¨Ubung 1, zu lösen bis zum 24. Oktober - Universität Würzburg

Physik moderner Materialien, WS 2013, Universität Würzburg.
Übung 1, zu lösen bis zum 24. Oktober
1 Energiegrößenordnungen, Einheiten und ihre Umformung (7 Punkte)
Die mikroskopischen Einergieeinheiten (Quanten), die benötigt werden, um einzelne Atome oder
Moleküle anzuregen, oder um “kollektive” Anregungen wie Gitterschwingungen (Phononen) in
Festkörpern zu erzeugen, sind sehr klein im Vergleich zu alltäglichen Energiemengen, die in
Joule gemessen werden. Deswegen werden in der Festkörperphysik und in der Spektroskopie oft
spezifische Energieeinheiten verwendet, oder Wellenlängen bzw. Frequenzen der entsprechenden
Anregungsstrahlung.
a) Ein Elektronvolt (1 eV) ist definiert als die kinetische Energie, die ein Elektron gewinnt,
wenn es durch ein elektrostatisches Potential von 1 Volt beschleunigt wird. Drücken Sie 1 eV in
J aus.
b) Die Energie eines Protons (Strahlungsquant) der Frequenz ν ist E = hν, wobei h die
Plancksche Konstante ist. Was ist die Frequenz von elektromagnetischer Strahlung mit Quanten
der Energie 1 eV? Was ist die Wellenlänge λ dieser Strahlung? Ist dies sichtbare Strahlung?
Wenn ja, welcher Farbe entspricht es? Wenn nein, wie nennt man den Spektralbereich, zu dem
solche Strahlung gehört?
c) Oft wird die reduzierte Plancksche Konstante ¯h = h/2π verwendet, so dass E = ¯hω, wobei
ω = 2πν die Winkelfrequenz ist. Der (Winkel-)Wellenvektor k ist definiert als ein Vektor, der
in Ausbreitungsrichtung der ebenen Welle zeigt und die Größe k = 2π/λ hat; k wird Wellenzahl
genannt. Was ist die Relation zwischen E und k?
In der Spektroskopie (Lichtstreuung) verwendet man leider oft eine etwas unterschiedliche
Definition für die Wellenzahl, indem man den Faktor 2π weglässt: ˜k = 1/λ. Welches ˜k entspricht
hier 1 eV? Geben Sie das Ergebnis in cm −1 an.
(Bemerkung: Einen Wellenvektor kann in ähnlicher Weise für jedes Quantenobjekt definiert
werden, welches durch eine Wellenfunktion repräsentiert wird: Ein Beispiel sind die Neutronen,
die wir später benutzen werden, um die Struktur und Vibrationen von Kristallen zu untersuchen.
Der Zusammenhang zwischen E und k, Dispersion genannt, ist für elektromagnetische Strahlung
linear; für massebehaftete Teilchen wie die Neutronen gilt der Zusammenhang E ∝ k 2 .
Um einen Vergleich zu haben, wiederholen wir nun einige typische Energiegrößenordnungen
aus der Kernphysik.
d) Berechne die Ruheenergie eines Protons der Masse ∼ 1.673 × 10 −27 kg, in J and eV. Tipp:
Einstein...
e) In der Kernfusion von Deuterium und Tritium wird ein Neutron mit der kinetischen Energie
14.1 MeV freigesetzt. Berechnen Sie die Geschwindigkeit des Neutrons.
f) Beim spontanen Zerfall von 60
27Co in
60
28Ni werden zwei Gammaquanten der Energien 1.17
und 1.33 MeV frei. Was ist deren Wellenlänge und Frequenz?
Nun werden wir typische Energiegrößenordnungen in Atomen und Molekülen diskutieren.
g) In einer Röntgenröhre wird Strahlung erzeugt, indem ein Metalltarget mit Elektronen
beschossen wird, die ausreichend Energie besitzen, um die atomaren Elektronen aus den inneren
Schalen zu entfernen. Die Leerstellen werden mit Elektronen aufgefüllt, die aus Schalen stammen,
die weiter außerhalb liegen. Hierbei wird charakteristische Strahlung erzeugt; eine typische
Wellenlänge bei der Benutzung von Kupfertargets ist ∼ 0.154 nm, so genannte K-α-Strahlung.
Welcher Frequenz und Energie in eV entspricht das?
h) Was ist die Ionisierungsenergie eines Wasserstoffatoms und welcher Wellenlänge entspricht
dies? Warum ist die Energie so viel kleiner als die Energie der K-α Strahlung, obwohl es die
Anregung aus der innersten Elektronenschale ins Kontinuum (freies Elektron) ist?
