!<br />
µ<br />
( x) x<br />
= ∑ = e<br />
Der erste Term der Summe ist Null.<br />
Der Faktor x/x! kann durch 1/(x-1)! ersetzt werden.<br />
x<br />
=<br />
µ e<br />
−µ<br />
∞<br />
∑<br />
x<br />
µ<br />
−1<br />
( x −1)<br />
!<br />
x=<br />
1<br />
<br />
2 3<br />
µ µ<br />
1+<br />
µ + + + .... =<br />
2!<br />
3!<br />
e<br />
µ<br />
=<br />
µ<br />
Das heißt der Parameter µ , der die Poisson-Verteilung charakterisiert,<br />
ist gleich der mittleren Anzahl der gezählten Ereignisse, die erwartet wird,<br />
wenn wir das Zählexperiment viele Male wiederholen.<br />
T. Kießling: Auswertung von Messungen und <strong>Fehlerrechnung</strong> - Verteilungsfunktionen III: Poissonverteilung, Gewichtete Mittelwerte 09.01.2014 Vorlesung 11- 14
Poisson-Verteilung<br />
Wie groß ist die Standardabweichung ?<br />
Zunächst Berechnung der Varianz<br />
σ<br />
2<br />
=<br />
=<br />
∑<br />
∞<br />
x=<br />
0<br />
( x<br />
−<br />
µ<br />
)<br />
2<br />
µ<br />
x!<br />
x −µ<br />
e<br />
∞<br />
2<br />
2<br />
∑( x − 2xµ<br />
+ µ )<br />
x=<br />
0<br />
x<br />
µ e<br />
x!<br />
−µ<br />
2<br />
σ<br />
∞<br />
= ∑ x<br />
x=<br />
0<br />
2<br />
x<br />
µ e<br />
x!<br />
−µ<br />
∞<br />
x<br />
−<br />
µ<br />
µ<br />
e<br />
−∑<br />
2 x µ<br />
x=<br />
0 x!<br />
<br />
<br />
2<br />
−2µ<br />
∞ x −µ<br />
2 µ e<br />
+ ∑ µ<br />
x=<br />
0 x!<br />
<br />
<br />
2<br />
+ µ<br />
T. Kießling: Auswertung von Messungen und <strong>Fehlerrechnung</strong> - Verteilungsfunktionen III: Poissonverteilung, Gewichtete Mittelwerte 09.01.2014 Vorlesung 11- 15
Poisson-Verteilung<br />
Verschiebungssatz:<br />
σ<br />
2<br />
∞<br />
∑<br />
x = 0<br />
x=<br />
0<br />
( x µ ) 2<br />
= −<br />
x<br />
µ e<br />
x!<br />
∞<br />
µ e<br />
= ∑ x −<br />
x!<br />
−µ<br />
x −µ<br />
2 2<br />
µ<br />
σ<br />
ersetzen von x 2 mit (x ( x - 1 ) + x ), führt zu<br />
x µ<br />
x µ<br />
( x ( x − ) + x) µ e<br />
2 x ( x −1) µ e<br />
2<br />
2<br />
∞ −<br />
= ∑<br />
x!<br />
2 1<br />
=<br />
x=<br />
0<br />
∞<br />
∑<br />
x=<br />
0<br />
x<br />
−<br />
µ<br />
x −µ<br />
∞ x −µ<br />
( x −1) µ e xµ<br />
e<br />
2<br />
x!<br />
+<br />
∑<br />
x=<br />
0<br />
x!<br />
−<br />
µ<br />
σ<br />
∑<br />
= ∑ ∞ −<br />
x=<br />
0<br />
∞<br />
2<br />
= µ ∑<br />
x=<br />
2<br />
x!<br />
x−2<br />
−<br />
µ e<br />
(x − 2 )!<br />
µ<br />
+<br />
+ µ −<br />
µ −<br />
2<br />
µ<br />
µ<br />
Ersetzen von x-2 durch ν, summieren von ν = 0<br />
ergibt für die Summe den Wert eins und damit wird:<br />
2<br />
2<br />
2<br />
σ µ<br />
= µ + µ − µ =<br />
µ<br />
σ µ<br />
=<br />
µ<br />
T. Kießling: Auswertung von Messungen und <strong>Fehlerrechnung</strong> - Verteilungsfunktionen III: Poissonverteilung, Gewichtete Mittelwerte 09.01.2014 Vorlesung 11- 16
