Quantenmechanik II - Fachschaft Physik - KIT

3.8.2 Lösung der Dirac-Gleichung für das Potential V c = − Zα
r
Die Dirac-Gleichung lautet dann:
Hψ = [⃗α⃗p + βm + V c (R)] ψ = Eψ
Die Lösung geschieht analog zum Weg bei der Schrödingergleichung:
(a) Zuerst wird eine Variablenseparation (Winkelanteile) durchgeführt. Wir wissen, dass
( )
[H, J] ⃗ = 0 J ⃗ = L ⃗ + S ⃗ = L ⃗
1 ⃗σ 0 +
2 0 ⃗σ
Es können also gemeinsame Eigenfunktionen zu H, ⃗ J 2 und J z konstruiert werden
mit den Eigenwerten E, 2 j(j + 1) und m. Wir machen also den Ansatz für den
Lösungsspinor
( )
ϕ
ψ =
χ
und können dann die Winkelanteile wie in der Pauli-Gleichung durch die Wurzeln
ausgedrückt werden wie folgt:
j = l + 1 2
j = l − 1 2
⎛
j,m = ⎝√
ϕ (+)
⎛
ϕ (−)
j,m = ⎝
√
l+1/2+m
⎞
Y
2l+1 l,m−1/2
⎠
Y
2l+1 l,m+1/2
l+1/2−m
√
l+1/2−m
√
−
⎞
⎠
Y
2l+1 l,m+1/2
2l+1
Y l,m−1/2
l+1/2+m
hässlichen
(b) Danach muss nur noch der Radialanteil betrachtet werden. Wir machen also den
Ansatz
ψ(r) =
( ) ( )
A (+) (r)ϕ (+) A (−) (r)ϕ (−)
+
B (−) (r)ϕ (−) B (+) (r)ϕ (+)
Man erhält also zwei gekoppelte Differenzialgleichungen mit jeweils zwei Variablen.
Wie in der Schrödingergleichung erhält man über einen Potenzreihenansatz und die
Forderung der Normierbarkeit eine Lösung. Sie soll hier nur angegeben werden:
E n =
√
(
m
1 +
√
) 2
Zα
n−(j+1/2)+ (j+1/2) 2 −Z 2 α 2
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