Quantenmechanik II - Fachschaft Physik - KIT
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3.8.2 Lösung der Dirac-Gleichung für das Potential V c = − Zα<br />
r<br />
Die Dirac-Gleichung lautet dann:<br />
Hψ = [⃗α⃗p + βm + V c (R)] ψ = Eψ<br />
Die Lösung geschieht analog zum Weg bei der Schrödingergleichung:<br />
(a) Zuerst wird eine Variablenseparation (Winkelanteile) durchgeführt. Wir wissen, dass<br />
( )<br />
[H, J] ⃗ = 0 J ⃗ = L ⃗ + S ⃗ = L ⃗<br />
1 ⃗σ 0 +<br />
2 0 ⃗σ<br />
Es können also gemeinsame Eigenfunktionen zu H, ⃗ J 2 und J z konstruiert werden<br />
mit den Eigenwerten E, 2 j(j + 1) und m. Wir machen also den Ansatz für den<br />
Lösungsspinor<br />
( )<br />
ϕ<br />
ψ =<br />
χ<br />
und können dann die Winkelanteile wie in der Pauli-Gleichung durch die Wurzeln<br />
ausgedrückt werden wie folgt:<br />
j = l + 1 2<br />
j = l − 1 2<br />
⎛<br />
j,m = ⎝√<br />
ϕ (+)<br />
⎛<br />
ϕ (−)<br />
j,m = ⎝<br />
√<br />
l+1/2+m<br />
⎞<br />
Y<br />
2l+1 l,m−1/2<br />
⎠<br />
Y<br />
2l+1 l,m+1/2<br />
l+1/2−m<br />
√<br />
l+1/2−m<br />
√<br />
−<br />
⎞<br />
⎠<br />
Y<br />
2l+1 l,m+1/2<br />
2l+1<br />
Y l,m−1/2<br />
l+1/2+m<br />
hässlichen<br />
(b) Danach muss nur noch der Radialanteil betrachtet werden. Wir machen also den<br />
Ansatz<br />
ψ(r) =<br />
( ) ( )<br />
A (+) (r)ϕ (+) A (−) (r)ϕ (−)<br />
+<br />
B (−) (r)ϕ (−) B (+) (r)ϕ (+)<br />
Man erhält also zwei gekoppelte Differenzialgleichungen mit jeweils zwei Variablen.<br />
Wie in der Schrödingergleichung erhält man über einen Potenzreihenansatz und die<br />
Forderung der Normierbarkeit eine Lösung. Sie soll hier nur angegeben werden:<br />
E n =<br />
√<br />
(<br />
m<br />
1 +<br />
√<br />
) 2<br />
Zα<br />
n−(j+1/2)+ (j+1/2) 2 −Z 2 α 2<br />
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