Quantenmechanik II - Fachschaft Physik - KIT
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(c) Da die Lösung so kompliziert ist, soll sie hier diskutiert werden. Wir entwickeln zuerst<br />
bis zu 4. Ordnung in Zα und erhalten:<br />
( ) )<br />
E n ≈ m<br />
(1 − (Zα)2 3<br />
+<br />
2n 2 8n − 1<br />
(Zα) 4 + O((Zα) 6 )<br />
4 (2j + 1)n 3<br />
Dies stimmt ein mit der Lösung für die Schrödingergleichung und der Feinstruktur.<br />
Für n = 1 enthält man sofort j = 1/2 und damit E 1 = m √ 1 − (Zα) 2 . Für n =<br />
2 sind die Zustände S 1/2 und P 1/2 immer noch entartet (die Entartung wird erst<br />
durch die Lamb-Verschiebung aufgehoben, die nicht Teil dieser Theorie sein kann.<br />
Deswegen lohnt es sich nicht, weitere Ordnungen in Zα zu betrachten, da diese<br />
Störung außerhalb der Theorie sogar noch größer ist).<br />
3.9 Klein’sches Paradoxon<br />
Wir betrachten im Folgenden eine Potentialstufe<br />
⎧<br />
⎨0 z < 0<br />
V (z) =<br />
⎩V 0 z ≥ 0<br />
mit einem V 0 > 0. Das einlaufende Elektron (also besser gesagt die Welle als die wir es<br />
behandeln) von links soll eine Energie zwischen 0 und V 0 besitzen. Der Spin soll nach<br />
oben ausgerichtet sein. Wir lösen wieder wie früher in beiden Gebieten einzeln. Zuerst im<br />
Gebiet ohne Potential. Nach der Lösung für ein freies Elektron von oben und mit<br />
⃗p = p z σ z =<br />
(<br />
1 0<br />
0 −1<br />
)<br />
⃗p = ⃗ k = ⃗ k<br />
p 0 = E<br />
erhält man für die einlaufende Welle<br />
⎛ ⎞<br />
1<br />
ψ1 ein = Ae ik 1z<br />
0<br />
⎜ k 1 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
E+m<br />
0<br />
k 2 1 = E 2 − m 2 von p µ p µ = m 2<br />
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