Quantenmechanik II - Fachschaft Physik - KIT

(a) Matrix von ⃗ V : Wir definieren:
V ± = V x ± iV y
J ± = J x ± iJ y
Daraus folgt:
[J + , V + ] = [J − , V − ] = 0 [J + , V − ] = −[J − , V + ] = 2V z [J z , V ± ] = ±V ±
V z :
〈k, j, m| V z |k ′ , m ′ , l ′ 〉 ∝ δ mm ′
da [J z , V z ] = 0.
V ± :
J z V ± = [J z , V ± ] + V ± J z = V ± J z ± V ±
J z V ± |k ′ , j ′ , m ′ 〉 = (m ′ ± 1)V ± |k ′ , j ′ , m ′ 〉
Also ist V ± |k ′ , j ′ , m ′ 〉 ein Eigenvektor zu J z mit Eigenwert (m ′ ± 1). Da |k, j, m〉
und V ± |k ′ , j ′ , m ′ 〉 beides Eigenvektoren zu J z sind, ist
〈k, j, m| V ± |k ′ , j ′ , m ′ 〉 ∝ δ m,m ′ ±1
da die Eigenvektoren zueinander orthogonal sind.
(b) Proportionalität der Matrixelemente von ⃗ V und ⃗ J: Aus [J + , V + ] = 0 folgt:
〈k, j, m + 2| J + V + |k, j, m〉 = 〈k, j, m + 2| V + J + |k, j, m〉
Benutze
und beachte
1 = ∑
k ′ ,j ′ ,m ′ |k ′ , j ′ , m ′ 〉 〈k ′ , j ′ , m ′ |
〈k, j, m| J + |k ′ , j ′ , m ′ 〉 ∝ δ kk ′δ jj ′δ mm ′ ±1
Dann gilt:
〈k, j, m + 2| J + |k, j, m + 1〉 〈k, j, m + 1| V + |k, j, m〉
= 〈k, j, m + 2| V + |k, j, m + 1〉 〈k, j, m + 1| J + |k, j, m〉
Wir können auch umstellen auf:
〈k, j, m + 1| V + |k, j, m〉
〈k, j, m + 1| J + |k, j, m〉 = 〈k, j, m + 2| V + |k, j, m + 1〉
〈k, j, m + 2| J + |k, j, m + 1〉
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