Quantenmechanik II - Fachschaft Physik - KIT
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4.4.2 Übergang in Kontinuum<br />
(a) Wir versuchen P mn (t) auf Übergange in ein kontinuierliches Spektrum anzuwenden.<br />
<strong>Physik</strong>alische Beispiele wären die Streuung einen Teilchens mit Impuls ⃗ k auf den Impuls<br />
⃗ k ′ (die 1. Ordnung Störungstheorie entspricht gerade der Bornschen Näherung).<br />
oder wiederum der α-Zerfall (bei ihm ist der Impuls des α-Teilchens kontinuierlich).<br />
Ein weiteres Beispiel ist das Helium-Atom, indem sich beide Elektronen im<br />
2S-Zustand befinden (man könnte dann berechnen wie groß die Wahrscheinlichkeit<br />
ist, dass ein Elektron in den 1S-Zustand fällt und eines das Atom verlässt und frei<br />
ist).<br />
Wir betrachten zunächst ein stufenförmiges Potential mit V (t) = V ·Θ(t). Die Wahrscheinlichkeit<br />
ist dann nach der Formel von oben gegeben. Die Zeitabhängigkeit im<br />
Potential verschwindet und das Integral ist lösbar. Wir setzen ω mn = En−Em<br />
<br />
erhalten:<br />
P mn (t) = 1 ∣ ∣ ∣∣∣ e iωmnt − 1 ∣∣∣<br />
2<br />
2 ω mn<br />
|〈n| V |m〉| 2 = 1 2 ∣ ∣∣∣ sin(ω nm t)<br />
ω mn /2<br />
∣<br />
2<br />
|〈n| V |m〉| 2<br />
und<br />
(b) Uns interessiert das Verhalten für große Zeiten (also t → ∞), weshalb wir einen<br />
mathematischen Einschub machen. Wir betrachten die Funktion<br />
δ t (α) = sin2 (αt)<br />
πα 2 t<br />
Abbildung 4.1: Ein Plot der Funktion δ t (α) für verschiedene t-Werte. Verdoppelt man t,<br />
so wird das Maximum doppelt so hoch.<br />
Wir erhalten einige Abschätzungen<br />
δ t (0) = t π<br />
δ t (α ≠ 0) ≤ 1<br />
πα 2 t<br />
∫ ∞<br />
α=−∞<br />
δ t (α) dα = 1<br />
Man kann beweisen, dass δ t (α) für unendlich große t-Werte eine Darstellung der<br />
δ-Funktion ist.<br />
Wir erhalten also für unsere Wahrscheinlichkeit für große t:<br />
P nm = 1 (<br />
πtδ ωmn<br />
)<br />
|〈n| V |m〉| 2 = t 2π 2 2<br />
δ(E n − E m ) |〈n| V |m〉| 2<br />
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