Quantenmechanik II - Fachschaft Physik - KIT
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Darwin-Term<br />
mittleres Potential<br />
Zitterbewegung des Elektrons um Kern : δr ≈ mc<br />
. Elektron fühlt<br />
〈V (⃗r + δ⃗r)〉 = 〈V (⃗r)〉 + 〈δ⃗r∇V 〉 + 1 〈(δ⃗r∇) (δ⃗r∇) V 〉 + . . .<br />
2<br />
isotrope Fluktuation<br />
= V (⃗r) + 0 + 1 3∑<br />
2 〈 (δx i ) 2 ∂x 2 i<br />
V 〉 + . . .<br />
Exakte Behandlung<br />
i=1<br />
(δx 1 ) 2 =(δx 2 ) 2 =(δx 3 ) 2 = 1 3 (δr)2<br />
= V (⃗r) + 1 6 (δr)2 ∇ 2 V<br />
H D = 1 8 (δr)2 ∇ 2 V =<br />
2<br />
8m 2 c 2<br />
Ze<br />
4πε 0<br />
(4πδ(⃗r))<br />
Größenordnung<br />
〈ψ|H D |ψ〉 Z=1<br />
=<br />
2<br />
8m 2 c 2 e 2<br />
4πε 0<br />
4π|ψ(0)| 2<br />
Es gilt ∫ |ψ(r)| 2 dr 3 = 1 , weiterhin ist um den Ursprung das Volumen ca a 3 0 und<br />
damit |ψ(0)| 2 ≈ 1 . Damit<br />
a 3 0<br />
〈ψ|H D |ψ〉 ≈<br />
2 (αmc)3<br />
cα4π ≈ mc 2 α 4 ≈ α 2 |H<br />
8m 2 c2 3 0 |<br />
2.2.2 Störungstheorie 1. Ordnung<br />
Relativistische Korrektur Die korrekte Behandlung führt über die Störungstheorie für entartete<br />
Zustände. Das ist sehr kompliziert und aufwändig auszuführen. Wir benutzen<br />
deshalb einen Trick: Wir schreiben:<br />
und mit H 0 = T + V folgt<br />
Mit diesen Definitionen sehen wir:<br />
H rel = − 1 ( ) ⃗p<br />
2 2<br />
= − 1<br />
2mc 2 2m 2mc T 2<br />
2<br />
H rel = − 1<br />
2mc 2 (<br />
H<br />
2<br />
0 − H 0 V − V H 0 + V 2)<br />
[H rel , L z ] = [H rel , ⃗ L 2 ] = [H rel , S z ] = [H rel , ⃗ S 2 ] = 0<br />
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