Poisson-Verteilung<br />
σ µ<br />
=<br />
µ<br />
Die Standardabweichung ist somit gleich der<br />
Wurzel aus dem Mittelwert.<br />
Der Fehler des Mittelwertes ist gegeben durch:<br />
σ =<br />
µ<br />
wobei n die Anzahl der Messungen ist, die wir verwendet haben, um den<br />
Mittelwert zu bestimmen.<br />
σ<br />
µ<br />
n<br />
Der relative Fehler der Poisson-Verteilung ist somit:<br />
σ µ<br />
nµ<br />
=<br />
µ<br />
nµ<br />
=<br />
1<br />
n µ<br />
T. Kießling: Auswertung von Messungen und <strong>Fehlerrechnung</strong> - Verteilungsfunktionen III: Poissonverteilung, Gewichtete Mittelwerte 09.01.2014 Vorlesung 11- 17
Poisson-Verteilung<br />
Die Anwendung der Poisson-Verteilung ist breit gefächert:<br />
Anzahl der Telefongespräche, die in einer bestimmten Zeit bei einer Firma<br />
eintreffen.<br />
Anzahl der Kunden an einem Bankschalter pro Zeiteinheit.<br />
Anzahl der Bakterien pro Liter Nährlösung.<br />
Anzahl der Verkehrsunfälle pro Zeiteinheit an einer Kreuzung.<br />
Anzahl der in einer bestimmten Zeit zerfallenden Atomkerne.<br />
T. Kießling: Auswertung von Messungen und <strong>Fehlerrechnung</strong> - Verteilungsfunktionen III: Poissonverteilung, Gewichtete Mittelwerte 09.01.2014 Vorlesung 11- 18
Poisson-Verteilung<br />
Beispiel:<br />
An einer Kreuzung finden pro Woche zwei Verkehrsunfälle statt.<br />
Die Häufigkeit der Verkehrsunfälle wird durch eine Poissonverteilung<br />
mit µ = 2 beschrieben.<br />
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür,<br />
dass in einer Woche kein Unfall stattfindet ?<br />
P<br />
( x)<br />
=<br />
e<br />
x!<br />
x µ<br />
µ −<br />
0 −2<br />
2 e<br />
P =<br />
0!<br />
−2<br />
( 0) = = e 0.<br />
135335<br />
T. Kießling: Auswertung von Messungen und <strong>Fehlerrechnung</strong> - Verteilungsfunktionen III: Poissonverteilung, Gewichtete Mittelwerte 09.01.2014 Vorlesung 11- 19
Poisson-Verteilung<br />
Beispiel:<br />
An einer Kreuzung finden pro Woche zwei Verkehrsunfälle statt.<br />
Die Häufigkeit der Verkehrsunfälle wird durch eine Poissonverteilung mit<br />
µ = 2 beschrieben.<br />
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür,<br />
dass weniger als vier Verkehrsunfälle in zwei Wochen stattfinden ?<br />
P(≤ 3) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) = 0.4335<br />
P<br />
P<br />
P<br />
P<br />
( 0)<br />
( 1)<br />
( 2)<br />
=<br />
=<br />
=<br />
0<br />
4 e<br />
0!<br />
1 −<br />
4 e<br />
1!<br />
2<br />
4 e<br />
2!<br />
3<br />
4 e<br />
3!<br />
−4<br />
4<br />
−4<br />
−4<br />
= 0.<br />
018316<br />
= 0.<br />
073264<br />
= 0146528 .<br />
( 3) = = 0.<br />
195367<br />
Ähnliche Fragen sind z. B. wie viele Kinder werden<br />
pro Tag in einem Krankenhaus geboren ?<br />
(Jahreszeitliche Schwankungen) !!.<br />
