Quantenmechanik II - Fachschaft Physik - KIT

4.4 Störungstheorie 1. Ordnung
4.4.1 Übergangsamplitude zwischen stationären Zuständen
Wir setzen t 0 zur Vereinfachung Null. Für t < 0 sei das System im Eigenzustand |m〉 von
H 0 . Die Zeitentwicklung ist dann
|m, t〉 = e −iEmt/ |m〉
Gesucht ist jetzt die Übergangsamplitude in den Eigenzustand |n〉 von H 0 nach dem
Wirken von V (t). In erster Ordnung Störungstheorie ist der neue Zustand im WW-Bild
gegeben durch
da
|ψ, t〉 I
= |m〉 + 1 ∫ t
i 0
dt ′ V I (t ′ ) |m〉
|ψ, 0〉 I
= e iH 0t/ |m, t〉 ∣ ∣
t=0
= |m, t = 0〉 = |m〉
Die Übergangswahrscheinlichkeit für eine Zeit t > 0 ist gegeben durch mit der Zeitentwicklung
des |n〉-Zustandes:
Die Störungstheorie eingesetzt ergibt sich:
〈n, t|ψ, t〉 = 〈n| e iH 0t/ |ψ, t〉
} {{ }
=|ψ,t〉 I
= 〈n|ψ, t〉
= δ nm + 1 ∫ t
i 0
dt ′ 〈n| V I (t ′ ) |m〉
Setzen wir die Definition des Potentials im Wechselwirkungsbild ein, so erhalten wir
Hamiltonoperatoren im Exponenten, welche wir wieder auf die beiden Eigenzustände n
und m wirken lassen können:
= δ nm + 1 ∫ t
i 0
dt ′ e i(En−Em)t′ / 〈n| V (t ′ ) |m〉
Die Übergangswahrscheinlichkeit P mn (t) für den Übergang des Zustandes m nach n (für
m ≠ n) ist dann gegeben durch
P mn (t) = 1 2 ∣ ∣∣∣
∫ t
0
dt ′ e i(En−Em)t′ / 〈n| V (t ′ ) |m〉
∣
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