Quantenmechanik II - Fachschaft Physik - KIT

Die Übergangsrate (also die Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit) ist
Γ mn = P mn
t
= 2π δ(E n − E m ) |〈n| V |m〉| 2
Dies ist gerade Fermis Goldene Regel.
(c) Wir betrachten jetzt Übergange in eine ganze Gruppe von Zuständen. Dazu führen
wir die Zustandsdichte ρ ein:
ρ(E) = dN
dE
Sie beschreibt die Anzahl der Zustande im Intervall (E, E + dE). Die Zustandsdichte
muss als gegeben angenommen werden, weshalb wir unsere Teilchenzahl schreiben
können also
dN = ρ(E) dE
Außerdem nehmen wir an, dass das Übergangsmatrixelement 〈n| V |m〉 gleich für
alle Zustände im Intervall (E, E + dE) ist. Die totale Rate für den Übergang vom
Zustand m in eine ganze Gruppe n von Zuständen mit ungefähr der selben Energie
E ≈ E n ≈ E m ist dann
∫
∫
dN n Γ mn =
dE n ρ(E n )δ(E n − E m ) 2π |〈n| V |m〉|2 = ρ(E m ) 2π
|〈n| V |m〉|2
Wir haben gewisse Annahmen für die Energien gemacht. Das Intervall der betrachteten
Energien wurde größer als die Energieunterschiede ω mn angenommen und diese
wiederum größer als die einzelnen Energieunterschiede zwischen den E n in der kontinuierlichen
Gruppe. Dies wollen wir noch einmal genauer betrachten:
(d) Wir haben bei der Herleitung verwendet, dass
δ t (α) = sin2 αt
πα 2 t
→ δ(α)
mit
α = E n − E m
2
Die Funktion δ t hat Nullstellen, wenn der Sinus Null wird. Dies ist der Fall, wenn
αt = 2π =⇒ E n − E m = 4π
t
→ 0
für t → ∞
δ t hat also die Breite (die Entfernung zwischen den Nullstellen) von 4π . Viele der
t
betrachteten Zustände müssen zwischen diesen beiden Nullstellen (im ”Peak’) liegen
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