9. Übungsblatt - Universität Würzburg
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Universität Würzburg LS Experimentelle Physik 4 R. Claessen, M. Scholz 17.12.2013 Übungen zur Vorlesung Kondensierte Materie 1 Wintersemester 2013/14 Blatt 9 (Besprechung am 8./9. Januar) 1.) Einstein-‐de Haas-‐Effekt (2 Punkte) Der Stern-‐Gerlach-‐Versuch zeigt, dass das Elektron ein magnetisches Moment besitzt, welches sich in einem äußeren Magnetfeld in nur zwei möglichen Orientierungen ausrichten kann. Dass das magnetisches Moment tatsächlich mit einem Drehimpuls (=Spin) verknüpft ist, wurde durch einen Versuch von Einstein und de Haas im Jahre 1915 erstmals vorgeführt. Erläutern Sie dieses Experiment und stellen Sie dar, wie damit das sogenannte gyromagnetische Verhältnis des Elektrons (Was ist das?) ge-messen werden kann. Neben den üblichen Quellen empfehlen wir Ihnen die Lektüre der ersten Seiten der Veröffentlichung von J.Q. Steward aus der damaligen Zeit (zum Download im Übungsblatt-‐ Verzeichnis). 2.) Spin ½-‐Teilchen (4 Punkte) Für die Komponenten des Spinoperators S ! , S ! und S ! wird die Gültigkeit derselben algebraischen Relationen gefordert wie für die Komponenten des Bahndrehim-pulsoperators L. Während Letztere im Zustandsraum der Ortswellenfunktionen wir-ken, wirken Erstere (im Falle eines Teilchens mit Spin ½) im abstrakten zweidimensi-onalen Zustandsraum der möglichen Spinzustände. Dieser kann als Vektorraum über dem Körper der komplexen Zahlen aufgefasst werden. Die Spinoperatoren haben da-rin die Gestalt von 2x2 Matrizen, die Basiszustände sind von der Form χ ! und χ ! . Dabei sind χ ± die Eigenzustände zu S ! mit den Eigenwerten ± ħ 2. Der Spinopera-tor hat die Darstellung S = S ! , S ! , S ! = ħ ! σ ! , σ ! , σ ! , wobei die Komponenten die drei sogenannten Pauli-‐Matrizen bezeichnen, welche im Zustandsraum der möglichen Spinzustände als σ ! = 0 1 1 0 , σ y = 0 −i i 0 und σ z = 1 0 0 −1 1/3
- Seite 2 und 3: geschrieben werden. a) Lösen Si
<strong>Universität</strong> <strong>Würzburg</strong> <br />
LS Experimentelle Physik 4 <br />
R. Claessen, M. Scholz <br />
17.12.2013 <br />
Übungen zur Vorlesung Kondensierte Materie 1 <br />
Wintersemester 2013/14 <br />
Blatt 9 <br />
(Besprechung am 8./<strong>9.</strong> Januar) <br />
1.) Einstein-‐de Haas-‐Effekt (2 Punkte) <br />
Der Stern-‐Gerlach-‐Versuch zeigt, dass das Elektron ein magnetisches Moment besitzt, <br />
welches sich in einem äußeren Magnetfeld in nur zwei möglichen Orientierungen <br />
ausrichten kann. Dass das magnetisches Moment tatsächlich mit einem Drehimpuls <br />
(=Spin) verknüpft ist, wurde durch einen Versuch von Einstein und de Haas im Jahre <br />
1915 erstmals vorgeführt. Erläutern Sie dieses Experiment und stellen Sie dar, wie <br />
damit das sogenannte gyromagnetische Verhältnis des Elektrons (Was ist das?) ge-messen<br />
werden kann. Neben den üblichen Quellen empfehlen wir Ihnen die Lektüre <br />
der ersten Seiten der Veröffentlichung von J.Q. Steward aus der damaligen Zeit (zum <br />
Download im <strong>Übungsblatt</strong>-‐ Verzeichnis).<br />
2.) Spin ½-‐Teilchen (4 Punkte) <br />
Für die Komponenten des Spinoperators S ! , S ! und S ! wird die Gültigkeit derselben <br />
algebraischen Relationen gefordert wie für die Komponenten des Bahndrehim-pulsoperators<br />
