Diplomarbeit - Staatliche Studienakademie Glauchau

Diplomarbeit
Tragverhalten von Bögen und Gewölben aus Mauerwerk auf
Grundlage der Plastizitätstheorie
Vorgelegt am: 30.08.2013
Von:
Jenny Herrmann
Am Rosenkranz 49
09306 Rochlitz OT Zaßnitz
Studiengang:
Studienrichtung:
Bauingenieurwesen
Hochbau
Seminargruppe: BI 10-01
Matrikelnummer: 4100353
Praxispartner:
Erfurth+Mathes
Beratende Ingenieure GmbH
Emil-Rosenow-Str. 3
09112 Chemnitz
Gutachter:
Dipl.-Ing. (FH) Daniel Brumme M. Sc.
(Erfurth+Mathes)
Dipl.-Ing. Christian Mey
(Staatliche Studienakademie Glauchau)

Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis.................................................................................................... III
Abbildungsverzeichnis ............................................................................................ V
Tabellenverzeichnis................................................................................................. VI
Formelverzeichnis .................................................................................................. VII
Abkürzungsverzeichnis ........................................................................................ VIII
1 Einleitung ................................................................................................. 1
2 Plastizitätstheoretische Ansätze für den Nachweis gewölbter
Konstruktionen ........................................................................................ 4
3 Nachweis der Tragfähigkeit gewölbter Konstruktionen und ihrer
Widerlager nach Eurocode 6 ................................................................ 10
3.1 Teilsicherheitskonzept ............................................................................. 10
3.1.1 Bemessungswert des Bauteilwiderstandes.............................................. 10
3.1.2 Bemessungswert der Einwirkungen ......................................................... 11
3.2 Mechanische Eigenschaften des Mauerwerks ......................................... 13
3.2.1 Allgemein ................................................................................................. 13
3.2.2 Druckfestigkeit von Mauerwerk ................................................................ 14
3.2.3 Schubfestigkeit von Mauerwerk ............................................................... 17
3.3 Nachweise im Grenzzustand der Tragfähigkeit ....................................... 19
3.3.1 Nachweis für vertikale Tragfähigkeit bei zentrischer und exzentrischer
Normalkraft .............................................................................................. 19
3.3.2 Nachweis der Querkrafttragfähigkeit ........................................................ 21
3.4 Nachweis im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit ........................... 22
4 Nachweisführung nach Eurocode 6 in Anlehnung an ein
Literaturbeispiel ..................................................................................... 24
4.1 Aufgabenstellung ..................................................................................... 24
4.2 Statisches System ................................................................................... 24
4.3 Baustoffe.................................................................................................. 24
4.3.1 Gewölbebogen, Widerlager und Fundamente ......................................... 24
4.3.2 Gewölbeüberbau und Schüttung ............................................................. 25
4.4 Lastannahmen ......................................................................................... 25
4.4.1 ständige Lasten ....................................................................................... 25
4.4.2 veränderliche Lasten ............................................................................... 28
4.5 Nachweis des gemauerten Gewölbebogens............................................ 29
4.5.1 Druckfestigkeitsnachweis (GZT) .............................................................. 29
4.5.2 Querkraftnachweis (GZT) ........................................................................ 31
4.5.3 Nachweis der zulässigen Ausmitte (GZG) ............................................... 33
4.6 Nachweis der Endwiderlager ................................................................... 34
Seite III

Inhaltsverzeichnis
4.6.1 Nachweis des Fugenbereiches 1-1 .......................................................... 34
4.6.1.1 Druckfestigkeitsnachweis (GZT) .............................................................. 34
4.6.1.2 Querkraftnachweis (GZT) ........................................................................ 36
4.6.1.3 Nachweis der zulässigen Ausmitte (GZG) ............................................... 39
4.6.2 Nachweis der Fundamentsohle ............................................................... 40
4.6.2.1 Allgemeines ............................................................................................. 40
4.6.2.2 Nachweis des Sohldruckes (GEO-2) ....................................................... 41
4.6.2.3 Nachweis der Gleitsicherheit (GEO-2)..................................................... 43
4.6.2.4 Nachweis der zulässigen Ausmitte (SLS) ................................................ 44
4.7 Nachweis des Mittelpfeilers ..................................................................... 46
4.7.1 Nachweis des Fugenbereiches 1-1 .......................................................... 46
4.7.1.1 Druckfestigkeitsnachweis (GZT) .............................................................. 46
4.7.1.2 Querkraftnachweis (GZT) ........................................................................ 48
4.7.1.3 Nachweis der zulässigen Ausmitte (GZG) ............................................... 50
4.7.2 Nachweis der Fundamentsohle ............................................................... 51
4.7.2.1 Allgemeines ............................................................................................. 51
4.7.2.2 Nachweis des Sohldruckes (GEO-2) ....................................................... 51
4.7.2.3 Nachweis der Gleitsicherheit (GEO-2)..................................................... 52
4.7.2.4 Nachweis der zulässigen Ausmitte (SLS) ................................................ 53
5 Auswertung ............................................................................................ 55
Quellenverzeichnis ................................................................................................. 57
Anhangverzeichnis ................................................................................................. 60
Seite IV

Abbildungsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis
Abbildung 1 Baumaterialien für Eisenbahnneubaubrücken (ohne Holzbrücken) ... 1
Abbildung 2 eingespannter Bogen mit starrem Widerlager ................................... 5
Abbildung 3 eingespannter Bogen nach Senkung des rechten Auflagers
um 1,0 cm.......................................................................................... 5
Abbildung 4 Spannungs-Dehnungs-Beziehung weniger duktiles Material ............ 6
Abbildung 5 Last-Verformungs-Beziehung sprödes Material ................................ 7
Abbildung 6 minimale und maximale Stützlinie ..................................................... 8
Abbildung 7 Mauerwerk unter Druckbeanspruchung (Spannungszustand in
vereinfachter Darstellung) ............................................................... 14
Abbildung 8 Scheiben- und Plattenschub............................................................ 18
Abbildung 9 Berücksichtigung der Lastausmitte auf Grundlage des
Spannungsblocks zur Bestimmung der Größe des
Abminderungsfaktors Φi .................................................................. 20
Abbildung 10 Tiefe tc,lin des überdrückten Querschnittes .................................... 22
Abbildung 11 Geometrie des Bestandsgewölbes .................................................. 24
Abbildung 12 Konstruktion der Stützlinie des Berechnungsbeispiels für das
Endauflager ..................................................................................... 26
Abbildung 13 Konstruktion der Stützlinie des Berechnungsbeispiels für den
Mittelpfeiler ...................................................................................... 27
Abbildung 14 rechnerische Ersatzbreite des Fundamentes bei gleichmäßiger
Spannungsverteilung ....................................................................... 41
Seite V

Tabellenverzeichnis
Tabellenverzeichnis
Tabelle 1 Teilsicherheitsbeiwerte für das Material im Grenzzustand der
Tragfähigkeit.................................................................................... 10
Tabelle 2 Teilsicherheitsbeiwerte für die Einwirkungen im Grenzzustand
der Tragfähigkeit ............................................................................. 12
Tabelle 3 Zahlenbeiwerte für Kombinationsbeiwerte im Hochbau .................. 13
Tabelle 4 Rechenwerte fm die Druckfestigkeit von Mauermörtel .................... 15
Tabelle 5 Rechenwerte für fst in Abhängigkeit von der
Druckfestigkeitsklasse ..................................................................... 16
Tabelle 6 Paramater zur Ermittlung der Druckfestigkeit von
Einsteinmauerwerk aus Vollziegeln sowie Kalksand-Vollsteinen
und Kalksand-Blocksteinen mit Normalmauermörtel ....................... 16
Tabelle 7 Charakteristische Druckfestigkeit von Einsteinmauerwerk aus
Vollziegeln sowie Kalksand-Vollsteinen und Kalksand-Blocksteinen
mit Normalmauermörtel ...................................................... 17
Tabelle 8 Haftscherfestigkeit f vk0 von Mauerwerk ohne Auflast ....................... 19
Tabelle 9 Lotrechte Nutzlasten für Decken (Auszug)...................................... 28
Seite VI

