Quantenmechanik II - Fachschaft Physik - KIT

Außerdem quadrieren wir auch die Zeitabhängigkeit, also
− 2 ∂2
∂t 2 φ = ( − 2 c 2 ∆ + m 2 c 4) φ
Schreiben wir die Gleichung um, so erhalten wir die sogenannte Klein-Gordon-Gleichung
(□ + m2 c 2
2 )
φ = 0
Aus dieser KG-Gleichung wollen wir jetzt den Wahrscheinlichkeitsstrom ableiten.
Wir gehen dabei analog vor wie bei der Schrödingergleichung und multiplizieren die
KG-Gleichung mit der konjugierten Wellenfunktion. Man erhält dann:
Dies ist (mit Tensoren geschrieben)
( )
)
φ ∗ □ + m2 c 2
φ − φ
(□ + m2 c 2
φ ∗ = 0
2 2
∂ µ (φ ∗ ∂ µ φ − φ∂ µ φ ∗ ) = 0
Ausmultipliziert erhält man (erweitert mit
(
∂ i
φ ∗ ∂φ )
∂t 2mi 2 ∂t − φ∂φ∗ ∂t
) 2mi
+ ∇ ⃗ (
)
φ ∗ ∇φ ⃗ − φ∇φ ⃗ ∗
= 0
2mi
Wir definieren wie früher den Wahrscheinlichkeitsstrom als
⃗j =
(
)
φ ∗ ∇φ ⃗ − φ∇φ ⃗ ∗
2mi
Die Definition der Wahsrcheinlichkeitsdichte schlägt aber fehlt, da
ρ =
i (
φ ∗ ∂φ )
2mi 2 ∂t − φ∂φ∗ ∂t
nicht positiv definit ist. Der Grund liegt in den möglichen negativen Energien, da die
Wurzel in
H = ± √ ⃗p 2 c 2 + m 2 c 4
auch negative Lösungen hat. Die negativen Energien werden dann (später in der
Dirac-Gleichung) als Antiteilchen definiert. Die KG-Gleichung bekommt vor allem in
der Quantenfeldtheorie eine große Bedeutung zu.
Insgesamt liefert die KG-Gleichung zwar gute Resultate, aber die gesamte Zeitent-
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