Quantenmechanik II - Fachschaft Physik - KIT
Quantenmechanik II - Fachschaft Physik - KIT
Quantenmechanik II - Fachschaft Physik - KIT
Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.
YUMPU macht aus Druck-PDFs automatisch weboptimierte ePaper, die Google liebt.
4.4 Störungstheorie 1. Ordnung<br />
4.4.1 Übergangsamplitude zwischen stationären Zuständen<br />
Wir setzen t 0 zur Vereinfachung Null. Für t < 0 sei das System im Eigenzustand |m〉 von<br />
H 0 . Die Zeitentwicklung ist dann<br />
|m, t〉 = e −iEmt/ |m〉<br />
Gesucht ist jetzt die Übergangsamplitude in den Eigenzustand |n〉 von H 0 nach dem<br />
Wirken von V (t). In erster Ordnung Störungstheorie ist der neue Zustand im WW-Bild<br />
gegeben durch<br />
da<br />
|ψ, t〉 I<br />
= |m〉 + 1 ∫ t<br />
i 0<br />
dt ′ V I (t ′ ) |m〉<br />
|ψ, 0〉 I<br />
= e iH 0t/ |m, t〉 ∣ ∣<br />
t=0<br />
= |m, t = 0〉 = |m〉<br />
Die Übergangswahrscheinlichkeit für eine Zeit t > 0 ist gegeben durch mit der Zeitentwicklung<br />
des |n〉-Zustandes:<br />
Die Störungstheorie eingesetzt ergibt sich:<br />
〈n, t|ψ, t〉 = 〈n| e iH 0t/ |ψ, t〉<br />
} {{ }<br />
=|ψ,t〉 I<br />
= 〈n|ψ, t〉<br />
= δ nm + 1 ∫ t<br />
i 0<br />
dt ′ 〈n| V I (t ′ ) |m〉<br />
Setzen wir die Definition des Potentials im Wechselwirkungsbild ein, so erhalten wir<br />
Hamiltonoperatoren im Exponenten, welche wir wieder auf die beiden Eigenzustände n<br />
und m wirken lassen können:<br />
= δ nm + 1 ∫ t<br />
i 0<br />
dt ′ e i(En−Em)t′ / 〈n| V (t ′ ) |m〉<br />
Die Übergangswahrscheinlichkeit P mn (t) für den Übergang des Zustandes m nach n (für<br />
m ≠ n) ist dann gegeben durch<br />
P mn (t) = 1 2 ∣ ∣∣∣<br />
∫ t<br />
0<br />
dt ′ e i(En−Em)t′ / 〈n| V (t ′ ) |m〉<br />
∣<br />
99<br />
2