Quantenmechanik II - Fachschaft Physik - KIT
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wenn man wieder den Differentenquotienten betrachtet.<br />
Bemerkungen<br />
• x ist keine verallgemeinerte Koordinate im Sinne des Lagrange-Formalismus. Es ist<br />
stattdessen ein kontinuierlicher Index.<br />
• Die Formel lässt sich leicht in 3 Dimensionen verallgemeinern. Es ist dann<br />
∫<br />
L = d 3 x L<br />
mit<br />
L = L(q, ˙q, ∇q)<br />
• Das q = q(t, ⃗x) ist eine Art Feld.<br />
6.1.3 Euler-Lagrange-Gleichungen für Felder<br />
Die Wirkung des Systems ist definiert als<br />
S =<br />
∫ t2<br />
t 1<br />
∫<br />
dt<br />
d 3 x L<br />
Nach dem Hamiltonprinzip muss bei einem stationären Zustand S minimal sein. Es muss<br />
also δS = 0 für eine kleine Störung sein. Das führt uns auf:<br />
0 = δS =<br />
∫ t2<br />
t 1<br />
∫<br />
dt<br />
( )<br />
∂L<br />
d 3 ∂L ∂L<br />
x δq + δ ˙q +<br />
∂q ∂ ˙q ∂∇q δ∇q<br />
Wir wissen, dass δ∇q = ∇δq und δ ˙q = d δq. Die Randterme der kleine Störung ver-<br />
dt<br />
schwinden, also<br />
δq(t 1 ) = δq(t 2 ) = 0<br />
Für |⃗x| → ∞ soll q(⃗x, t) ebenfalls verschwinden. Führen wir in δS also die partielle<br />
Integration nach ⃗x und t aus, dann erhalten wir:<br />
0 = δS =<br />
∫ t2<br />
t 1<br />
∫<br />
dt<br />
( ∂L<br />
d 3 x<br />
∂q − d ∂L<br />
dt ∂ ˙q − ∇ ∂L )<br />
δq<br />
∂∇q<br />
Da die Störung δq beliebig ist, muss damit die Klammer verschwinden. Wir erhalten dann<br />
eine Euler-Lagrange-Gleichung:<br />
∂L<br />
∂q − d ∂L<br />
dt ∂ ˙q − ∇ ∂L<br />
∂∇q = 0<br />
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