Quantenmechanik II - Fachschaft Physik - KIT
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Mit dieser Definition erhält man für π:<br />
∫<br />
π(x) = ˙φ(x) = i<br />
1<br />
(<br />
e i⃗k·⃗x a † (<br />
(2π) ⃗ k) + e −i⃗k·⃗x a( ⃗ )<br />
k) d ⃗ k<br />
3<br />
Wenn wir nun den Kommutator von φ und π bilden, erhalten wir<br />
∫<br />
a( ⃗ k) = −i (iωφ(x) − π(x)) e i⃗k·⃗x d⃗x<br />
∫<br />
a † ( ⃗ k) = i (−iωφ(x) − π(x)) e −i⃗k·⃗x d⃗x<br />
denn mit<br />
erhält man<br />
∫<br />
1<br />
(2π) 3 ei⃗ k·⃗x±i ⃗ k ′·⃗x d⃗x = δ( ⃗ k ± ⃗ k ′ )<br />
∫<br />
φ(x)e i⃗k·⃗x d⃗x = 1<br />
2ω<br />
∫<br />
π(x)e i⃗k·⃗x d⃗x = i 2<br />
(<br />
e iωt a † ( ⃗ k) + e −iωt a(− ⃗ )<br />
k)<br />
(<br />
e iωt a † ( ⃗ k) − e −iωt a(− ⃗ k)<br />
)<br />
und<br />
bzw. für a analog.<br />
a † ( ⃗ k) = e −iωt ∫<br />
(ωφ(x) − iπ(x)) e i⃗ k·⃗x d⃗x<br />
Für die Kommutatorrelationen zwischen a und a † erhalten wir<br />
[a( ⃗ k), a( ⃗ k ′ )] = [a † ( ⃗ k), a † ( ⃗ k ′ )] = 0<br />
Beweis:<br />
[a( ⃗ k), a( ⃗ k ′ )] = (−i) 2 ∫<br />
∫<br />
= −<br />
= 0<br />
[a( ⃗ k), a † ( ⃗ k ′ )] = 2ω(2π) 3 δ( ⃗ k − ⃗ k ′ )<br />
e ikx+ik′ x ′ [iωφ(x) − π(x), iωφ(x ′ ) − π(x ′ )] d⃗xd⃗x ′<br />
e i(k+k′ )x (−iω + iω ′ ) d⃗x<br />
wegen<br />
e i(k+k′ )x ∼ δ( ⃗ k + ⃗ k ′ ) =⇒ ω = ω ′<br />
Die Aussage [a † ( ⃗ k), a † ( ⃗ k ′ )] = 0 erhält man stark analog. Außerdem<br />
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