Blatt 6

Übung zu “Mathematische Rechenmethoden 2”
SS 2013 Übung 6
Ausgabe: 28.05.2013 Besprechung: Mo, 10.06. / Mi, 12.06. / Do, 13.06. / Fr, 14.06.2013
Aufgabe 20: Kugelkoordinaten (4 Punkte)
Gegeben sei ein Potential
Φ (⃗r) = Q P 2 (cosΘ)
r 3
in Kugelkoordinaten, das ein Quadrupolfeld beschreibt. Dabei ist P 2 (x) = 1 2
Legendre-Polynom.
a) Berechnen Sie aus ⃗ E = −∇Φ das elektrische Feld in Kugelkoordinaten.
(1 Punkt)
b) Zeigen Sie, dass rot ⃗ E = 0.
(1 Punkt)
(
3x 2 − 1 ) das dritte
c) Es gilt für die Ladungsdichte ∆Φ = −4πρ mit dem Laplace-Operator ∆. Bestimmen Sie ρ.
(2 Punkte)
Aufgabe 21: Gradient, Divergenz, Rotation (2 Punkte)
Beweisen Sie, dass folgende Aussagen allgemein gelten. Zeigen Sie dazu, mit Hilfe des total antisymmetrischen
Tensors dritter Stufe, die Richtigkeit der Aussagen komponentenweise! Die Felder seien
hinreichend oft stetig differenzierbar.
a) Gradientenfelder sind rotationsfrei.
(1 Punkt)
b) Rotationsfelder sind quellenfrei, d.h.
(1 Punkt)
⃗A = ∇ × ⃗ B ⇒ ∇ · ⃗A = 0 für alle Vektorfelder ⃗ A(x, y, z) , ⃗ B(x, y, z) ∈ R 3 .
Aufgabe 22: Produktregeln für Feldableitung (2 Punkte)
Gegeben sind die zwei Skalarfelder φ(x, y, z) und ψ(x, y, z) sowie das Vektorfeld ⃗ A(x, y, z) ∈ R 3 . Beweisen
Sie folgende Aussagen:
a) ∇ · (φ ⃗ A) = ⃗ A · ∇φ + φ∇ · ⃗A
(1 Punkt)
b) ∇ × (φ ⃗ A) = (∇φ) × ⃗ A + φ∇ × ⃗ A
(1 Punkt)

Aufgabe 23: Netzwerke (8 Punkte)
⎛
1 1
⎞
⎛
⎞
0
2 3
1 1
1 1 1 1 1
1 1
2
0
3
0 0
P =
1
⎜0 2
0 0 0
⎟ P ′ = (1 − d) P + d 1 1 1 1 1
⎝ 1
0 0
3
0 0⎠
5 ⎜1 1 1 1 1
⎟
⎝1 1 1 1 1⎠
1
2
0 0 0 0
1 1 1 1 1
Methoden aus der linearen Algebra finden in den verschiedensten Bereichen Anwendung. So auch in
der Netzwerktheorie, einem interdisziplinären Gebiet zwischen Physik, Mathematik und Informatik.
Betrachten Sie folgendes, aus fünf Knoten bestehendes, gerichtetes, Netzwerk.
4
3
1
5
2
Die Knoten beschreiben die Mikrozustände, in denen sich ein System befinden kann. Der Gesamtzustand
des Netzwerks lässt sich zu jedem Zeitpunkt t durch einen Vektor ⃗p t angeben. Hierbei gibt p t,i
die Wahrscheinlichkeit an, dass sich das System im Zustand i befindet.
Die Pfeile geben an, welche Übergänge möglich sind. Der Einfachheit halber seien alle erlaubten
Übergänge gleich wahrscheinlich. Die Matrixelemente P ij geben an, mit welcher Wahrscheinlichkeit
ein Wechsel in den Zustand i stattfindet, falls sich das System im Zustand j befindet. Eine solche
Matrix, in der die Spaltensummen 1 ergeben heißt (spalten-)stochastische Matrix.
Hieraus ergibt sich folgende Gleichung für die Zeitentwicklung der Aufenthaltswahrscheinlichkeiten
des Gesamtsystems in den möglichen Zuständen:
⃗p t+1 = P ⃗p t
a) Zeigen Sie: Jeder Vektor ⃗p 0 mit ∑ i p 0,i = 1 wird durch eine spaltenstochastische Matrix auf einen
Vektor ⃗p 1 abgebildet, für den ebenfalls gilt ∑ i p 1,i = 1. (1 Punkt)
b) Angenommen, das System befindet sich anfangs im Zustand 2. Mit welcher Wahrscheinlichkeit
befindet es sich: (i) Nach einem Zeitschritt im Zustand 3? (ii) Nach zwei Zeitschritten im Zustand
1? (iii) Wie sieht die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Gesamtsystems nach drei Zeitschritten aus?
(2 Punkte)
c) Berechnen Sie die stationäre Wahrscheinlichkeitsverteilung, d.h. das ⃗p stat , das unter Anwendung
von P invariant bleibt. Die Existenz eines solchen ⃗p stat kann vorausgesetzt werden! (2 Punkte)
d) Nimmt man an, dass die Knoten Internetseiten beschreiben und die Pfeile Links zwischen diesen
angeben, so beschreibt P das Verhalten eines Surfers, der zufällig den Verlinkungen folgt. Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit
eines solchen ’Random-Surfers’ kann als Maß für die Relevanz einer Seite
aufgefasst werden. Probleme bereitet dabei die Tatsache, dass es Seiten geben kann, auf die zwar
verlinkt wird, die aber selbst nicht auf andere Webpages verweisen. Um zu vermeiden, dass diesen
eine zu hohe Relevanz zugeordnet wird, kann man einen zusätzlichen Term einführen. Mit einer Wahrscheinlichkeit
d soll der Surfer, statt den Links weiter zu folgen, zufällig zu einer beliebigen Seite
springen (formal realisiert durch die Matrix P ′ ). Das ist das Prinzip des PageRank-Algorithmus, der
ursprünglich von der Suchmaschine Google verwendet wurde.
Auf der Website zur Vorlesung finden Sie das Mathematica-File 1 PageRank.nb. Mit diesem soll nun
ein etwas größeres Netzwerk untersucht werden. Ermitteln Sie für d = {0., 0.01, 0.1, 0.2, 0.9} die Aufenthaltswahrscheinlichkeit
eines Random-Surfers für die Knoten 1, 12 und 17 des Netzwerks. Die
Verteilung der Aufenthaltswahrscheinlichkeit ist durch den Eigenvektor zum größten Eigenwert gegeben,
wobei die Summe der Einträge auf eins normiert wird! (3 Punkte)
1 Mathematica ist z.B. verfügbar im CIP-Pool. Start über die Konsole mit dem Befehl ’mathematica’.