Liegt tatsächlich eine Poissonverteilung vor ?<br />
Qualitativer graphischer Vergleich<br />
Quantitativ mittels χ 2 -Test<br />
T. Kießling: Auswertung von Messungen und <strong>Fehlerrechnung</strong> - Verteilungsfunktionen III: Poissonverteilung, Gewichtete Mittelwerte 09.01.2014 Vorlesung 11- 20
Poisson-Verteilung<br />
0,25<br />
Poisson-Wahrscheinlichkeit<br />
für erwartete zwei Unfälle pro Woche<br />
Unfallwahrscheinlichkeit<br />
0,20<br />
0,15<br />
0,10<br />
0,05<br />
0,00<br />
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11<br />
Anzahl der Unfälle<br />
T. Kießling: Auswertung von Messungen und <strong>Fehlerrechnung</strong> - Verteilungsfunktionen III: Poissonverteilung, Gewichtete Mittelwerte 09.01.2014 Vorlesung 11- 21
Poisson-Verteilung<br />
Betrachte die Anzahl der Unfälle an der Kreuzung über ein Jahr:<br />
Poissonverteilt?<br />
Anzahl Unfälle Häufigkeit Relative Häufigkeit<br />
0 7 0,13462<br />
1 14 0,26923<br />
2 16 0,30769<br />
3 9 0,17308<br />
4 4 0,07692<br />
5 1 0,01923<br />
6 0 0<br />
7 1 0,01923<br />
8 0 0<br />
Wie groß ist der Mittelwert?<br />
T. Kießling: Auswertung von Messungen und <strong>Fehlerrechnung</strong> - Verteilungsfunktionen III: Poissonverteilung, Gewichtete Mittelwerte 09.01.2014 Vorlesung 11- 22
Poisson-Verteilung<br />
Anzahl Unfälle Häufigkeit Relative Häufigkeit<br />
0 7 0,13462<br />
1 14 0,26923<br />
2 16 0,30769<br />
3 9 0,17308<br />
4 4 0,07692<br />
5 1 0,01923<br />
6 0 0<br />
7 1 0,01923<br />
8 0 0<br />
µ = (0⋅ 7 + 1⋅ 14 + 2⋅ 16 + 3⋅ 9 + 4⋅ 4 + 5⋅ 1+ 6⋅ 0 + 7 ⋅ 1+ 8⋅ 0) / 52 = 1,94<br />
T. Kießling: Auswertung von Messungen und <strong>Fehlerrechnung</strong> - Verteilungsfunktionen III: Poissonverteilung, Gewichtete Mittelwerte 09.01.2014 Vorlesung 11- 23
Poisson-Verteilung<br />
Betrachte die Anzahl der Unfälle an der Kreuzung über ein Jahr:<br />
Poissonverteilt?<br />
Anzahl Unfälle Häufigkeit Relative Häufigkeit Poissonwahr.<br />
0 7 0,13462 0,144<br />
1 14 0,26923 0,279<br />
2 16 0,30769 0,270<br />
3 9 0,17308 0,175<br />
4 4 0,07692 0,085<br />
5 1 0,01923 0,033<br />
6 0 0 0,011<br />
7 1 0,01923 0,003<br />
8 0 0 0,001<br />
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Poisson-Verteilung<br />
Unfallwahrscheinlichkeit<br />
0,30<br />
0,25<br />
0,20<br />
0,15<br />
0,10<br />
0,05<br />
Relative Häufigkeit<br />
Anzahl Unfälle<br />
Poissonwahrscheinlichkeit<br />
für erwartete 1,92 Unfälle<br />
Übereinstimmung gut?<br />
0,00<br />
0 1 2 3 4 5 6 7 8<br />
Anzahl der Unfälle<br />
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Zusammenhang der Poisson- und Normalverteilung<br />
Poisson-<br />
Verteilung<br />
diskret<br />
Parameter µ = σ 2<br />
P(x)<br />
Gauss-Verteilung<br />
Normal-Verteilung<br />
