Quantenmechanik II - Fachschaft Physik - KIT

(c) Da die Lösung so kompliziert ist, soll sie hier diskutiert werden. Wir entwickeln zuerst
bis zu 4. Ordnung in Zα und erhalten:
( ) )
E n ≈ m
(1 − (Zα)2 3
+
2n 2 8n − 1
(Zα) 4 + O((Zα) 6 )
4 (2j + 1)n 3
Dies stimmt ein mit der Lösung für die Schrödingergleichung und der Feinstruktur.
Für n = 1 enthält man sofort j = 1/2 und damit E 1 = m √ 1 − (Zα) 2 . Für n =
2 sind die Zustände S 1/2 und P 1/2 immer noch entartet (die Entartung wird erst
durch die Lamb-Verschiebung aufgehoben, die nicht Teil dieser Theorie sein kann.
Deswegen lohnt es sich nicht, weitere Ordnungen in Zα zu betrachten, da diese
Störung außerhalb der Theorie sogar noch größer ist).
3.9 Klein’sches Paradoxon
Wir betrachten im Folgenden eine Potentialstufe
⎧
⎨0 z < 0
V (z) =
⎩V 0 z ≥ 0
mit einem V 0 > 0. Das einlaufende Elektron (also besser gesagt die Welle als die wir es
behandeln) von links soll eine Energie zwischen 0 und V 0 besitzen. Der Spin soll nach
oben ausgerichtet sein. Wir lösen wieder wie früher in beiden Gebieten einzeln. Zuerst im
Gebiet ohne Potential. Nach der Lösung für ein freies Elektron von oben und mit
⃗p = p z σ z =
(
1 0
0 −1
)
⃗p = ⃗ k = ⃗ k
p 0 = E
erhält man für die einlaufende Welle
⎛ ⎞
1
ψ1 ein = Ae ik 1z
0
⎜ k 1 ⎟
⎝ ⎠
E+m
0
k 2 1 = E 2 − m 2 von p µ p µ = m 2
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