Quantenmechanik II - Fachschaft Physik - KIT

man die bekannten inhomogenen Maxwellgleichungen
⃗∇ · ⃗E = cµ 0 j 0 ⃗ ∇ × ⃗ B −
1
c 2 ∂ ⃗ E
∂t = µ 0 ⃗ j
3.1.8 Kovariante Formulierung der Lorentz-Kraft
Wir setzen die Lagrangefunktion eines Teilchens im Potential (wie oben erhalten) an
L = −mc 2√ 1 − β 2 + q ⃗ A · ⃗v − qφ
Sie führt auf die Bewegungsgleichung
ṗ i = qE i + q(⃗v × ⃗ B) i
Auch dies können wir wieder in kovarianter Form schreiben:
ṗ a = 1 γ qF p ν
iν
m
Nachtrag
A µ ist 4-Vektor, falls er transformiert wie x µ . Zum Beispiel ist ˜x µ = (2x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) T
kein 4-Vektor, da ˜x ′µ = (2x ′ 0, x ′ 1, x ′ 2, x ′ 3) T ungleich Λ µ ν ˜x ν ist. Auch a = (1, 2, 3, 4) ist kein
4-Vektor.
3.2 Klein-Gordon-Gleichung
3.2.1 Motivation
Wir stellen einige Anforderungen an eine Wellengleichung, welche relativistisch invariant
ist:
• Sie muss dem Relativitätsprinzip gehorchen
• Sie muss eine Lorentz-invariante Form besitzen
• Sie soll die Postulate der Quantenmechanik weiterhin befolgen. φ wollen wir also
weiterhin als Wellenfunktion auffassen können und sein Normquadrat als Wahrscheinlichkeitsdichte.
Observablen sollen durch hermitesche Operatoren dargestellt
werden können, deren Eigenwerte die Messwerte repräsentieren. Eine beliebige Wel-
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