L. Während Letztere im Zustandsraum der Ortswellenfunktionen wir-ken,<br />
wirken Erstere (im Falle eines Teilchens mit Spin ½) im abstrakten zweidimensi-onalen<br />
Zustandsraum der möglichen Spinzustände. Dieser kann als Vektorraum über <br />
dem Körper der komplexen Zahlen aufgefasst werden. Die Spinoperatoren haben da-rin<br />
die Gestalt von 2x2 Matrizen, die Basiszustände sind von der Form χ ! und χ ! . <br />
Dabei sind χ ± die Eigenzustände zu S ! mit den Eigenwerten ± ħ 2. Der Spinopera-tor<br />
hat die Darstellung <br />
S = S ! , S ! , S ! = ħ !<br />
σ ! , σ ! , σ ! , <br />
wobei die Komponenten die drei sogenannten Pauli-‐Matrizen bezeichnen, welche im <br />
Zustandsraum der möglichen Spinzustände als <br />
σ ! = 0 1<br />
1 0 , σ y = 0 −i<br />
i 0<br />
und σ z = 1 0<br />
0 −1<br />
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geschrieben werden. <br />
a) Lösen Sie das Eigenwertproblem S ! χ = m ! ħ χ unter Zuhilfenahme der Mat-‐<br />
rixdarstellung. Dabei bezeichnet χ einen beliebigen Spinzustand der Form <br />
χ = αχ ! + βχ ! mit α, β ε C . (2 Punkte) <br />
b) Zeigen Sie, dass mit den in Teilaufgabe a) erhaltenen orthonormierten Eigen-zuständen<br />
gilt S 2 χ ± = ! !<br />
ħ2 χ ± . (1 Punkt) <br />
c) Zeigen Sie die Gültigkeit der folgenden Vertauschungsrelation in der Mat-rixdarstellung:<br />
S ! , S ! = iħS ! . Was gilt für die beiden anderen Kommutator-‐<br />
relationen? (1 Punkt) <br />
3.) Stern-‐Gerlach Filter (4 Punkte) <br />
Betrachten Sie im Folgenden verschiedene Stern-‐Gerlach-‐Apparaturen, wie Sie in den <br />
einzelnen Teilaufgaben dargestellt sind. Diese weisen die beiden folgenden Typen <br />
von hintereinander geschalteten Stern-‐Gerlach-‐Magneten auf (siehe Abbildung). <br />
Typ 1 Typ 2<br />
Aus dem Ofen sollen Alkaliatome im Grundzustand ausgesandt werden. Solche Alka-‐<br />
liatome besitzen ein ungepaartes Hüllenelektron und damit einen Gesamtdrehimpuls <br />
von j = 1/2. <br />
a) In einem Stern-‐Gerlach-‐Magneten entlang der z-‐Achse (SG z) wird der Atom-strahl<br />
in die zwei Drehimpulskomponenten j ! = +1/2 und j ! = −1/2 aufge-spalten,<br />
von denen die eine durch ein Metallblech blockiert wird (Typ 1). Da-nach<br />
wird ein weiterer Stern-‐Gerlach Magnet in z-‐Richtung eingefügt (Typ 2). <br />
Welche Auftrefforte ergeben sich für die Atome auf dem nachfolgenden De-tektionsschirm?<br />
(1 Punkt) <br />
2/3
Ofen<br />
b) Nun wird der zweite Stern-‐Gerlach-‐Magnet gegen einen Magneten in x-‐<br />
Richtung getauscht (Typ 2). Welche Auftrefforte ergebenen sich nun auf dem <br />
Detektionsschirm? (1 Punkt) <br />
Ofen<br />
Z<br />
Typ 1<br />
Z<br />
Typ 1<br />
Z<br />
Typ 2<br />
X<br />
Typ 2<br />
?<br />
?<br />
Schirm Schirm<br />
c) Nun wird ein weiterer Stern-‐Gerlach-‐Magnet erneut in z-‐Richtung eingefügt <br />
(Typ 2). Welche Auftrefforte ergeben sich nun? (2 Punkte) <br />
Ofen<br />
Z<br />
Typ 1<br />
X<br />
Typ 2<br />
?<br />
Z<br />
Typ 2<br />
?<br />
Schirm<br />
Hinweis: Unter http://www.opensourcephysics.org/items/detail.cfm?ID=7011 kön-‐<br />
nen Sie sich ein Java-‐Applet herunterladen und Ihre Vermutungen <br />
tell“ überprüfen. <br />
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