Quantenmechanik II - Fachschaft Physik - KIT
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Also haben J ⃗2 und J z<br />
|j, m〉. Für sie gilt<br />
eine gemeinsame Eigenbasis. Man bezeichnet die Vektoren mit<br />
⃗J 2 |j, m〉 = j(j + 1) 2 |j, m〉 J z |j, m〉 = m |j, m〉<br />
mit<br />
j = 0, 1 2 , 1, 3 2 , . . .<br />
m = −j, . . . , j<br />
Eigenfunktionen<br />
Bezeichnet ⃗ J einen Bahndrehimpuls ⃗ L, so ist<br />
|l, m〉 = Y lm (θ, φ)<br />
Ist J ⃗ stattdessen ein Spin S, ⃗ z.B. mit Spin 1/2, so ist<br />
( ) ( )<br />
1 0<br />
|s, m〉 = ,<br />
0 1<br />
Auf- und Absteigeoperatoren<br />
J ± = J x ± iJ y J ± |j, m〉 = √ j(j + 1) − m(m ± 1) |j, m ± 1〉<br />
1.2.2 Zwei nicht wechselwirkende Teilchen<br />
mit den zwei Drehimpulsen<br />
H 1 = − 2<br />
2m 1<br />
∆ 1 + V (r 1 )<br />
H 2 = − 2<br />
2m 2<br />
∆ 2 + V (r 2 )<br />
⃗L 1 , ⃗ L 2<br />
⃗ Li = ⃗r i × ⃗p i = i ⃗r i × ∇ i<br />
Das gesamte System wird dargestellt durch<br />
H = H 1 + H 2<br />
Aus [ ⃗ L i , H j ] = 0 folgt [ ⃗ L i , H] = 0. Deshalb sind die Eigenfunktionen des Gesamtsystems<br />
gegeben durch das Produkt der Eigenfunktionen der beiden Teilchen.<br />
1.2.3 Zwei Teilchen mit Wechselwirkung<br />
H = H 1 + H 2 + Ṽ (|⃗r 1 − ⃗r 2 |)<br />
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