Formelverzeichnis
Formelverzeichnis
Formel 1 Bemessungswert des Bauteilwiderstandes ..................................... 10
Formel 2 Bemessungswert der auf ein Bauteil einwirkenden Last ................. 11
Formel 3 Vereinfachter Bemessungswert der auf ein Bauteil einwirkenden
Last ................................................................................................. 11
Formel 4 Charakteristische Druckfestigkeit von Mauerwerk mit NM .............. 15
Formel 5 Charakteristische Druckfestigkeit von Mauerwerk mit
LM oder DM..................................................................................... 15
Formel 6 Grenzwert charakteristischer Schubfestigkeit.................................. 18
Formel 7 Grenzwert charakteristischer Schubfestigkeit mit
Berücksichtigung Haftscherfestigkeit (vermörtelte Stoßfugen) ........ 19
Formel 8 Grenzwert charakteristischer Schubfestigkeit mit
Berücksichtigung Haftscherfestigkeit (unvermörtelte Stoßfugen) .... 19
Formel 9 Nachweis Druckfestigkeit im GZT ................................................... 20
Formel 10 Bemessungswert des Tragwiderstandes ......................................... 20
Formel 11 Abminderungsfaktor zur Berücksichtigung der Lastausmitte ........... 21
Formel 12 Nachweis Querkrafttragfähigkeit im GZT ........................................ 21
Formel 13 Querkrafttragfähigkeit senkrecht zur Wandebene ........................... 22
Formel 14 Nachweis der Ausmitte im GZG ...................................................... 23
Formel 15 Lastausmitte .................................................................................... 23
Formel 16 Nachweis Sohldruck im GEO-2 ....................................................... 41
Formel 17 Bemessungswert des Sohldruckes ................................................. 41
Formel 18 Nachweis Gleitsicherheit im GEO-2 ................................................ 43
Formel 19 Nachweis Ausmitte im SLS für ständige Einwirkungen ................... 44
Formel 20 Nachweis Ausmitte im SLS für ständige und veränderliche
Einwirkungen ................................................................................... 45
Seite VII

Abkürzungsverzeichnis
Abkürzungsverzeichnis
DIN
DM
EN
GEO-2
GZT
GZG
LM
NM
SLS
Deutsches Institut für Normung
Dünnbettmörtel
Europäische Norm
Grenzzustand des Versagens von Bauwerken, Bauteilen, Baugrund
(Geotechnik)
Grenzzustand der Tragfähigkeit
Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit
Leichtmauermörtel
Normalmauermörtel
Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit (Geotechnik)
Seite VIII

Einleitung
1 Einleitung
Der Verbundbaustoff Mauerwerk besitzt aufgrund seiner hohen Druckfestigkeit einen
entscheidenden Vorteil in seiner Anwendung für Gewölbe- und Bogentragwerke im
Hoch- und Brückenbau. Dies liegt darin begründet, dass das Tragvermögen von Gewölben
hauptsächlich auf der Lastabtragung in Form von Druckkräften basiert.
Neben den Eigenschaften im Tragverhalten finden sich weitere Vorteile in der Ästhetik
und Bauphysik. So bewirkt die feingliedrige Struktur eines Sichtmauerwerkes
selbst bei großen Bogenspannweiten eine optische Ästhetik für das menschliche Auge.
Bauphysikalisch ist ergänzend anzumerken, dass aufgrund der Beschaffenheit
der Substanz von Mauersteinen Feuchtigkeit im Raum aufgenommen, gespeichert
und gegebenenfalls langsam wieder abgegeben werden kann. Dies fördert das Vorhandensein
eines angenehmen Raumklimas und damit das Wohlbefinden innerhalb
gemauerter Räumlichkeiten.
Dennoch findet Mauerwerk für Bögen und Gewölbe heute im Vergleich zur Historie
nahezu keine Anwendung mehr, was vor allem auch in dem hohen Herstellungsauf-
Gw
St
WiB
Stb
Spb
Gewölbebrücken aus Mauerwerk und unbewehrtem Beton
Eisen- bzw. Stahlüberbauten
Walzträger-in-Beton-Überbauten
Stahlbetonüberbauten
Spannbetonüberbauten
Abbildung 1
Baumaterialien für Eisenbahnneubaubrücken (ohne Holzbrücken)
(WEBER, 1999, S. 14)
Seite 1

Einleitung
wand 1 und den damit verbundenen Kosten zu begründen ist. Vielmehr kommen Baustoffe
wie Stahl- und Spannbeton zum Einsatz. Zur Verdeutlichung dieses Zusammenhangs
spiegelt die Abbildung von Wilmar Karlemann WEBER die prozentuale
Nutzung der jeweiligen Baustoffe am Beispiel von Eisenbahnbrücken bis 1975 wieder.
Dabei ist ein starker Rückgang beziehungsweise mehr noch die Abschaffung der
Gewölbebrückenbauweise aus Mauerwerk und unbewehrtem Beton (Abbildung 1)
ersichtlich.
Es gibt allerdings auch heute noch eine Vielzahl von Gewölbedecken und Brücken,
die in ihrer vollen Funktionsfähigkeit genutzt werden. Daher ergeben sich das Interesse
und die Notwendigkeit, deren Bestehen zu sichern und das architektonische
Erbe dieser Tragwerksformen zu wahren. Um die vorhandene Tragfähigkeit in ihrer
Größe zu charakterisieren, ist es notwendig, sich sowohl auf die Erkenntnisse der
Vergangenheit als auch auf neuere Forschungsergebnisse zu stützen und diese in
Verbindung mit geltenden Normen zu bringen, was als Kern dieser Diplomarbeit behandelt
werden soll.
Im Gegensatz zur Zeit der Römer, in der hauptsächlich auf Grundlage geometrischer
Erfahrungswerte gebaut wurde, stellt die Renaissance den Beginn der Entwicklung
der Gewölbetheorien dar. Erstmals wurden Versuche unternommen, wissenschaftlich
fundierte Erkenntnisse über das Tragverhalten von Bogentragwerken zu gewinnen.
Neben Kreis- und Kreissegmentbögen wurden auch Korbbögen, Ellipsen und Kettenlinien
zur Formfindung genutzt. Leonardo DA VINCI war im Jahre 1495 der Erste, der
die Absicht hatte, den entstehenden Gewölbeschub in seiner Größe zu quantifizieren.
2 Er definierte Gewölbe durch ein Zusammenwirken von Keilen, Seilen und Rollen
und wurde damit zum Begründer der sogenannten Keiltheorie. Die Erkenntnis
dessen, dass innerhalb des Bauteils eine Druckübertragung stattfindet, die sich in
Form einer Stützlinie ergibt, stellte den Beginn zur Begründung der Stabilität eines
Bogens dar. Die Tragfähigkeit sei gegeben, wenn die Stützlinie im Zustand des Gebrauchs
innerhalb des Gewölbeprofils liegt. Das Hauptaugenmerk lag ab diesem
Zeitpunkt darauf, diese Stützlinie in ihrer Lage und Form zu definieren. 1645 stellte
Robert HOOK einen Vergleich zwischen einem durchhängenden Seil und einem starren
Bogen auf und erschuf im Ergebnis eine simple geometrische Methode zur Formfindung
der Stützlinie. Um die statische Unbestimmtheit des Bogentragwerkes aufzulösen,
kam es aus heutiger Sicht erstmals dazu, dass die Naturphilosophen eine
Rissbildung und damit Gelenkausbildung in Betracht zogen. Es folgten verschiedene
Versagenstheorien, die die statische Betrachtung des Gewölbes in Form eines Drei-
1 Vgl. STRITZKE, 2010, S. 362
2 Vgl. FALTER, KAHLOW, KURRER, 2001, S.889-902
Seite 2

Einleitung
gelenkbogens wissenschaftlich begründeten. In der weiteren Entwicklung und in
Verbindung mit dem Verständnis des Baumaterials als elastisch verformbarer Stoff
wurde die Elastizitätstheorie entwickelt. Es folgte schlussendlich die Erkenntnis der
Beanspruchbarkeit darüber hinaus im plastischen Zustand. Damit wurde auch der
Grundstein der Plastizitätstheorie gelegt.
Auf Basis der zuvor genannten Erkenntnisse und mit den heutigen Sicherheitsanforderungen
für den Bau und die Nutzung von Mauerwerkskonstruktionen, bildet der
Eurocode 6 mit dem Nationalen Anhang Deutschlands den normentechnischen
Rahmen. Er stellt den Nachfolger der Mauerwerksnorm DIN 1053 dar und beinhaltet
die Nachweisführung für die Grenzzustände der Tragfähigkeit und
Gebrauchstauglichkeit. Ein direkter Bezug auf gewölbte Konstruktionen wie
Mauerwerksbögen findet allerdings nicht statt. Daher ist eine Übertragung der
enthaltenen Vorschriften notwendig, um einen geeigneten Berechnungsablauf zu
entwickeln.
Seite 3

