Quantenmechanik II - Fachschaft Physik - KIT
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Außerdem quadrieren wir auch die Zeitabhängigkeit, also<br />
− 2 ∂2<br />
∂t 2 φ = ( − 2 c 2 ∆ + m 2 c 4) φ<br />
Schreiben wir die Gleichung um, so erhalten wir die sogenannte Klein-Gordon-Gleichung<br />
(□ + m2 c 2<br />
2 )<br />
φ = 0<br />
Aus dieser KG-Gleichung wollen wir jetzt den Wahrscheinlichkeitsstrom ableiten.<br />
Wir gehen dabei analog vor wie bei der Schrödingergleichung und multiplizieren die<br />
KG-Gleichung mit der konjugierten Wellenfunktion. Man erhält dann:<br />
Dies ist (mit Tensoren geschrieben)<br />
( )<br />
)<br />
φ ∗ □ + m2 c 2<br />
φ − φ<br />
(□ + m2 c 2<br />
φ ∗ = 0<br />
2 2<br />
∂ µ (φ ∗ ∂ µ φ − φ∂ µ φ ∗ ) = 0<br />
Ausmultipliziert erhält man (erweitert mit<br />
(<br />
∂ i<br />
φ ∗ ∂φ )<br />
∂t 2mi 2 ∂t − φ∂φ∗ ∂t<br />
<br />
) 2mi<br />
+ ∇ ⃗ (<br />
)<br />
φ ∗ ∇φ ⃗ − φ∇φ ⃗ ∗<br />
= 0<br />
2mi<br />
Wir definieren wie früher den Wahrscheinlichkeitsstrom als<br />
⃗j =<br />
(<br />
)<br />
φ ∗ ∇φ ⃗ − φ∇φ ⃗ ∗<br />
2mi<br />
Die Definition der Wahsrcheinlichkeitsdichte schlägt aber fehlt, da<br />
ρ =<br />
i (<br />
φ ∗ ∂φ )<br />
2mi 2 ∂t − φ∂φ∗ ∂t<br />
nicht positiv definit ist. Der Grund liegt in den möglichen negativen Energien, da die<br />
Wurzel in<br />
H = ± √ ⃗p 2 c 2 + m 2 c 4<br />
auch negative Lösungen hat. Die negativen Energien werden dann (später in der<br />
Dirac-Gleichung) als Antiteilchen definiert. Die KG-Gleichung bekommt vor allem in<br />
der Quantenfeldtheorie eine große Bedeutung zu.<br />
Insgesamt liefert die KG-Gleichung zwar gute Resultate, aber die gesamte Zeitent-<br />
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