Übungen zur KM 1: Quanten-, Atom- und Molekülphysik Übungsblatt ...

Übungen zur KM 1:
Quanten-, Atom- und Molekülphysik
WiSem 2011/2012
Prof. Dr. K. Fauth
1. Messung von atomaren Spektrallinien
Übungsblatt Nr. 7
Die in Absorption oder Emission gemessenen Spektrallinien von Atomen sind nicht beliebig
scharf. Die „intrinsischen“ oder „natürlichen“ Breiten (die Begriffe sind hier gleichbedeutend)
dieser Linien beinhalten interessante physikalische Information, denn sie geben Aufschluss
darüber, wie lange sich das Atom (im Mittel) im angeregten Zustand befindet.
Im praktischen Experiment gemessene spektrale Breiten solcher Linien können allerdings durch
verschiedene Mechanismen beeinflusst werden, so dass die Messung nicht bzw. nicht unmittelbar
die gewünschte Größe ermittelt, sondern typischerweise vergrößerte Breiten aufweist. Häufig
auftretende Mechanismen der Linienverbreiterung sind Dopplerverbreiterung, Stoßverbreiterung
und Selbstabsorption.
a) Beschreiben Sie die genannten Mechanismen.
b) Welches sind jeweils die relevanten Parameter, welche die Stärke der Verbreiterung
bestimmen?
2. „spill-out“
Fassen Sie die in der Vorlesung behandelte Potentialstufe (der Höhe V
0
) als Idealisierung der
Verhältnisse auf, die ein (bzw. das am schwächsten gebundene) Elektron am Rand eines
Festkörpers „vorfindet“. Die Höhe der Stufe kann mit der Austrittsarbeit assoziiert werden. Für
welche Werte von V0 − E besitzt die Wellenfunktion des Elektrons eine Abklinglänge (in das
Vakuum hinein) von der Größenordnung interatomarer Abstände?
3. Tunneleffekt: rechteckige Barriere
Gegeben sei eine rechteckige Potentialbarriere der Höhe V
0
und der Breite a (d.h.
V ( x)
= V0 , x ∈ (0, a);
V ( x)
= 0 sonst). Berechnen Sie explizit die Wahrscheinlichkeiten für
Transmission (T) und Reflexion (R) eines durch eine einfallende ebene Welle beschriebenen
quantenmechanischen Teilchens, das von einer Seite auf die Barriere zuläuft, in Abhängigkeit von
dessen Energie ( E < V0
).
Fertigen Sie (gerne unter Zuhilfenahme geeigneter Computerprogramme) graphische
Darstellungen der Abhängigkeiten von T bzw. R von den Gegebenheiten der Potentialbarriere
( V
0
, a ) und der Energie des Teilchens an.
Freiwillige Zusazaufgaben:
• Berechnen und diskutieren Sie ebenfalls den Fall E > V0
in derselben Art und Weise.
• Stellen Sie die gleichen Überlegungen wie zuvor an, jetzt aber für eine rechteckige
Potentialmulde der Tiefe − V0
. (Hier ist – für diese Art der Aufgabenstellung – nur E > 0
möglich.)

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Quanten-, Atom- und Molekülphysik
WiSem 2011/2012
Prof. Dr. K. Fauth
4. Aufenthaltswahrscheinlichkeit bei klassischer Bewegung
Betrachten Sie die Bewegung eines klassischen Teilchens bei gegebener Gesamtenergie in
einem Potenzial. Bestimmen Sie die statistische Verteilung der Aufenthaltswahrscheinlichkeit, wie
sie sich aus Ortsmessungen zu zufälligen Zeiten ergäbe. (Nehmen Sie hierfür an, dass diese
Ortsmessungen die Bewegung des Teilchens nicht verändert).
a) im Falle eines kastenförmigen Potenzials (die kinetische Energie des Teilchens sei geringer als
die Tiefe des Potenzialkastens),
b) im Fall des Potenzials eines harmonischen Oszillators (vgl. Aufg. 4).
5. Quantenmechanischer harmonischer Oszillator
a) Geben Sie das Potential V (x)
für einen eindimensionalen harmonischen Oszillator an.
2
−(
Km / 2h)
x −(
i / 2) K / mt
b) Zeigen Sie, dass die Funktion ψ ( x,
t)
= A ⋅ e e eine gültige Lösung der
zeitabhängigen Schrödingergleichung des Harmonischen Oszillators ist. Welche physikalische
Bedeutung besitzt die Konstante K ?
c) Geben Sie die zu dieser Lösung gehörende Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte an. Ist diese
zeitabhängig? Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit dem aus der vorigen Aufgabe.