Anwendung plastizitätstheoretischer Grundlagen zur Gewölbebemessung
2 Plastizitätstheoretische Ansätze für den Nachweis gewölbter Konstruktionen
Im Sinne Elastizitätstheorie sind Mauerwerksbögen dreifach statisch unbestimmte
Systeme. Um die kraftresultierende Reaktion im Querschnitt bestimmen zu können,
sind idealisierende Festlegungen notwendig, so zum Beispiel starre Auflagerungen.
Der daraus unter gegebener Belastung entwickelte innere Kraftfluss wird als die „aktuelle“
Stützlinie bezeichnet. Jedoch ist es in Wirklichkeit nahezu ausgeschlossen,
dass die Auflager sich nicht bewegen. Schon geringe Änderungen der Randbedingungen,
sei es durch Setzungen der Widerlager oder Temperaturänderungen, führen
zu inneren Zwangskräften und infolgedessen zu einer Änderung des statischen Systems
und damit der gefundenen Stützlinie. 1
Jaques HEYMAN erläuterte diese Charakteristik statisch unbestimmter Systeme anhand
eines Tisches. So ist es unter Aufstellung von drei Gleichgewichtsbedingungen
problemlos möglich, die Stützkräfte eines dreibeinigen Tisches zu berechnen. Ergänzt
man jedoch ein viertes Bein, wandelt sich die statische Bestimmtheit des Tisches
in eine statische Unbestimmtheit. Unter der Annahme, dass der Tisch auf Beinen
gleicher Länge und auf einem ebenen starren Untergrund steht, lassen sich alle
gesuchten Auflager- und Schnittkräfte beispielsweise anhand des Kraftgrößenverfahrens
berechnen. Die vorausgesetzten Annahmen sind allerdings nicht wirklichkeitsgetreu.
So befindet sich ein realer Tisch nie auf einem vollständig ebenen Untergrund.
Schon ein Millimeter Abstand eines Tischbeines führt dazu, dass die Stützkraft
in diesem Bein verschwindet und die abzutragende Last auf die übrigen Tischbeine
übertragen wird. Es stellt sich ein neues, anderes statisches System ein und
es findet eine vollständige Umlagerung der Schnittkräfte statt. 2
Während in Abbildung 2 der Momentenverlauf eines symmetrischer Bogens mit einer
Spannweite von 5,20 m und einer Stichhöhe von 1,50 m unter Volllast dargestellt ist,
dessen Widerlager als starr zu betrachten sind, zeigt die Abbildung 3 denselben Bogen
mit der Setzung des rechten Widerlagers um 1,0 cm. Aus diesem Zwang heraus
erfährt der Schnittkraftverlauf eine signifikante Umlagerung, wie beispielhaft die Biegemomente
zeigen. Auch ist zu erkennen, dass sich die maximalen Biegemomente
nahezu um das 10-fache vergrößern. So stellen die berechneten Ergebnisse nur eine
Lösung neben einer Vielzahl von Weiteren dar und repräsentieren nicht zwingend
den „aktuellen“ Zustand. Daher ist die elastizitätstheoretische Berechnung in diesem
Zusammenhang als fragwürdig zu betrachten.
1 Vgl. HEYMAN, 1995, S. 8/9
2 Vgl. HEYMAN, 1995, S. 9
Seite 4

Anwendung plastizitätstheoretischer Grundlagen zur Gewölbebemessung
Abbildung 2
eingespannter Bogen mit starrem Widerlager
Abbildung 3
eingespannter Bogen nach Senkung des rechten Auflagers um
1,0 cm
In der Plastizitätstheorie wird nicht nach dem wahren Zustand der Stützlinie eines
gemauerten Bogens gesucht, da jeder Zustand veränderlich ist. Es wird davon ausgegangen,
dass es unendlich viele mögliche Stützlinienverläufe gibt, wozu auch das
Ergebnis der Elastizitätstheorie zu zählen ist. So stellt sich in der Plastizitätstheorie
viel mehr die Aufgabe, den Weg zu untersuchen, wie das Tragwerk versagen könnte.
1
Um einen statisch unbestimmten Mauerwerksbogen plastizitätstheoretisch in seiner
Tragfähigkeit zu bewerten, sind drei strukturelle Voraussetzungen erforderlich. So
besteht die Erfordernis eines statischen Gleichgewichtes, wobei sich die inneren und
äußeren Lasten in einem ausgleichenden Zustand befinden müssen (∑ M = 0 ; ∑ N =
0;V=0).
1 Vgl. HEYMAN, 1995, S. 9-11
Seite 5

Anwendung plastizitätstheoretischer Grundlagen zur Gewölbebemessung
Des Weiteren muss das Material Mauerwerk auf verschiedene Bedingungen idealisiert
werden. So bestehen laut HEYMANN drei grundlegende Festlegungen. Diese
bezeichnet er als „Prinzipien der Traglastanalyse von Mauerwerkskonstruktionen“. 1
Es wird angenommen, dass zwischen den Gewölbesteinen infolge von Druckspannungen
eine Reibungskraft besteht, die groß genug ist, die Bauteile des Tragwerkes
effektiv ineinander zu verspannen und ein Aneinandervorbeigleiten praktisch auszuschließen.
Daher wird das Auftreten eines Gleitbruchs als ausgeschlossen betrachtet.
Der Eurocode 6 stellt dahingehend die Erfordernis, im Grenzzustand der Tragfähigkeit
einen Schubnachweis zu führen, welcher in Punkt 3.3.2 näher erläutert werden
soll. Des Weiteren besteht die Festlegung, dass das Mauerwerk keine Zugfestigkeit
besitzt. Die Mörtelfugen weisen diesbezüglich zwar eine gewisse
Beanspruchbarkeit infolge von Haftung auf, jedoch stellt das Fehlen der Zugkraftaufnahmefähigkeit
in Verbindung mit der Spannungs-Dehnungs-Beziehung in Abbildung
4 eine sichere Annahme dar. Auch für die Bemessungsaufgabe, anhand des Eurocode
6 zum Mauerwerksbau, kann die Zugfestigkeit in der Mörtelfuge als vernachlässigbar
betrachtet werden. Entstehende Risse, die aufgrund vorhandener Biegemomente
im Gewölbebogen auftreten, sind im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit
in ihrer Größenordnung jedoch zu beschränken (vergleiche Punkt 3.4). Mauerwerk
wird von HEYMAN als unendlich druckfest vorausgesetzt. Es gibt zwar kein
unendlich festes Material (vergleiche Abbildung 4), jedoch wird angenommen, dass
die auftretenden Druckspannungen im Mauerwerk stets so niedrig sind, dass das
Versagen der Baustoffe auf Druck nicht eintritt. Diese unsichere Behauptung gilt es,
auf Grundlage der geltenden Norm, in Form eines Druckfestigkeitsnachweises in
Verbindung mit idealisierten Annahmen beim Erreichen der Druckfestigkeit in der
Spannungs-Dehnungs-Beziehung (siehe Abbildung 4) auf seine Richtigkeit zu überprüfen.
Punkt 3.3.1 nimmt Bezug auf den prinzipiellen Ablauf der Bemessung im
Grenzzustand der Tragfähigkeit.
Abbildung 4
Spannungs-Dehnungs-Beziehung weniger duktiles Material
1 Vgl. HUERTA & KURRER, 2008, S. 404
Seite 6

Anwendung plastizitätstheoretischer Grundlagen zur Gewölbebemessung
Die dritte Annahme bezieht sich auf die Widerlager. Da diese allerdings in ihrer Reaktion
variieren, sind diesbezüglich keine genauen Annahmen möglich. 1 Mit der Fragestellung,
wie sich die Verschiebungen der Widerlager auf das statische System
des Gewölbebogens auswirken, befindet man sich bereits im Kernpunkt der plastizitätstheoretischen
Berechnung von gemauerten Bogenkonstruktionen – dem Bruchzustand.
Kommt es zu Bewegungen im Auflagerbereich und damit zu Verformungen
des statischen Systems, bedeutet es noch nicht zwingend, dass das Gewölbe versagt.
Es entstehen Risse, die auf eine Anpassung an eine vergrößerte oder verkleinerte
Spannweite infolge von Auflagerbewegungen hindeuten. Diese Risse werden,
wie in der Last-Verformungs-Beziehung spröden Materials dargestellt (Abbildung 5),
idealisiert durch Gelenke, die sich im Drehpunkt der Gewölbesteine entweder an der
Ober- oder an der Unterseite des Mauerwerksbogens bilden. Der Unterschied zu
plastischen Gelenken duktiler Materialien, wie zum Beispiel Stahl, besteht darin,
dass es sich um reibungsfreie Gelenke handelt, die zwar Normal- und Querkräfte,
jedoch keine Momente aufnehmen können. 2
Abbildung 5
Last-Verformungs-Beziehung sprödes Material
Doch ist das Material Mauerwerk auch ausreichend tragfähig, um die entstehenden
Spannungen im Gewölbe aufzunehmen und damit die von HEYMAN gestellten Voraussetzungen
zu erfüllen? In den Gelenken kommt es im Kontaktbereich zu einer
linienförmigen Übertragung der Lasten zwischen benachbarten Steinen, weshalb die
Beanspruchungen als unendlich groß zu betrachten sind. Da diese die Festigkeit der
Gewölbesteine überschreiten, reagieren sie in Form von Brechen, Abplatzen und
Spalten. Durch dieses Verhalten der Gewölbesteine vergrößert sich wiederum die
Kontaktfläche und die Druckbeanspruchung pro Fläche nimmt bis zur aufnehmbaren
Spannungsgröße ab. Damit gewinnt HEYMANS theoretische Annahme der unendlichen
Druckfestigkeit stärker an Bedeutung und das Versagen eines Gewölbebogens
liegt nicht in erster Linie im Materialversagen begründet. 3
1 Vgl. HEYMAN, 1995, S. 13/14
2 Vgl. HEYMAN, 1995, S. 15/16
3 Vgl. HEYMAN, 1995, S. 17/18
Seite 7

