Quantenmechanik II - Fachschaft Physik - KIT
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Nun ist<br />
[ ⃗ L 1 , H] = [ ⃗ L 1 , Ṽ ] ≠ 0<br />
denn es ist z.B.<br />
(<br />
[L 1z , Ṽ ] = i<br />
)<br />
∂Ṽ ∂Ṽ<br />
x 1 − y 1 = ∂y 1 ∂x 1 i Ṽ ′ (|⃗r 1 − ⃗r 2 |)<br />
(<br />
x1 (y 1 − y 2 )<br />
|⃗r 1 − ⃗r 2 |<br />
− y )<br />
1(x 1 − x 2 )<br />
≠ 0<br />
|⃗r 1 − ⃗r 2 |<br />
analog für die anderen Komponenten. Wir definieren deshalb wie in der klassischen Mechanik<br />
⃗ L = ⃗ L 1 + ⃗ L 2 als den Gesamtdrehimpuls, dann<br />
[L z , H] = (<br />
i Ṽ ′ x1 (y 1 − y 2 )<br />
(|⃗r 1 − ⃗r 2 |)<br />
− y 1(x 1 − x 2 )<br />
+ x 2(y 2 − y 1 )<br />
− y )<br />
2(x 2 − x 1 )<br />
= 0<br />
|⃗r 1 − ⃗r 2 | |⃗r 1 − ⃗r 2 | |⃗r 1 − ⃗r 2 | |⃗r 1 − ⃗r 2 |<br />
1.2.4 Eigenvektoren<br />
Wir erhalten somit zwei Möglichkeiten für die Basis:<br />
⃗L 2 1, ⃗ L 2 2, L 1z , L 2z<br />
Der Nachteil dieser Methode ist, dass ⃗ L 1 und ⃗ L 2 keine Konstanten der Bewegung sind<br />
und sich deshalb keine Basis zusammen mit dem Hamiltonoperator finden lässt.<br />
⃗L 2 , L z , ⃗ L 2 1, ⃗ L 2 2<br />
Die Operatoren vertauschen alle mit dem Hamiltonoperator und sind deshalb eine gute<br />
Wahl. Die Frage bleibt nur nach den Eigenvektoren und dem Basiswechsel. Dies nennt<br />
sich Addition von Drehimpulsen.<br />
1.3 Addition von zwei Spin-1/2-Teilchen<br />
System von zwei Spin-1/2-Teilchen mit ⃗ S 1 , ⃗ S 2 .<br />
1.3.1 Zustandsraum<br />
Mit dem Tensorprodukt der beiden Räume<br />
{|++〉 , |−+〉 , |+−〉 , |−−〉} = {|ε 1 , ε 2 〉}<br />
erhält man<br />
⃗S 2 1 |ε 1 , ε 2 〉 = ⃗ S 2 2 |ε 1 , ε 2 〉 = 3 4 2 |ε 1 , ε 2 〉<br />
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