Quantenmechanik II - Fachschaft Physik - KIT

wenn man wieder den Differentenquotienten betrachtet.
Bemerkungen
• x ist keine verallgemeinerte Koordinate im Sinne des Lagrange-Formalismus. Es ist
stattdessen ein kontinuierlicher Index.
• Die Formel lässt sich leicht in 3 Dimensionen verallgemeinern. Es ist dann
∫
L = d 3 x L
mit
L = L(q, ˙q, ∇q)
• Das q = q(t, ⃗x) ist eine Art Feld.
6.1.3 Euler-Lagrange-Gleichungen für Felder
Die Wirkung des Systems ist definiert als
S =
∫ t2
t 1
∫
dt
d 3 x L
Nach dem Hamiltonprinzip muss bei einem stationären Zustand S minimal sein. Es muss
also δS = 0 für eine kleine Störung sein. Das führt uns auf:
0 = δS =
∫ t2
t 1
∫
dt
( )
∂L
d 3 ∂L ∂L
x δq + δ ˙q +
∂q ∂ ˙q ∂∇q δ∇q
Wir wissen, dass δ∇q = ∇δq und δ ˙q = d δq. Die Randterme der kleine Störung ver-
dt
schwinden, also
δq(t 1 ) = δq(t 2 ) = 0
Für |⃗x| → ∞ soll q(⃗x, t) ebenfalls verschwinden. Führen wir in δS also die partielle
Integration nach ⃗x und t aus, dann erhalten wir:
0 = δS =
∫ t2
t 1
∫
dt
( ∂L
d 3 x
∂q − d ∂L
dt ∂ ˙q − ∇ ∂L )
δq
∂∇q
Da die Störung δq beliebig ist, muss damit die Klammer verschwinden. Wir erhalten dann
eine Euler-Lagrange-Gleichung:
∂L
∂q − d ∂L
dt ∂ ˙q − ∇ ∂L
∂∇q = 0
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