Anwendung plastizitätstheoretischer Grundlagen zur Gewölbebemessung
Aus jeder Reaktion des Auflagers ergibt sich ein entsprechendes Rissbild und damit
auch der zugehörige Stützlinienverlauf. Ohne genaue Kenntnisse über das Verhalten
der Bogenauflager lässt sich nicht genau sagen, wo es zu einer Gelenkbildung
kommt. Es existieren jedoch zwei Extremverläufe der Stützlinie (Abbildung 6).
statisch bestimmt
kinematisch
Abbildung 6
minimale und maximale Stützlinie
(HEYMAN, 1995, S. 17)
In Abbildung 6 (a) ist die Rissbildung für den Fall dargestellt, dass die Spannweite
des Bogens größer wird. Es entsteht ein Riss im Scheitelbereich und, da es sich um
einen Halbkreisbogen handelt, jeweils ein Riss oberhalb der Kämpfer. Das statische
System ist bestimmt und die im Auflager wirkende Horizontalkraft nimmt ihren minimal
möglichen Wert H min an (Dreigelenkbogen). Im Gegensatz dazu verringert sich
die Spannweite des Bogens in (b). Es entstehen zwei Gelenke im Auflagerbereich
und zwei Gelenke im Schenkelbereich. Die Horizontalkraft nimmt ihren maximal
möglichen Wert H max an. Aufgrund des Erreichens einer Anzahl von vier Gelenken
bildet sich eine kinematische Kette. H min und H max stellen somit die Grenzen für den
Bogenquerschnittsbereich dar, in dem sich alle weiteren möglichen Stützlinien befinden
können, für die das statische Gleichgewicht als erfüllt gilt. 1 Damit gilt die Problematik
des Vorhandenseins eines statischen Gleichgewichtes als in seinen Möglichkeiten
eingegrenzt.
Der Dreigelenkbogen stellt hierbei ein zufriedenstellendes statisches System dar. Er
ist statisch bestimmt und die inneren Kräfte können alleinig auf Grundlage der
Gleichgewichtbedingungen bestimmt werden. Die Vielzahl von verschiedenen Stützlinien
wird somit reduziert auf eine einzige, die auf Grundlage von geringen Bewegungen
im Auflager hervorgerufen wird. Die wirkende Horizontalkraft wird dabei charakterisiert
als minimal möglicher Wert, um ein statisches Gleichgewicht zu wahren. 2
1 Vgl. HEYMAN, 1995, S. 17
2 Vgl. HEYMAN, 1995, S. 16
Seite 8

Anwendung plastizitätstheoretischer Grundlagen zur Gewölbebemessung
Die Gewölbeberechnungen nach der Grundidee der Plastizitätstheorie bauen somit
auf einem angenommenen, eventuell eintretenden Bruchmechanismus auf, der ein
statisch bestimmtes Tragsystem bildet. Ein dreifach statisch unbestimmtes System
wandelt sich zwar erst ab dem Vorhandensein von vier Gelenken in einen kinematischen
Mechanismus, doch bieten die Berechnungen am Dreigelenkbogen ein gewisses
Sicherheitspotential. Es ist noch eine Laststeigerung möglich, bis es zum Versagen
des gesamten Systems kommt und dies ist erst der Fall, wenn die Stützlinie sich
nicht mehr vollständig innerhalb des Mauerwerksbogens befindet. 1
Das bedeutendste historische Sicherheitskonzept für gemauerte Gewölbe lässt sich
zusammenfassend in folgendem Satz wiedergeben: Wenn die Lage einer Stützlinie
gefunden werden kann, die nicht gegen die Fließbedingung (hier: Stützlinie innerhalb
Gewölbe) verstößt, dann ist nachgewiesen, dass es sich um ein stabiles statisches
System handelt und ein Versagen unter dieser gegebenen Belastung nicht auftreten
kann. 2 Damit sind die Parallelen zum statischen Grenzwertsatz des Fließgelenkverfahrens
plastizitätstheoretischer Berechnungen von gemauerten Gewölbebögen gezogen.
Ergänzend zur diesem Sicherheitskonzept sind aktuelle Baubestimmungen
an maximale Materialbeanspruchungen und Risstiefen zu berücksichtigen, die im
folgenden Kapitel in ihrer Theorie näher betrachtet werden sollen.
1 Vgl. HEYMAN, 1995, S. 18/19
2 Vgl. HEYMAN, 1995, S. 22
Seite 9

Nachweis gewölbter Konstruktionen und ihrer Widerlager nach EC6
3 Nachweis der Tragfähigkeit gewölbter Konstruktionen und ihrer Widerlager
nach Eurocode 6
3.1 Teilsicherheitskonzept
3.1.1 Bemessungswert des Bauteilwiderstandes
Der Bemessungswert des Bauteilwiderstandes ergibt sich aus der charakteristischen
Größe des Bauteilwiderstandes unter Abminderung mit einem Material-
Teilsicherheitsbeiwert.
f = f
γ
Formel 1 Bemessungswert des Bauteilwiderstandes
f
= charakteristischer Wert des Bauteilwiderstandes [N/mm²]
γ = maßgebender Teilsicherheitsbeiwert für das Material [-]
Der Teilsicherheitsbeiwert für das Material lässt sich je nach Bemessungssituation im
Grenzzustand der Tragfähigkeit der Tabelle 1 entnehmen. Im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit
ist der Teilsicherheitsbeiwert γ = 1,0 zu verwenden.
Tabelle 1
Teilsicherheitsbeiwerte für das Material im Grenzzustand der Tragfähigkeit
(S. Norm DIN EN 1996-1-1:2010-12 einschließlich Nationaler Anhang)
Seite 10

Nachweis gewölbter Konstruktionen und ihrer Widerlager nach EC6
3.1.2 Bemessungswert der Einwirkungen
Der Bemessungswert der Einwirkungen ergibt sich aus der Kombination der charakteristischen
Größen der Einwirkungen unter Erhöhung mit einem Teilsicherheitsbeiwert.
Bei der dazu in Formel 2 gegebenen Gleichung wurde in Bezug auf das Thema
der gemauerten Gewölbe auf den Ansatz einer Vorspannung verzichtet. Zu Unterscheiden
bleiben die ständige, vorübergehende und die außergewöhnliche Bemessungssituation
infolge Erdbeben, Brand oder Anprall, wobei diese für die nachfolgenden
Berechnungen vernachlässigt werden.
Bestimmung der Bemessungswerte in der ständigen und vorübergehenden Bemessungssituation:
E = E γ , G , ⊕ γ , Q , ⊕ γ , ψ , Q ,
Formel 2 Bemessungswert
der auf ein Bauteil einwirkenden
Last
γ , = Teilsicherheitsbeiwert der ständigen Einwirkungen G [-]
γ , = Teilsicherheitsbeiwert für eine veränderliche Einwirkung Q [-]
G ,
Q ,
= Charakteristischer Wert einer ständigen Einwirkung
= Charakteristischer Wert einer veränderlichen Einwirkung
ψ , = Kombinationswert einer veränderlichen Einwirkung [-]
Die vereinfachte Form der Formel 2 unter der Maßgabe, dass der Kombinationsbeiwert
ψ , dem Wert 1,0 gleichgesetzt wird, lautet nach Eurocode 6:
E = E γ , G , ⊕ γ , Q ,
Formel 3 Vereinfachter Bemessungswert
der auf ein Bauteil einwirkenden Last
γ , = Teilsicherheitsbeiwert der ständigen Einwirkungen G [-]
γ , = Teilsicherheitsbeiwert für eine veränderliche Einwirkung Q [-]
G ,
Q ,
= Charakteristischer Wert einer ständigen Einwirkung
= Charakteristischer Wert einer veränderlichen Einwirkung
Auf weitere Vereinfachungen des Eurocodes 6 soll an dieser Stelle verwiesen werden,
jedoch wird auf eine nähere Darstellung verzichtet, da das Hauptaugenmerk auf
gemauerte Gewölbebögen belassen wird.
Seite 11

Nachweis gewölbter Konstruktionen und ihrer Widerlager nach EC6
In Abhängigkeit davon, ob sich die Einwirkung günstig oder ungünstig auswirkt, sind
in Tabelle 2 die entsprechenden Teilsicherheitsbeiwerte gegeben.
Tabelle 2
Teilsicherheitsbeiwerte für die Einwirkungen im Grenzzustand der Tragfähigkeit
(S. Norm DIN EN 1990-1-1:2010-12 einschließlich Nationaler Anhang)
Für den Fall des Auftretens mehrerer voneinander unabhängiger Einwirkungen wird
in Formel 2 der Kombinationswert ψ , eingeführt, der der Tabelle 3 zu entnehmen
ist.
Seite 12

