Quantenmechanik II - Fachschaft Physik - KIT

Damit ist
⃗L · ⃗S = 1 2
(
⃗J 2 − ⃗ L 2 − ⃗ S 2 )
und wenn wir in die neue Basis mit den CGK c
|l, s; m l , m s 〉 ↦→ |j, m j ; l, s〉 = ∑ m l ,m s
c(l, m l , s, m s , j, m j ) |l, s; m l , m s 〉
wechseln, dann ist H LS in dieser neuen Basis diagonal und wir haben uns die Diagonalisierung
wieder gespart. Genauer:
⃗L · ⃗S |j, m j ; l, s〉 = 2
2 ((j(j + 1) − l(l + 1) − s(s + 1)) |j, m j; l, s〉
⎧
⎨
= ε j |j, m j ; l, s〉 = 2 l j = l + 1/2
|j, m j ; l, s〉
2 ⎩−l − 1 j = l − 1/2
Wir gehen vor wie oben:
E (1)
LS = 〈ψ njm j ls| H LS |ψ njmj ls〉 = 1
2m 2 c 2 Ze 2
4πε 0
ε j
〈 1
r 3 〉
mit den analytisch zu erhaltenden Ergebnis:
〈 〉 1
= 1 1
r 3 a 3 0 n 3 l(l + 1/2)(l + 1)
Deshalb betrachten wir erst einmal den Fall l ≠ 0. Man erhält nach Umsortieren
das Endergebnis:
E (1)
ε j
LS = −E (Zα) 2
n
2 nl(l + 1/2)(l + 1)
Wir betrachten jetzt den Fall l = 0. Dann ist j = 1/2 und
⃗L · ⃗S |j, m j , l, s〉 = 0
und die Energiekorrektur ist ebenfalls Null.
Darwin-Term Dieser ist aufgrund seiner Form sehr einfach zu Berechnen:
〈 〉
1
D = 2 Ze 2
4πδ (3) (⃗r)
8 m 2 c 2 4πε 0
E (1)
30