Blatt 11

Übung zur Vorlesung “Mathematische Rechenmethoden 1”
WS 13/14 Übung 11
Ausgabe: 14.01.2014 Besprechung: Mi, 22.01. / Fr, 24.01. / Mo, 27.01.2014
Aufgabe 48 (4 Punkte)
Betrachtet wird der hier abgebildete Gleichstromkreis, der sich mit den Kirchhoffschen Regeln über
folgende Matrix beschreiben lässt:
⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1 −1 −1 I 1 0
⎝R 1 R 2 0 ⎠ ⎝I 2
⎠ = ⎝U⎠
0 R 2 −R 3 I 3 0
Bestimmen Sie die fließenden Ströme. Benutzen Sie dazu den Gauß-Algorithmus und bringen Sie zuerst
das System auf Dreiecksform.
Aufgabe 49 (4 Punkte)
In der orthonormalen Basis
⎧ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎫
⎨ 1 0 0 ⎬
ˆB = = ⎝0⎠ , ê 2 = ⎝1⎠ , ê 3 = ⎝0⎠
⎩ê1 ⎭
0 0 1
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
seien die Vektoren ⃗a = √ 3
2 ⎝−1⎠ und ⃗ 1
b = ⎝−1⎠ gegeben. Betrachten Sie nun die Basis
1
1
⎧ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎫
⎨ 1 √
ˆB ′ = 1 = ⎝0⎠ ,
⎩ˆb ˆb
0 √
2
2 = ⎝ 1 ⎠ ,
2
ˆb
0 2
⎬
3 = ⎝1⎠
2 ⎭ .
0
−1
1
Es handelt sich ebenfalls um eine Orthonormalbasis. Wie sehen die beiden Vektoren, ausgedrückt
durch die Basis ˆB ′ aus?

Aufgabe 50 (5 Punkte)
Gegeben sei die Matrix
⎛
1 −2
⎞
4
A = ⎝2 3 4⎠
1 2 1
a) Berechnen Sie die charakteristische Gleichung des Eigenwertproblems und daraus die Eigenwerte
sowie die Eigenvektoren von A.
(3 Punkte)
b) Bestimmen Sie Spur und Determinante der Matrix A. Verifizieren Sie an diesem Beispiel, dass die
Spur und die Determinante auch mit folgenden Relationen berechnet werden können
Spur(A) = ∑ i
λ i , det(A) = ∏ i
λ i
(2 Punkte)