kontinuierlich<br />
Parameter: µ, σ<br />
µ ∞<br />
µ = n p<br />
G (x)<br />
29.09.2003 Vorlesung 5 44<br />
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Zusammenhang der Verteilungen<br />
Bernoulli - Verteilung<br />
diskret<br />
Parameter: n=1, p<br />
Binomial-Verteilung<br />
diskret<br />
Parameter: n, p<br />
Bi (x)<br />
n ∞<br />
p 0<br />
Poisson - Verteilung<br />
diskret<br />
Parameter µ = σ 2<br />
P(x)<br />
n ∞<br />
p const.<br />
Gauß - Verteilung<br />
Normal - Verteilung<br />
kontinuierlich<br />
Parameter: µ, σ<br />
G (x)<br />
µ ∞<br />
µ = n p<br />
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Zusammenhang der Verteilungen<br />
Ist die Population endlich ?<br />
JA<br />
NEIN<br />
Ist n groß ?<br />
Ist n·p > 9 ?<br />
JA<br />
NEIN<br />
JA<br />
NEIN<br />
Hypergeometrisch Gauß Poisson<br />
Binomial<br />
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Gewichtete Mittelwerte<br />
T. Kießling: Auswertung von Messungen und <strong>Fehlerrechnung</strong> - Verteilungsfunktionen III: Poissonverteilung, Gewichtete Mittelwerte 09.01.2014 Vorlesung 11- 29
Spannendes aus der Wahlforschung…<br />
T. Kießling: Auswertung von Messungen und <strong>Fehlerrechnung</strong> - Verteilungsfunktionen III: Poissonverteilung, Gewichtete Mittelwerte 09.01.2014 Vorlesung 11- 30
Spannendes aus der Wahlforschung…<br />
Man nimmt fünf Messergebnisse, jedes mit seinem Fehler.<br />
Man bestimmt daraus den Mittelwert.<br />
Der resultierende Mittelwert hat keinen Fehler mehr ?!?<br />
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Gewichtete Mittelwerte<br />
Problem: Zusammenfassung von Messergebnissen<br />
Zwei Arbeitsgruppen A und B mit unterschiedlichen Versuchsmethoden<br />
X<br />
X<br />
=<br />
=<br />
X<br />
X<br />
A<br />
B<br />
±<br />
±<br />
σ<br />
σ<br />
A<br />
B<br />
Zusammenfassen zu einem Messwert.<br />
Wenn x A - x B größer als die Summe der beiden Standardabweichungen,<br />
dann einer der Messungen misstrauen.<br />
Die Messergebnisse sind inkonsistent.<br />
Annahme die Messwerte seien konsistent.<br />
Welchen Wert besitzt der Bestwert?<br />
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Erster naheliegender Gedanke:<br />
Gewichtete Mittelwerte<br />
(x A + x B )/2<br />
Ungeeignet, wenn die beiden Standardfehler unterschiedlich sind.<br />
Bei obiger Mittelung haben beide Messergebnisse das gleiche Gewicht, obwohl<br />
bei einer der Messungen der Mittelwert genauer ist als bei der anderen<br />
Annahme beide Messungen folgen einer Gauß-Verteilung<br />
G<br />
M<br />
( X )<br />
A<br />
( X A −M<br />
)<br />
−<br />
1 2<br />
2σ<br />
A<br />
A<br />
2<br />
∝ e<br />
GM<br />
( X<br />
B<br />
)<br />
σ<br />
∝<br />
σ<br />
( X B −M<br />
)<br />
−<br />
1 2<br />
2σ<br />