Nachweis gewölbter Konstruktionen und ihrer Widerlager nach EC6
Tabelle 3
Zahlenbeiwerte für Kombinationsbeiwerte im Hochbau
(S. Norm DIN EN 1990-1-1:2010-12 einschließlich Nationaler Anhang)
Im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit sind im Gegensatz zum Grenzzustand
der Tragfähigkeit alle Einwirkung in ihrer charakteristischen Form zu verwenden.
3.2 Mechanische Eigenschaften des Mauerwerks
3.2.1 Allgemein
Die Eigenschaften eines Bogenmauerwerkes werden bestimmt durch die Bogengeometrie,
das Materialverhalten des Mauerwerkes und dahingehend die Stoffeigenschaften
der Verbundbestandteile Mörtel und Mauerstein. So ist es notwendig, den
Mörtel auf seine Druckfestigkeit, die Mauersteine auf ihre Zug- und Druckfestigkeit
und das Mauerwerk als Gesamtes in seiner Druck-, Haftscher- und Zugfestigkeit sowie
bezüglich seines Verformungsverhaltens zu definieren, um einen gemauerten
Bogen in seiner Tragfähigkeit analysieren zu können. Während auch eine geringe
Zugfestigkeit senkrecht zur Lagerfuge im Mauerwerk vorhanden ist, bleibt diese jedoch
für die Nachweise des Tragsystems unberücksichtigt.
Seite 13

Nachweis gewölbter Konstruktionen und ihrer Widerlager nach EC6
3.2.2 Druckfestigkeit von Mauerwerk
Wird Mauerwerk senkrecht zur Lagerfuge beansprucht, entstehen im Stein Querzugspannungen.
Diese führen beim Überschreiten der Grenzzugfestigkeit zum Versagen
des Verbundbaustoffs Mauerwerk. Begründet liegt dies darin, dass Mauerwerkssteine
und Mörtel sich in ihrem Verformungsverhalten unterscheiden. Der Mörtel neigt
unter Druckbeanspruchung aufgrund seiner vergleichsweise höheren Querdehnzahl
und seines niedrigeren E-Moduls dazu, sich stärker quer zu verformen als der Mauerstein.
Dadurch wird der Mörtel behindert und durch Druckkräfte beansprucht, während
der Stein Querzugkräfte erhält, welche, zuerst die Zugfestigkeit erreichend, zu
Steinrissen in Richtung der Druckbeanspruchung führen (vergleiche Abbildung 7).
Dies gilt hauptsächlich bei mittiger Belastung und Druckbeanspruchung mit geringer
Exzentrizität. Bei größeren Lastexzentrizitäten (e > 1/6h) kommt ein Klaffen beziehungsweise
Reißen der Fuge zwischen Stein und Mörtel senkrecht zur Druckbeanspruchung
dazu. Dadurch verringert sich die Druckkraft übertragende Fläche und
führt infolgedessen zu geringeren lokalen Beanspruchbarkeiten des Mauerwerkes,
was beispielsweise im Eurocode 6 mit dem Faktor Φ widergegeben wird (siehe
Formel 11).
Abbildung 7
Mauerwerk unter Druckbeanspruchung (Spannungszustand in
vereinfachter Darstellung)
(RIECHERS, 2005, S. 170)
Die charakteristische Druckfestigkeit von Mauerwerk mit Normalmörtel lässt sich im
genauen Berechnungsverfahren unter Anwendung des Eurocode 6 anhand folgender
Formel ermitteln. Lagerfugen ohne Randstreifenvermörtelung sind in Deutschland
Seite 14

Nachweis gewölbter Konstruktionen und ihrer Widerlager nach EC6
unzulässig und finden daher in den folgenden Ausführungen keine Berücksichtigung.
14
f = Κ f
f
Formel 4 Charakteristische Druckfestigkeit
von Mauerwerk mit NM
Κ = Konstante, die - sofern notwendig – zu modifizieren ist [-]
α, β = Konstanten [-]
f
f
= mittlere Steindruckfestigkeit einschließlich Formfaktor in Lastrichtung [N/mm²]
= Druckfestigkeit des Mauermörtels [N/mm²]
Für Leichtmauermörtel beziehungsweise Dünnbettmörtel wird der Einfluss der Mörtelfestigkeit
vernachlässigt, wodurch folgende Formel zur genauen Berechnung der
Mauerwerksdruckfestigkeit zu verwenden ist:
f = Κ f
Formel 5 Charakteristische Druckfestigkeit
von Mauerwerk mit LM oder DM
Κ = Konstante, die - sofern notwendig – zu modifizieren ist [-]
α = Konstanten [-]
f
= mittlere Steindruckfestigkeit einschließlich Formfaktor in Lastrichtung [N/mm²]
Die Druckfestigkeit des Mauermörtels f ist der Tabelle 4 und die umgerechnete
mittlere Steinfestigkeit f ist der Tabelle 5 zu entnehmen.
Tabelle 4
Rechenwerte fm die Druckfestigkeit von Mauermörtel
(S. Norm DIN EN 1996-1-1:2010-12 einschließlich Nationaler Anhang)
14 Vgl. Norm DIN EN 1996-1-1:2010-12 einschließlich Nationaler Anhang
Seite 15

Nachweis gewölbter Konstruktionen und ihrer Widerlager nach EC6
Tabelle 5
Rechenwerte für fst in Abhängigkeit von der Druckfestigkeitsklasse
(S. Norm DIN EN 1996-1-1:2010-12 einschließlich Nationaler Anhang)
Die Konstanten α, β und Κ sind in Abhängigkeit von der mittleren Druckfestigkeit verschiedener
Stein- und Mörtelarten exemplarisch in der Tabelle 6 dargestellt. Weitere
Werte sind den Tabellen NA.4 bis NA.10 des Nationalen Anhangs der DIN EN 1996-
1-1 zu entnehmen.
Tabelle 6
Paramater zur Ermittlung der Druckfestigkeit von Einsteinmauerwerk
aus Vollziegeln sowie Kalksand-Vollsteinen und Kalksand-
Blocksteinen mit Normalmauermörtel
(S. Norm DIN EN 1996-1-1:2010-12 einschließlich Nationaler Anhang)
Eine Abminderung des tabellarischen Wertes für Κ erfolgt um…
… 50%, wenn die Einwirkungsrichtung der Lagerfugenrichtung entspricht.
… 20% bei Mauerwerk mit Mörtelfugen aus Normalmörtel, die in Wandebene
über die gesamte Länge der Wand oder Teilen davon verlaufen.
Der in dieser Arbeit behandelte gemauerte Gewölbebogen wird in seiner Druckfestigkeit
vorwiegend durch vertikale Lasten beansprucht. Damit entspricht die Wirkrichtung
der Belastung nicht der Richtung der Lagerfugen und die erstgenannte Abminderung
bleibt unberücksichtigt.
Eine Vereinfachung für die Ermittlung der charakteristischen Druckfestigkeit des
Mauerwerks wird im Nationalen Anhang des Eurocode 6 getroffen. In Tabelle 7 sind
Seite 16

Nachweis gewölbter Konstruktionen und ihrer Widerlager nach EC6
dazu exemplarisch die entsprechenden Werte für Einsteinmauerwerk aus Vollziegeln,
Kalksand-Vollziegeln und Kalksand-Blocksteinen mit Normalmauermörtel dargestellt.
Weitere Druckfestigkeitswerte sind den Tabellen NA.D.1 bis NA.D.9 des Nationalen
Anhangs der DIN EN 1996-1-3 zu entnehmen.
Tabelle 7
Charakteristische Druckfestigkeit von Einsteinmauerwerk aus Vollziegeln
sowie Kalksand-Vollsteinen und Kalksand-Blocksteinen mit Normalmauermörtel
(S. Norm DIN EN 1996-1-1:2010-12 einschließlich Nationaler Anhang)
Die charakteristischen Druckfestigkeiten in den vereinfachenden Tabellen entsprechen
denen, die sich aus der genauen Berechnung des Eurocode ergeben. Damit
zeigt sich in Deutschland keine Vorteil des genauen Berechnungsverfahrens zur Ermittlung
dieser Werte.
3.2.3 Schubfestigkeit von Mauerwerk
Die charakteristische Schubfestigkeit f von Mauerwerk ist erforderlich zur Beurteilung
der Querkrafttragfähigkeit von gemauerten Bauteilen. Sie darf unter Anwendung
des Nationalen Anhangs Deutschlands zum Eurocode 6 unter Berechnung des
Grenzwertes f ermittelt werden. Zu unterscheiden ist dabei, ob es sich um einen
Scheiben- oder Plattenschub handelt. 15 Für den Nachweis der Tragfähigkeit des ge-
15 Vgl. Norm DIN EN 1996-1-1:2010-12 einschließlich Nationaler Anhang
Seite 17

