Quantenmechanik II - Fachschaft Physik - KIT

Mit dieser Definition erhält man für π:
∫
π(x) = ˙φ(x) = i
1
(
e i⃗k·⃗x a † (
(2π) ⃗ k) + e −i⃗k·⃗x a( ⃗ )
k) d ⃗ k
3
Wenn wir nun den Kommutator von φ und π bilden, erhalten wir
∫
a( ⃗ k) = −i (iωφ(x) − π(x)) e i⃗k·⃗x d⃗x
∫
a † ( ⃗ k) = i (−iωφ(x) − π(x)) e −i⃗k·⃗x d⃗x
denn mit
erhält man
∫
1
(2π) 3 ei⃗ k·⃗x±i ⃗ k ′·⃗x d⃗x = δ( ⃗ k ± ⃗ k ′ )
∫
φ(x)e i⃗k·⃗x d⃗x = 1
2ω
∫
π(x)e i⃗k·⃗x d⃗x = i 2
(
e iωt a † ( ⃗ k) + e −iωt a(− ⃗ )
k)
(
e iωt a † ( ⃗ k) − e −iωt a(− ⃗ k)
)
und
bzw. für a analog.
a † ( ⃗ k) = e −iωt ∫
(ωφ(x) − iπ(x)) e i⃗ k·⃗x d⃗x
Für die Kommutatorrelationen zwischen a und a † erhalten wir
[a( ⃗ k), a( ⃗ k ′ )] = [a † ( ⃗ k), a † ( ⃗ k ′ )] = 0
Beweis:
[a( ⃗ k), a( ⃗ k ′ )] = (−i) 2 ∫
∫
= −
= 0
[a( ⃗ k), a † ( ⃗ k ′ )] = 2ω(2π) 3 δ( ⃗ k − ⃗ k ′ )
e ikx+ik′ x ′ [iωφ(x) − π(x), iωφ(x ′ ) − π(x ′ )] d⃗xd⃗x ′
e i(k+k′ )x (−iω + iω ′ ) d⃗x
wegen
e i(k+k′ )x ∼ δ( ⃗ k + ⃗ k ′ ) =⇒ ω = ω ′
Die Aussage [a † ( ⃗ k), a † ( ⃗ k ′ )] = 0 erhält man stark analog. Außerdem
135