Quantenmechanik II - Fachschaft Physik - KIT
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Jetzt benutzen wir Störungsrechnung und entwickeln nach Koeffizienten von λ:<br />
b k = b (0)<br />
k<br />
+ λb (1)<br />
k<br />
+ λ 2 b (2)<br />
k<br />
+ . . .<br />
Dies setzen wir ein und trennen nach verschiedenen Koeffizienten von λ:<br />
0. Ordnung<br />
Also hängen die b (0)<br />
n<br />
d<br />
dt b(0) n = 0<br />
nicht von der Zeit ab.<br />
ν-te Ordnung<br />
i d dt b(ν) n<br />
= ∑ k<br />
b (ν−1)<br />
k<br />
e i(En−Ek)t/ 〈n| V |k〉<br />
Dies erlaubt uns also eine rekursive Berechnung der Koeffizienten.<br />
4.5.2 Störungstheorie 1. Ordnung<br />
Für t ≤ 0 befinde sich das System wie immer im Zustand |m〉. Gesucht ist wieder die<br />
Übergangswahrscheinlichkeit in einen Zustand |n〉. Für die b i für t = 0 ergibt sich dann<br />
direkt<br />
b i (0) = δ im<br />
für alle Ordnungen von λ. Also muss<br />
b (0)<br />
i (t = 0) = δ mi b (ν)<br />
i (t = 0) = 0 ν ≠ 0<br />
In der ersten Ordnung ergibt sich dann<br />
i d dt b(1) j<br />
= ∑ k<br />
b (0)<br />
k<br />
ei(E j−E k )t/ 〈j| V |k〉 = e i(E j−E m)t/ 〈j| V |m〉<br />
Diese Differentialgleichung ist recht einfach zu lösen. Man erhält:<br />
b (1)<br />
j = 1 ∫ t<br />
i 0<br />
dt ′ e i(E j−E m)t/ 〈j| V |m〉<br />
Damit ergibt sich mit<br />
|ψ, t〉 I<br />
= ∑ n<br />
b n |n〉 = |m〉 + λ ∑ k<br />
b (1)<br />
k<br />
|k〉 + . . .<br />
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