B<br />
B<br />
e<br />
2<br />
Die Wahrscheinlichkeit, dass A den Messwert X A und B den Wert X B findet,<br />
ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten.<br />
T. Kießling: Auswertung von Messungen und <strong>Fehlerrechnung</strong> - Verteilungsfunktionen III: Poissonverteilung, Gewichtete Mittelwerte 09.01.2014 Vorlesung 11- 33
G<br />
M<br />
( X )<br />
A<br />
Annahme beide Messungen folgen einer Gauß-Verteilung<br />
( X A −M<br />
)<br />
−<br />
1 2<br />
2σ<br />
A<br />
A<br />
Gewichtete Mittelwerte<br />
2<br />
∝ e<br />
GM<br />
( X<br />
B<br />
)<br />
σ<br />
σ<br />
( X B −M<br />
)<br />
−<br />
1 2<br />
2σ<br />
B<br />
Die Wahrscheinlichkeit, dass A den Messwert X A und B den Wert X B findet,<br />
ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten.<br />
∝<br />
B<br />
e<br />
2<br />
X A<br />
X B<br />
T. Kießling: Auswertung von Messungen und <strong>Fehlerrechnung</strong> - Verteilungsfunktionen III: Poissonverteilung, Gewichtete Mittelwerte 09.01.2014 Vorlesung 11- 34
Gewichtete Mittelwerte<br />
Aus:<br />
erhalten wir<br />
mit<br />
( − )<br />
( − )<br />
2 2<br />
B<br />
−<br />
2 2<br />
A<br />
σ B<br />
X A M X M<br />
−<br />
1 2σ<br />
1 2<br />
M ( A ) ∝<br />
und<br />
M ( B ) ∝<br />
σ<br />
A<br />
σ<br />
B<br />
G X e G X e<br />
1<br />
GMges = GM ( X<br />
A ) ⋅GM ( X<br />
B ) ∝ e<br />
σ σ<br />
χ<br />
2<br />
2 2<br />
⎛ X − M ⎞ ⎛ X − M ⎞<br />
A<br />
B<br />
= ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟<br />
⎝ σ<br />
A ⎠ ⎝ σ<br />
B ⎠<br />
A<br />
B<br />
2<br />
χ<br />
−<br />
2<br />
Die Abkürzung "CHI-Quadrat" ist die Summe der Quadrate der Abweichungen der beiden<br />
Messwerte von M,<br />
jeweils dividiert durch die entsprechende Unsicherheit.<br />
M ist der zu suchende Bestwert, dessen Wahrscheinlichkeit maximal ist,<br />
oder was identisch ist, dessen χ 2 minimal ist.<br />
Minimierung der "Summe der Quadrate" oder<br />
Methode der kleinsten Quadrate<br />
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Gewichtete Mittelwerte<br />
χ<br />
2<br />
2 2<br />
⎛ X − M ⎞ ⎛ X − M ⎞<br />
A<br />
B<br />
= ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟<br />
⎝ σ<br />
A ⎠ ⎝ σ<br />
B ⎠<br />
Differenzieren nach M und Ableitung gleich Null setzen.<br />
∂ 2 X<br />
A<br />
M X M<br />
2 2 0<br />
M χ −<br />
−<br />
= − − =<br />
∂<br />
σ σ<br />
B<br />
2 2<br />
A<br />
B<br />
Auflösen nach M ergibt den Bestwert:<br />
M<br />
=<br />
x Best<br />
=<br />
X A<br />
X<br />
2<br />
σ +<br />
A<br />
σ<br />
1 1<br />
2 2<br />
σ + σ<br />
A<br />
B<br />
2<br />
B<br />
B<br />
Übersichtlichere Schreibweise mit den Abkürzungen:<br />
X<br />
Best<br />
=<br />
w<br />
A<br />
X<br />
w<br />
A<br />
A<br />
+<br />
+<br />
