Quantenmechanik II - Fachschaft Physik - KIT

Setzen wir das in die erste Beziehung ein, so erhalten wir das Projektionstheorem:
⃗V = 〈 ⃗ J · ⃗V 〉 k,j
〈 ⃗ J 2 〉 k,j
⃗ J
Alle Vektoroperatoren sind in H(k, j) proportional zum Drehimpulsoperator.
Die klassische Interpretation führt über ein isoliertes System. In diesem ist der gesamte
Drehimpuls ⃗ J erhalten. Alle anderen physikalischen Größen präzessieren um ⃗ J. Nach
Zeitmittelung bleibt nur die Projektion von ⃗ V auf ⃗ J übrig.
⃗V || = ⃗ J · ⃗V
| ⃗ J 2 |
⃗J
1.5.4 Wigner-Eckart-Theorem (allgemeiner Fall)
Sei T (r) ein irreduzibler Tensoroperator r-ter Stufe. Dann gilt:
〈k, j, m| T (r)
q |k ′ , j ′ , m ′ 〉 = 〈j ′ , r; m ′ , q|j, m〉 〈k, j| |T (r) | |k ′ , j ′ 〉
√ 2j + 1
Erläuterung:
(a) Das Element 〈j ′ , r; m ′ , q|j, m〉 ist ein CGK für die Addition von Drehimpulsen j ′ und
r zu j. Deshalb ist der Ausdruck für 〈k, j, m| T q
(r) |k ′ , j ′ , m ′ 〉 nur dann ungleich Null,
wenn
(b) Das sogenannte reduzierte Matrixelement
q = m − m ′ |j − j ′ | ≤ r ≤ j + j ′
〈k, j| |T (r) | |k ′ , j ′ 〉
hängt nicht von m und m ′ ab. In der Praxis kann es relativ leicht bestimmt werden,
indem man m und m ′ geschickt wählt.
(c) Der Faktor √ 2j + 1 ist dabei reine Konvention.
(d) Die T (r)
q
für q = −r, . . . , r heißen Standartkomponenten eines irreduziblen Tensors
r-ter Stufe falls gilt:
[J ± , T q
(r) ] = √ r(r + 1) − q(q ± 1)T (r)
q±1 [J z , T q
(r) ] = qT q
(r)
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