Quantenmechanik II - Fachschaft Physik - KIT

Jetzt benutzen wir Störungsrechnung und entwickeln nach Koeffizienten von λ:
b k = b (0)
k
+ λb (1)
k
+ λ 2 b (2)
k
+ . . .
Dies setzen wir ein und trennen nach verschiedenen Koeffizienten von λ:
0. Ordnung
Also hängen die b (0)
n
d
dt b(0) n = 0
nicht von der Zeit ab.
ν-te Ordnung
i d dt b(ν) n
= ∑ k
b (ν−1)
k
e i(En−Ek)t/ 〈n| V |k〉
Dies erlaubt uns also eine rekursive Berechnung der Koeffizienten.
4.5.2 Störungstheorie 1. Ordnung
Für t ≤ 0 befinde sich das System wie immer im Zustand |m〉. Gesucht ist wieder die
Übergangswahrscheinlichkeit in einen Zustand |n〉. Für die b i für t = 0 ergibt sich dann
direkt
b i (0) = δ im
für alle Ordnungen von λ. Also muss
b (0)
i (t = 0) = δ mi b (ν)
i (t = 0) = 0 ν ≠ 0
In der ersten Ordnung ergibt sich dann
i d dt b(1) j
= ∑ k
b (0)
k
ei(E j−E k )t/ 〈j| V |k〉 = e i(E j−E m)t/ 〈j| V |m〉
Diese Differentialgleichung ist recht einfach zu lösen. Man erhält:
b (1)
j = 1 ∫ t
i 0
dt ′ e i(E j−E m)t/ 〈j| V |m〉
Damit ergibt sich mit
|ψ, t〉 I
= ∑ n
b n |n〉 = |m〉 + λ ∑ k
b (1)
k
|k〉 + . . .
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