Allgemeine Formulierung<br />
w<br />
w<br />
B<br />
B<br />
X<br />
B<br />
X<br />
Best<br />
w<br />
A<br />
N<br />
∑<br />
=<br />
i=<br />
1<br />
=<br />
N<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
X<br />
1<br />
σ<br />
i<br />
w<br />
w<br />
i<br />
2<br />
A<br />
i<br />
und<br />
w<br />
B<br />
=<br />
1<br />
σ<br />
2<br />
B<br />
T. Kießling: Auswertung von Messungen und <strong>Fehlerrechnung</strong> - Verteilungsfunktionen III: Poissonverteilung, Gewichtete Mittelwerte 09.01.2014 Vorlesung 11- 36
Gewichtete Mittelwerte - Beispiel<br />
Messung des Ohm´schen Widerstandes durch 3 Studenten<br />
(Ergebnisse in Ohm)<br />
R 1 = 11± 1, R 2 = 12 ± 1, R 3 = 10 ± 3<br />
w 1 =1, w 2 = 1 und w 3 = 1/9<br />
R<br />
Best<br />
=<br />
3<br />
⎛ 1 ⎞<br />
w ( 1⋅11) + ( 1⋅12)<br />
+ ⎜ ⋅10<br />
iRi<br />
⎟<br />
= 1<br />
=<br />
⎝ 9 ⎠<br />
= 11. 42Ω<br />
3<br />
⎛ 1 ⎞<br />
∑w<br />
⎜1<br />
+ 1 +<br />
i<br />
⎟<br />
i=<br />
1<br />
⎝ 9 ⎠<br />
∑<br />
i<br />
Wie groß ist der Fehler von R Best ?<br />
T. Kießling: Auswertung von Messungen und <strong>Fehlerrechnung</strong> - Verteilungsfunktionen III: Poissonverteilung, Gewichtete Mittelwerte 09.01.2014 Vorlesung 11- 37
Gewichtete Mittelwerte - Beispiel<br />
R<br />
∂ R<br />
Best<br />
Best<br />
∂ R<br />
i<br />
=<br />
=<br />
w R<br />
1<br />
+ w<br />
w + w + w<br />
w<br />
w + w + w<br />
1<br />
1<br />
1<br />
i<br />
2<br />
2<br />
R<br />
2<br />
2<br />
3<br />
+ w<br />
3<br />
3<br />
R<br />
3<br />
und<br />
σ<br />
2<br />
R<br />
i<br />
=<br />
1<br />
w<br />
i<br />
σ<br />
2<br />
⎛ ∂ R ⎞<br />
2<br />
⎛<br />
Best<br />
∂ R ⎞<br />
2<br />
⎛<br />
Best<br />
∂ R ⎞<br />
Best<br />
= ⎜<br />
R1<br />
R2<br />
R<br />
⎟ σ +<br />
⎜<br />
+<br />
1<br />
R<br />
⎟ σ<br />
⎜<br />
2<br />
R<br />
⎟ σ<br />
⎝ ∂ ⎠ ⎝ ∂ ⎠ ⎝ ∂<br />
3 ⎠<br />
R Best<br />
+<br />
=<br />
⎛ w1<br />
⎜<br />
⎝ w1<br />
+ w2+<br />
w<br />
3<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
2<br />
1<br />
w<br />
1<br />
⎛ w ⎞<br />
2<br />
+<br />
⎜<br />
w1<br />
w2<br />
w<br />
⎟<br />
⎝ + +<br />
3 ⎠<br />
2<br />
2<br />
1<br />
w<br />
2<br />
2<br />
2<br />
R<br />
⎛ w3<br />
+<br />
⎜<br />
⎝ w1+<br />
w2+<br />
w3<br />
3<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
2<br />
1<br />
w<br />
3<br />
=<br />
w + w + w<br />
( w + w w ) 2<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
3<br />
3<br />
Allgemeine Formulierung:<br />
σ<br />
Best<br />
=<br />
1<br />
∑<br />
w<br />
i<br />
In unserem Beispiel: σ Best = (1+1+1/9) -1/2 = 0.69 Ω<br />
R = (11.42 ± 0.69) Ω<br />
T. Kießling: Auswertung von Messungen und <strong>Fehlerrechnung</strong> - Verteilungsfunktionen III: Poissonverteilung, Gewichtete Mittelwerte 09.01.2014 Vorlesung 11- 38