Quantenmechanik II - Fachschaft Physik - KIT

Darwin-Term
mittleres Potential
Zitterbewegung des Elektrons um Kern : δr ≈ mc
. Elektron fühlt
〈V (⃗r + δ⃗r)〉 = 〈V (⃗r)〉 + 〈δ⃗r∇V 〉 + 1 〈(δ⃗r∇) (δ⃗r∇) V 〉 + . . .
2
isotrope Fluktuation
= V (⃗r) + 0 + 1 3∑
2 〈 (δx i ) 2 ∂x 2 i
V 〉 + . . .
Exakte Behandlung
i=1
(δx 1 ) 2 =(δx 2 ) 2 =(δx 3 ) 2 = 1 3 (δr)2
= V (⃗r) + 1 6 (δr)2 ∇ 2 V
H D = 1 8 (δr)2 ∇ 2 V =
2
8m 2 c 2
Ze
4πε 0
(4πδ(⃗r))
Größenordnung
〈ψ|H D |ψ〉 Z=1
=
2
8m 2 c 2 e 2
4πε 0
4π|ψ(0)| 2
Es gilt ∫ |ψ(r)| 2 dr 3 = 1 , weiterhin ist um den Ursprung das Volumen ca a 3 0 und
damit |ψ(0)| 2 ≈ 1 . Damit
a 3 0
〈ψ|H D |ψ〉 ≈
2 (αmc)3
cα4π ≈ mc 2 α 4 ≈ α 2 |H
8m 2 c2 3 0 |
2.2.2 Störungstheorie 1. Ordnung
Relativistische Korrektur Die korrekte Behandlung führt über die Störungstheorie für entartete
Zustände. Das ist sehr kompliziert und aufwändig auszuführen. Wir benutzen
deshalb einen Trick: Wir schreiben:
und mit H 0 = T + V folgt
Mit diesen Definitionen sehen wir:
H rel = − 1 ( ) ⃗p
2 2
= − 1
2mc 2 2m 2mc T 2
2
H rel = − 1
2mc 2 (
H
2
0 − H 0 V − V H 0 + V 2)
[H rel , L z ] = [H rel , ⃗ L 2 ] = [H rel , S z ] = [H rel , ⃗ S 2 ] = 0
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