Nachweis gewölbter Konstruktionen und ihrer Widerlager nach EC6
mauerten Gewölbebogens ist Letzteres in Betracht zu ziehen, wie in Abbildung 8 gezeigt
wird. Daher bezieht sich folgende Verfahrensweise ausschließlich auf den Fall
des Plattenschubes.
Abbildung 8
Scheiben- und Plattenschub
Der Grenzwert f der charakteristischen Schubfestigkeit von Mauerwerk mit vermörtelten
Stoßfugen lässt sich unter Anwendung einer der beiden folgenden Formeln
bestimmen, wobei in der Formel 7 zusätzlich die vorhandene Haftscherfestigkeit der
Mörtelfugen Berücksichtigung findet. Die Haftscherfestigkeit definiert dahingehend im
Fugenbereich die Klebewirkung zwischen dem Stein und dem Mörtel.
f = 0,6 σ
Formel 6 Grenzwert charakteristischer Schubfestigkeit
σ = Bemessungswert der zugehörigen Druckspannung an der Stelle der maximalen Schubspannung;
für Rechteckquerschnitte gilt σ = N /A, wobei A den rechnerisch überdrückten
Querschnitt darstellt mit A = t x b [N/mm²]
t
t
e
b
= rechnerische Wanddicke; für den Fall des gemauerten Gewölbebogens ist t = t ,
überdrückte Dicke der Wand mit t , = 3⁄ 2 (1 − 2 x e⁄ t)x t ≤ t [mm]
= Dicke des Gewölbebogens [mm]
= Exzentrizität der einwirkenden Normalkraft mit e = M/N [mm]
= Breite des Gewölbebogens [mm]
Seite 18

Nachweis gewölbter Konstruktionen und ihrer Widerlager nach EC6
f = f + 0,6 σ
Formel 7 Grenzwert charakteristischer Schubfestigkeit
mit Berücksichtigung Haftscherfestigkeit
(vermörtelte Stoßfugen)
Siehe auch Formel 6
f = Haftscherfestigkeit in der Mörtelfuge; für Mauerwerk mit unvermörtelten Stoßfugen sind die
Werte für f um 1/3 abzumindern [N/mm²]
Für unvermörtelte Stoßfugen lässt sich die charakteristische Schubfestigkeit unter
Berücksichtigung der Haftscherfestigkeit f folgendermaßen ermitteln:
f = 2 3 f + 0,6 σ
Formel 8 Grenzwert charakteristischer Schubfestigkeit
mit Berücksichtigung Haftscherfestigkeit
(unvermörtelte Stoßfugen)
Siehe auch Formel 6/7
Die Haftscherfestigkeit in der Mörtelfuge ist der Tabelle 8 entnehmen.
Tabelle 8
Haftscherfestigkeit fvk0 von Mauerwerk ohne Auflast
(S. Norm DIN EN 1996-1-1:2010-12 einschließlich Nationaler Anhang)
3.3 Nachweise im Grenzzustand der Tragfähigkeit
3.3.1 Nachweis für vertikale Tragfähigkeit bei zentrischer und exzentrischer
Normalkraft
Der Grenzzustand der Tragfähigkeit erfordert einen Vergleich der einwirkenden Normalkraft
N und der vom Mauerwerk aufnehmbaren Normalkraft N . Dabei entspricht
N dem ungünstigsten Bemessungswert aller möglichen Lastkombinationen.
Nachzuweisen ist:
Seite 19

Nachweis gewölbter Konstruktionen und ihrer Widerlager nach EC6
N ≤ N
Formel 9 Nachweis Druckfestigkeit im GZT
N
N
= Bemessungswert der angreifenden Last [kN]
= Bemessungswert des Tragwiderstandes [kN]
Dabei lässt sich der Bemessungswert des Tragwiderstandes unter Anwendung der
Formel 10 bestimmen:
N = Φtf
Formel 10 Bemessungswert des Tragwiderstandes
Φ
t
f
= Abminderungsfaktor Φ am Kopf oder Fuß der Wand, beziehungsweise Φ in Wandmitte
zur Berücksichtigung der Schlankheit und Lastausmitte [-]
= Wanddicke [mm]
= Bemessungsdruckfestigkeit des Mauerwerks [N/mm²]
Der Abminderungsfaktor Φ lässt sich auf Grundlage des Spannungsblockes bestimmen
und dient zur Berücksichtigung des Verhältnisses der Ausmitte des Lastangriffes
und damit der Breite des Spannungsblockes und der gesamten Dicke t des
gemauerten Gewölbebogens (Abbildung 9).
Abbildung 9
Berücksichtigung der Lastausmitte auf Grundlage des Spannungsblocks
zur Bestimmung der Größe des
Abminderungsfaktors Φ i
Bei der Bestimmung des Abminderungsfaktors Φ ist für den gemauerten Gewölbebogen
nur die entstehende Lastausmitte zu berücksichtigen, da diese Form des
Tragwerkes als nicht knickgefährdet zu werten ist. Des Weiteren wird die Ausmitte
e im Mauerwerksbogens aufgrund fehlender horizontaler Lasten (zum Beispiel
Seite 20

Nachweis gewölbter Konstruktionen und ihrer Widerlager nach EC6
Wind) vernachlässigt und die ungewollte Ausmitte e , wie auch im Nationalen Anhang
des Eurocode 6 gestattet, dem Wert 0 gleichgesetzt. 16
Somit ergibt sich folgende Formel zur Bestimmung des Abminderungsfaktors Φ :
Φ = 1 − 2 e
t
Formel 11 Abminderungsfaktor zur Berücksichtigung
der Lastausmitte
e =
Lastexzentrizität am Kopf bzw. Fuß der Wand beziehungsweise tatsächliche Lastausmitte
der Stützlinie bei Gewölben [m];
e = M
N
(≥ 0,05t)
(Die Beschränkung 0,05t kann entfallen, da es sich nicht um eine Wand mit einseitiger Auflast
aus einer Decke handelt.)
M = Bemessungswert des Biegemomentes, resultierend aus der Exzentrizität des Stützlinienverlaufes
[kNm]
N = Bemessungswert der Normalkraft [kN]
t
= Dicke des Bogens [m]
3.3.2 Nachweis der Querkrafttragfähigkeit
Der Grenzzustand der Tragfähigkeit erfordert einen Vergleich der einwirkenden
Querkraft V und der vom Mauerwerk aufnehmbaren Querkraft V . Dabei entspricht
N dem ungünstigsten Bemessungswert aller möglichen Lastkombinationen.
V ≤ V
Formel 12 Nachweis Querkrafttragfähigkeit im GZT
V
= Bemessungswert der einwirkenden Querkraft [kN]
V = minimaler Bemessungswert der Querkrafttragfähigkeit [kN]
Auch für den Nachweis der Querkrafttragfähigkeit ist eine Unterscheidung in die
Richtung der Beanspruchung zu treffen. So wird zum einen die Tragfähigkeit in
Scheibenrichtung und zum anderen in Plattenrichtung betrachtet. In Bezug auf den
gemauerten Gewölbebogen wird auch in diesem Abschnitt nur Bezug auf die Beanspruchung
in Plattenrichtung genommen.
Damit lässt sich die Querkrafttragfähigkeit V senkrecht zur Bogenebene folgendermaßen
berechnen:
16 Vgl. Norm DIN EN 1996-1-1:2010-12 einschließlich Nationaler Anhang
Seite 21

Nachweis gewölbter Konstruktionen und ihrer Widerlager nach EC6
V = f x t x b c
Formel 13 Querkrafttragfähigkeit senkrecht
zur Wandebene
f = Bemessungswert der Schubfestigkeit des Mauerwerks mit f = f
⁄ γ [N/mm²]
t
= rechnerische Wanddicke; für den Fall des gemauerten Gewölbebogens ist t = t ,
[mm]
t , = überdrückte Dicke der Wand mit
t , = 3⁄ 2 (1 − 2 x e⁄ t)x t ≤ t [mm]
t
e
b
= Dicke des Gewölbebogens [mm]
= Exzentrizität der einwirkenden Normalkraft [mm]
= Breite des Gewölbebogens [mm]
c = Schubspannungsverteilungsfaktor c = 1,5
Die Anwendung des Spannungsblocks im Eurocode 6 stellt eine Vereinfachung der
Spannungsverteilung im Querschnitt dar. Während die Lage der Resultierenden im
Spannungsblock als konstant zu betrachten ist, muss zur Ermittlung der rechnerisch
überdrückten Querschnittsfläche eine dreieckförmige Spannungsverteilung mit einer
Tiefe t , berücksichtigt werden, die zu einer Vergrößerung der gedrückten Tiefe des
Querschnittes führt (Abbildung 10).
Abbildung 10
Tiefe tc,lin des überdrückten Querschnittes
3.4 Nachweis im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit
Der Eurocode 6 gibt an, dass der Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit für Risse
und Verformungen nicht zusätzlich nachzuweisen ist, wenn der Grenzzustand der
Tragfähigkeit als erfüllt gilt. Im Nationalen Anhang wird dieser Zusammenhang für
Deutschland weiter präzisiert. So soll dies nur gelten für Nachweise im Grenzzustand
der Tragfähigkeit, die nach den vereinfachten Berechnungsmethoden der DIN EN
1996-3 geführt wurden. Für Nachweise nach dem genauen Berechnungsverfahren
der DIN EN 1996-1 werden weitere Bedingungen zur Erfüllung des Grenzzustandes
der Gebrauchstauglichkeit gestellt. In Anwendung auf das Modell des gemauerten
Gewölbebogens wird zusätzlich verlangt, dass die rechnerische Ausmitte e nicht
größer wird als ein Drittel der Dicke t des Bogenmauerwerks in der charakteristi-
Seite 22