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Physik moderner Materialien, WS 2013, Universität Würzburg.
i) Bei der Diskussion von Gitterschwingungen bedient man sich des Konzepts des harmonischen
Quantenoszillators. Die Schwingungsenergie zweiatomiger Moleküle ist quantisiert und die
Energieniveaus haben einen Abstand von E = hν. Man kann zeigen, dass die Eigenfrequenz
ν gegeben ist durch √ κ/µ, wobei κ die “effektive Federkonstante” ist und µ die reduzierte
Masse. Wir wollen das HCl Molekül (κ ∼ 480 N/m) betrachten. Berechne ν und E in eV
und die entsprechende Wellenzahl in cm −1 . Mit der Annahme, dass der Grundzustand die Energie
E 0 = 0 aufweist und unter Benutzung der Maxwell-Boltzmann-Verteilung können Sie das
Besetzungsverhältnis des ersten angeregten Zustandes relativ zum Grundzustand bei Raumtemperatur
ausrechnen (Entartungen vernachlässigen!).
j) Die Rotationsenergie von Molekülen ist ebenfalls quantisiert. Die Energieniveaus eines
zweiatomigen Moleküls sind E = l(l + 1)¯h 2 /(2I), wobei l eine ganze Zahl ist, I = µr0 2 der
Drehimpuls und r 0 der durchschnittliche Abstand zwischen den Atomen. Berechnen Sie für
das HCl Molekül (r 0 = 0.236 nm) die Energie des ersten angeregten Zustandes in eV und
die entsprechende Wellenzahl in cm −1 , sowie das Besetzungsverhältnis des ersten angeregten
Zustandes relativ zum Grundzustand bei Raumtemperatur.
Die Besetzung der Energieniveaus oberhalb vom Grundzustand hat wichtige Konsequenzen
für die Wärmekapazität. Ist die Temperatur zu niedrig, ist der entsprechende Freiheitsgrad
“ausgefroren” und kann keine thermische Energie aufnehmen. Er trägt auch keinen Summanden
1/2Nk B T zur Energie des Systems bei.
2 Ein bisschen Chemie und Bindungstypen (7 Punkte)
Die sechs Elemente A, B, C, D, E, F haben die Ordnungszahlen (nicht in dieser Reihenfolge) 1,
8, 10, 13, 19 und 35 und bilden eine Reihe stabiler Verbindungen E 2 B, D 2 B, B 2 , F 2 B 3 , FC 3 , C 2 ,
DC, EC and E 2 (A ist so reaktionsträge, dass es keine Verbindungen eingeht).
Benutzen Sie das Periodensystem, um die Elemente und Verbindungen zu identifizieren, und
geben Sie die beteiligten Bindungstypen bei Raumtemperatur und Normaldruck an. Wenn die
Verbindung aus Molekülen besteht, geben Sie zusätzlich die Art der Kräfte an, die zwischen den
Molekülen in der flüssigen/festen Phase wirken. (Mögliche Antworten wären z.B. ”Kristall mit
Ionenbindung” oder ”kovalent gebundene Moleküle, die über van-der-Waals Kräfte miteinander
wechselwirken.”) Wie wechselwirken die Atome A in der kondensierten Phase miteinander.
3 Innere Energie einer Flüssigkeit (8 Punkte)
In der Vorlesung wurde die Paarverteilungsfunktion g(r) diskutiert. Nimm hier an, dass g(r) =
g(r).
a) Welche der in der Vorlesung diskutierten Symmetrieeigenschaften impliziert diese Vereinfachung?
b) Wenn die Flüssigkeit aus Atomen oder sphärischen Molekülen wie CCl 4 besteht, wird das
Wechselwirkungspotential zwischen zwei solchen Teilchen u(r) die selbe Symmetrie aufweisen.
Was ist ein Beispiel für ein solches Potential.
c) Bevor wir die innere Energie einer solchen Flüssigkeit berechnen, schauen wir uns den
einfacheren Fall des idealen Gases an. Wie ist dieses Gas in der Thermodynamik definiert?
Wechselwirken die Teilchen des idealen Gases miteinander? Wie lautet die innere Energie E =
E kin + E pot des idealen Gases und die lauten die zwei Terme?
d) Nun sollen Sie die innere Energie einer Flüssigkeit mit Wechselwirkungspotential u(r)
berechnen. Zu welchem der zwei Summanden in E trägt die Wechselwirkungsenergie zwischen
Teilchen bei? Drücken Sie E = E kin + E pot in Abhängigkeit von g(r), u(r) und der Temperatur
T aus. Hinweis: Sie brauchen g(r) und u(r) nicht durch spezifische Funktionen zu ersetzen,
insbesondere nicht durch diejenige, die Sie in b) vorgeschlagen haben.
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