Quantenmechanik II - Fachschaft Physik - KIT

4.4.2 Übergang in Kontinuum
(a) Wir versuchen P mn (t) auf Übergange in ein kontinuierliches Spektrum anzuwenden.
Physikalische Beispiele wären die Streuung einen Teilchens mit Impuls ⃗ k auf den Impuls
⃗ k ′ (die 1. Ordnung Störungstheorie entspricht gerade der Bornschen Näherung).
oder wiederum der α-Zerfall (bei ihm ist der Impuls des α-Teilchens kontinuierlich).
Ein weiteres Beispiel ist das Helium-Atom, indem sich beide Elektronen im
2S-Zustand befinden (man könnte dann berechnen wie groß die Wahrscheinlichkeit
ist, dass ein Elektron in den 1S-Zustand fällt und eines das Atom verlässt und frei
ist).
Wir betrachten zunächst ein stufenförmiges Potential mit V (t) = V ·Θ(t). Die Wahrscheinlichkeit
ist dann nach der Formel von oben gegeben. Die Zeitabhängigkeit im
Potential verschwindet und das Integral ist lösbar. Wir setzen ω mn = En−Em
erhalten:
P mn (t) = 1 ∣ ∣ ∣∣∣ e iωmnt − 1 ∣∣∣
2
2 ω mn
|〈n| V |m〉| 2 = 1 2 ∣ ∣∣∣ sin(ω nm t)
ω mn /2
∣
2
|〈n| V |m〉| 2
und
(b) Uns interessiert das Verhalten für große Zeiten (also t → ∞), weshalb wir einen
mathematischen Einschub machen. Wir betrachten die Funktion
δ t (α) = sin2 (αt)
πα 2 t
Abbildung 4.1: Ein Plot der Funktion δ t (α) für verschiedene t-Werte. Verdoppelt man t,
so wird das Maximum doppelt so hoch.
Wir erhalten einige Abschätzungen
δ t (0) = t π
δ t (α ≠ 0) ≤ 1
πα 2 t
∫ ∞
α=−∞
δ t (α) dα = 1
Man kann beweisen, dass δ t (α) für unendlich große t-Werte eine Darstellung der
δ-Funktion ist.
Wir erhalten also für unsere Wahrscheinlichkeit für große t:
P nm = 1 (
πtδ ωmn
)
|〈n| V |m〉| 2 = t 2π 2 2
δ(E n − E m ) |〈n| V |m〉| 2
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