Nachweis gewölbter Konstruktionen und ihrer Widerlager nach EC6
schen Bemessungssituation. Die Stützlinie soll den 2. Kern des Gewölbes nicht verlassen,
so dass ein klaffen der Fuge bis maximal zur Hälfte des Querschnittstiefe
auftreten darf und dass gilt: 17
e ≤ t 3
Formel 14 Nachweis der Ausmitte im GZG
t
= Dicke des Gewölbebogens [mm]
Die Entstehung von Rissen respektive Klaffen der Fuge ist laut Eurocode demnach
zulässig, wird aber in der Intensität begrenzt.
Die aus der charakteristischen Bemessungssituation entstehende Ausmitte ergibt
sich folgendermaßen:
e = M
N
Formel 15 Lastausmitte
M = Biegemoment aus charakteristischer Bemessungssituation [kNm]
N
= Normalkraft aus charakteristischer Bemessungssituation [kN]
17 Vgl. Norm DIN EN 1996-1-1:2010-12 einschließlich Nationaler Anhang
Seite 23

Nachweisführung nach Eurocode 6 in Anlehnung an ein Literaturbeispiel
4 Nachweisführung nach Eurocode 6 in Anlehnung an ein Literaturbeispiel
4.1 Aufgabenstellung
Bei dem zu untersuchenden Gewölbe handelt es sich um ein Tonnengewölbe. Dieses
überdeckt den Kellerraum eines zweigeschossigen Bürogebäudes, in dem auch
mit schwerem Gerät gearbeitet wird. Die Geometrie des Gewölbes und die Auflasten
aus den Wänden der darüber liegenden Geschosse sind der Abbildung 11 zu entnehmen.
Es gilt die Tragfähigkeit dieses Bestandes unter Anwendung des Eurocode
6 zu prüfen. 1
Abbildung 11 Geometrie des Bestandsgewölbes
4.2 Statisches System
Aufgrund der Form des Gewölbes als Tonne kann für das statische System ein stabförmiges
Bauteil mit konstanter Breite angenommen werden. Dahingehend werden
die nachfolgenden Schnittgrößen und Auflagerkräfte je Meter Breite angenommen
und nicht weiter explizit ausgewiesen. Wie zuvor erörtert, kommt für die Berechnung
ein Dreigelenkbogen mit Gelenken in den Kämpfern und im Scheitel zur Anwendung.
4.3 Baustoffe
4.3.1 Gewölbebogen, Widerlager und Fundamente
Mauersteine: Kalksandstein DIN EN 771- 2 – KS 12 – 1,8 – 2 DF
1 Vgl. SCHREYER, 1952, S. 209-213
Seite 24

Nachweisführung nach Eurocode 6 in Anlehnung an ein Literaturbeispiel
Rohdichteklasse: 1,8 (ρst = 1,8 kg/dm³)
Festigkeitsklasse: 12 (fst = 15 N/mm²)
Mauermörtel: Normalmörtel der Mörtelgruppe II (Kalk-Zement-Mörtel)
(fm = 2,5 N/mm²)
Die Ausführung der Fundamente der Widerlager ist in Form von Stahlbeton vorgenommen.
4.3.2 Gewölbeüberbau und Schüttung
Der Fußbodenaufbau des darüber liegenden Geschosses setzt sich aus einer Lage
Zementestrich von 4 cm und einer Betonschicht mit einer Dicke von 12 cm zusammen.
Die Schüttung des Gewölbes besteht in Form von Sand mit einer maximalen
Höhe von 85 cm. Oberhalb des rechten und linken Kämpfers ist eine weitere Auffüllung
in Form einer Aufmauerung vorhanden (vergleiche Abbildung 11).
4.4 Lastannahmen
4.4.1 ständige Lasten
Zum Zwecke der Lastannahmen wird hinreichend genau für den gesamten Gewölbebogen
die Wichte der Mauersteine angesetzt und der Anteil an Mörtelfugen vernachlässigt.
Es werden auf Grundlage des Eurocode 1 1 folgende Werte für die verwendeten
Baustoffe angenommen:
Mauerwerk
Zementestrich/ Beton
Sandschüttung
Stahlbeton
γ = 18,0 kN/m³
γ = 24,0 kN/m³
γ = 16,0 kN/m³
γ = 25,0 kN/m³
Für den Nachweis des Gewölbemauerwerkes sind die jedem Knoten des statischen
Systems im Programm D.I.E. Baustatik zugeordneten Belastungen und die entsprechenden
Knotenbezeichnungen der Seite 1 und 2 des Anhang 1 zu entnehmen.
1 Vgl. Norm DIN EN 1991-1-1:2010-12 einschließlich Nationaler Anhang
Seite 25

Nachweisführung nach Eurocode 6 in Anlehnung an ein Literaturbeispiel
Für den Nachweis der Widerlager sind neben den Einwirkungen aus dem Gewölbe
Belastungen aus darüber liegenden Geschossen und der Wände im Bereich des Kellergeschosses
zu berücksichtigen.
Auf das Endwiderlager des Gebäudes wirken neben dem Gewölbeschub folgende
Eigenlasten (Maße sind Zeichnung entnommen; Bezeichnungen siehe Abbildung
12):
Abbildung 12
Konstruktion der Stützlinie des Berechnungsbeispiels für das
Endauflager
G =
0,40 m x 1,62 m
2
x 1,00 m x 18,00 kN
m³
≅ 5,83 kN
G = 0,19 m x 1,90 m x 1,00 m x 18,00 kN
m³
≅ 6,50 kN
G = Wandlast + Deckenlast von oben
= 70,00 kN
G = 0,60 m x 2,75 m x 1,00 m x 18,00 kN
m³
≅ 27,76 kN
Seite 26

Nachweisführung nach Eurocode 6 in Anlehnung an ein Literaturbeispiel
G = 0,74 m x 1,14 m x 1,00 m x 18,00 kN
m³
≅ 15,18 kN
G = 0,80 m x 1,00 m x 1,00 m x 25,00 kN
m³
= 20,00 kN
Für den Mittelpfeiler werden die ermittelten Einzellasten außerhalb des Gewölbebereiches,
sofern keine geometrischen Differenzen vorhanden sind, vom Endwiderlager
übernommen, womit sich folgende Werte G 1 bis G 7 ergeben (Maße sind Zeichnung
entnommen; Bezeichnungen siehe Abbildung 13):
Abbildung 13
Konstruktion der Stützlinie des Berechnungsbeispiels für den
Mittelpfeiler
G = G
= 5,83 kN
G = G
= 6,50 kN
G = Wandlast + Deckenlast von oben
= 100,00 kN
G = 3,71 m x 0,60 m x 1,00 m x 18,00 kN
m³
≅ 40,07 kN
Seite 27

Nachweisführung nach Eurocode 6 in Anlehnung an ein Literaturbeispiel
G
= 20,00 kN
4.4.2 veränderliche Lasten
Das Tonnengewölbe bildet den oberen Abschluss zu Räumlichkeiten, in denen auch
mit schwerem Gerät gearbeitet wird. Daher sind Nutzlasten der Kategorie B3 nach
Eurocode 1 von 5,0 kN/m² auf den Fußboden oberhalb des Gewölbes einzutragen
(vergleiche Tabelle 9).
Tabelle 9
Lotrechte Nutzlasten für Decken (Auszug)
(S. Norm DIN EN 1991-1-1:2010-12 einschließlich Nationaler Anhang)
Seite 28

