Quantenmechanik II - Fachschaft Physik - KIT

Beispiel:
(a) Skalare Operatoren sind irreduzible Tensoren nullter Stufe.
(b) Vektoroperatoren sind irreduzible Tensoren erster Stufe:
V (1)
1 = − 1 √
2
(V x + iV y ) V (1)
0 = V z
V (1)
−1 = 1 √
2
(V x − iV y )
Zu zeigen ist noch, dass die definierenden Bedingungen erfüllt sind, wenn gerade
[J a , V b ] = iε abc V c
erfüllt ist.
(c) Die Kugelfächenfunktionen
Y l,m l fest m = −l, . . . , l 2l + 1 Werte
sind Tensoren l-ter Stufe
T (l)
m
= Y l,m
Es muss gelten:
[L ± , Y l,m ] = √ l(l + 1) − m(m ± 1)Y l,m±1 [L z , Y l,m ] = mY l,m
(d) T (r) ist irreduzibler Tensor falls es keinen echten (nicht gleich dem Gesamtraum oder
dem Nullraum) unter Drehungen invarianten Unterraum gibt.
Beispiel: ⃗ V , ⃗ W Vektoroperator. Dann ist T ij = V i W j ein reduzibler Tensor 2. Stufe,
denn:
T ij = 1 3 Tr(T )δ ij + 1 2 (T ij − T ji ) + 1 2
Alle drei Komponenten sind invariant unter Drehungen.
(
T ij + T ji − 2 )
3 δ ijTr(T )
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