Quantenmechanik II - Fachschaft Physik - KIT

Nun ist
[ ⃗ L 1 , H] = [ ⃗ L 1 , Ṽ ] ≠ 0
denn es ist z.B.
(
[L 1z , Ṽ ] = i
)
∂Ṽ ∂Ṽ
x 1 − y 1 = ∂y 1 ∂x 1 i Ṽ ′ (|⃗r 1 − ⃗r 2 |)
(
x1 (y 1 − y 2 )
|⃗r 1 − ⃗r 2 |
− y )
1(x 1 − x 2 )
≠ 0
|⃗r 1 − ⃗r 2 |
analog für die anderen Komponenten. Wir definieren deshalb wie in der klassischen Mechanik
⃗ L = ⃗ L 1 + ⃗ L 2 als den Gesamtdrehimpuls, dann
[L z , H] = (
i Ṽ ′ x1 (y 1 − y 2 )
(|⃗r 1 − ⃗r 2 |)
− y 1(x 1 − x 2 )
+ x 2(y 2 − y 1 )
− y )
2(x 2 − x 1 )
= 0
|⃗r 1 − ⃗r 2 | |⃗r 1 − ⃗r 2 | |⃗r 1 − ⃗r 2 | |⃗r 1 − ⃗r 2 |
1.2.4 Eigenvektoren
Wir erhalten somit zwei Möglichkeiten für die Basis:
⃗L 2 1, ⃗ L 2 2, L 1z , L 2z
Der Nachteil dieser Methode ist, dass ⃗ L 1 und ⃗ L 2 keine Konstanten der Bewegung sind
und sich deshalb keine Basis zusammen mit dem Hamiltonoperator finden lässt.
⃗L 2 , L z , ⃗ L 2 1, ⃗ L 2 2
Die Operatoren vertauschen alle mit dem Hamiltonoperator und sind deshalb eine gute
Wahl. Die Frage bleibt nur nach den Eigenvektoren und dem Basiswechsel. Dies nennt
sich Addition von Drehimpulsen.
1.3 Addition von zwei Spin-1/2-Teilchen
System von zwei Spin-1/2-Teilchen mit ⃗ S 1 , ⃗ S 2 .
1.3.1 Zustandsraum
Mit dem Tensorprodukt der beiden Räume
{|++〉 , |−+〉 , |+−〉 , |−−〉} = {|ε 1 , ε 2 〉}
erhält man
⃗S 2 1 |ε 1 , ε 2 〉 = ⃗ S 2 2 |ε 1 , ε 2 〉 = 3 4 2 |ε 1 , ε 2 〉
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