Nachweisführung nach Eurocode 6 in Anlehnung an ein Literaturbeispiel
Für den Nachweis des Endwiderlagers ist der angreifende Erddruck möglichst klein
anzusetzen oder auch gänzlich unberücksichtigt zu lassen, da er günstig für die
Höhe der Beanspruchung der Fugenbereiche des Endauflagers wirkt. Darüber hinaus
können in vorübergehender Bemessungssituation oder Erdarbeiten mit Ausgrabungen
neben dem Gebäude stattfinden. Aufgrund dessen wird in dieser Nachprüfung
vorerst auf den Ansatz eines Erddruckes auf die Außenwand verzichtet. Nur für
den Fall, dass die zulässigen Spannungen überschritten werden, wird dieser als relevant
deklariert und in die Berechnungen einbezogen, allerdings mit der Einschränkung,
dass neben dem Gebäude die oben genannten Erdarbeiten nicht gestattet sind
beziehungsweise die Nutzlast auf dem Gewölbe zu verringern ist.
4.5 Nachweis des gemauerten Gewölbebogens
Aufgrund der Spiegelgleichheit in der Geometrie und der gleichen Größenordnung
der Nutzlastbeanspruchung der Nachbargewölbe ist es ausreichend, nur ein Tonnengewölbe
zu betrachten.
4.5.1 Druckfestigkeitsnachweis (GZT)
Die charakteristische Druckfestigkeit lässt sich unter Anwendung der Formel 4 rechnerisch
ermitteln. Die Konstanten nehmen auf Grundlage dessen, dass sich das Bogenmauerwerk
aus Kalksand-Vollsteinen mit Normalmörtel der Mörtelgruppe II zusammensetzt,
folgende Werte an (Tabelle 6):
Κ = 0,95 x 0,8 = 0,76
α = 0,585
β = 0,162
Mörtelfugen aus Normalmörtel, die in Wandebene
über Teile des Gewölbes verlaufen
Abminderung um 20 %
Laut dem Eurocode 6 ist dabei anzumerken, dass bei Vorhandensein dieser Mörtelgruppe
die Mauerwerksdruckfestigkeit nicht höher angenommen werden darf als für
die Steinfestigkeit f = 45 N/mm².
Damit ergibt sich nach Formel 4 für die Druckfestigkeit des gegebenen Mauerwerksbogens
ein Wert in Höhe von:
f = 0,76 x 15,0
N ,
mm²
x 2,5
N ,
mm²
≅ 4,298
N
mm²
Seite 29

Nachweisführung nach Eurocode 6 in Anlehnung an ein Literaturbeispiel
Der Nachweis wird exemplarisch am Knotenpunkt mit der größten Ausnutzung des
Tragwiderstandes geführt. Dabei handelt es sich um den Knoten 53 (rechtes Bogenviertel)
und um eine Kombination der Einwirkungen aus Eigenlast und Nutzlast auf
dem linken Bogenschenkel. Die Eigenlast besitzt dabei eine günstige und die Nutzlast
eine ungünstige Wirkung auf die Druckbeanspruchung des Gewölbebogens im
Knotenpunkt 53 (vergleiche Seite 24 Anhang 1).
Aus der entsprechenden vereinfachten Einwirkungskombination (Formel 3) ergeben
sich folgende Biegemomente beziehungsweise Normalkräfte in einer ständigen und
vorübergehenden Bemessungssituation (Eingangswerte siehe Seite 3 und 8 Anhang
1; Teilsicherheitsbeiwerte gemäß Tabelle 2):
N , = 1,0 x (−40,5 kN) + 1,5 x (−6,76 kN)
N , ≅ −50,63 kN
M , = 1,0 x (−0,46 kNm) + 1,5 x (−2,82 kNm)
M , ≅ −4,69 kNm
Die Ermittlung der Bemessungslast des Tragwiderstandes erfolgt unter Anwendung
der Formel 10. Zunächst erfolgt dazu die Bestimmung der zugehörigen Eingangsgrößen:
t = 250 mm Abbildung 11
b = 1000 mm
f = 4,298
1,5
²
≅ 2,865
N
mm²
1-m-Streifen des Tonnengewölbes
Formel 1
Dabei ist:
γ = 1,5
f = 4,298
N
mm²
ständige und vorrübergehende Bemessungssituation;
unbewehrtes Mauerwerk aus Steinen der Kategorie
I und Rezeptmörtel
Tabelle 1
Φ = 1 − 2 x
0,093 m
≅ 0,259 Formel 11
0,250 m
Seite 30

Nachweisführung nach Eurocode 6 in Anlehnung an ein Literaturbeispiel
Dabei ist:
e , =
−4,69 kNm
−50,63 kN
≅ 0,093 m vergleiche Formel 11
t = 0,250 m Abbildung 11
Damit ist es möglich die Bemessungslast des Tragwiderstandes nach Formel 10
rechnerisch zu bestimmen:
N , = 0,259 x 250 mm x2,865
N
mm²
x 1000 mm
≅ 185500 N
> 50630 N = N ,
N ,
N ,
=
50,63 kN
185,5 kN ≅ 0,27
Der Druckfestigkeitsnachweis des gemauerten Gewölbebogens gilt als erfüllt. Es erfolgt
eine Ausnutzung der Bemessungslast des Tragwiderstandes von rund 27 % und
zeigt beispielhaft auf, dass das Gewölbe eine wesentlich höhere Tragfähigkeit hat als
durch dessen Nutzung erwartet.
4.5.2 Querkraftnachweis (GZT)
Um die charakteristische Schubfestigkeit rechnerisch zu ermitteln, ist der Bemessungswert
der zugehörigen Druckspannung an der Stelle der maximalen Schubspannung
zu bestimmen. Da der Knotenpunkt der maximalen Schubspannung (Knoten
38, vergleiche Seite 34 Anhang 1) allerdings nicht dem der maximalen Ausnutzung
der Querkrafttragfähigkeit (Knoten 36, vergleiche Seite 32 Anhang 1) entspricht,
wird zum Zweck des Querkraftnachweises stattdessen die charakteristische
Schubfestigkeit, auf der sicheren Seite liegend, im für die Druckspannung maßgebenden
Knoten 36 ermittelt. Die entsprechende vereinfachte Einwirkungskombination
in einer ständigen und vorübergehenden Bemessungssituation setzt sich dabei aus
der günstig wirkenden Eigenlast und der ungünstig wirkenden halbseitigen Nutzlast
zusammen:
σ , =
42590 N
250000 mm² ≅ 0,170 N
mm²
vergleiche Formel 6
Seite 31

Nachweisführung nach Eurocode 6 in Anlehnung an ein Literaturbeispiel
Dabei ist:
N , = 1,0 x (−33,8 kN) + 1,5 x (−5,86 kN)
N , = −42,59 kN
M , = 1,0 x (−0,01 kNm) + 1,5 x 0,16 kNm
M , = 0,23 kNm
e =
0,23 kNm
42,59 kN
Formel 3
Eingangswerte siehe Seite 3
und 7 Anhang 1
Teilsicherheitsbeiwerte gemäß
Tabelle 2
Formel 3
Eingangswerte siehe Seite 3
und 7 Anhang 1
Teilsicherheitsbeiwerte gemäß
Tabelle 2
≅ 0,005 m vergleiche Formel 6
t = 250 mm Abbildung 11
t ,, = 3 5 mm
x 1 − 2 x x 250 mm
2 250 mm
vergleiche Formel 6
t ,, = 360 mm
> t = 250 mm (maßgebend)
A = 250 mm x 1000 mm = 250000 mm² vergleiche Formel 6
Damit ergibt sich unter Anwendung der Formel 6 für die charakteristische Schubfestigkeit
des gegebenen Mauerwerksbogens:
f , = f , = 0,6 x 0,170
N
mm² = 0,102
N
mm²
Der Nachweis wird exemplarisch am Knotenpunkt mit der größten Ausnutzung des
Tragwiderstandes geführt. Dabei handelt es sich um den Knoten 36 (Scheitelbereich)
und eine Kombination der Einwirkungen aus günstig wirkender Eigenlast und ungünstige
wirkender Nutzlast auf den linken Bogenschenkel (vergleiche Seite 32 Anhang
1).
Aus der entsprechenden vereinfachten Einwirkungskombination (Formel 3) ergibt
sich folgende Bemessungsquerkraft in einer ständigen und vorübergehenden Bemessungssituation
(Eingangswerte siehe Seite 1 und 5 Anhang 2; Teilsicherheitsbeiwerte
gemäß Tabelle 2):
V , = 1,0 x (−0,81 kN) + 1,5 x (−3,36 kN)
Seite 32

V , = −5,85 kN
Nachweisführung nach Eurocode 6 in Anlehnung an ein Literaturbeispiel
Die Ermittlung der Bemessungslast des Tragwiderstandes erfolgt unter Anwendung
der Formel 13. Zunächst besteht dazu die Notwendigkeit der Bestimmung der zugehörigen
Eingangsgrößen:
b = 1000 mm
1-m-Streifen des Tonnengewölbes
c = 1,5 vergleiche Formel 13
t , = t ,, = 250 mm
f , = 0,102
1,5
²
= 0,068
N
mm²
Formel 1
Dabei ist:
γ = 1,5
f , = f , = 0,102
N
mm²
ständige und vorrübergehende Bemessungssituation;
unbewehrtes Mauerwerk aus Steinen der Kategorie
I und Rezeptmörtel
Tabelle 1
Damit ist es möglich, die Bemessungslast des Tragwiderstandes unter Anwendung
der Formel 13 rechnerisch zu bestimmen:
V , = 0,068
V ,
V ,
N
mm²
=
5,85 kN
11,33 kN ≅ 0,52
x 250 mm x
1000 mm
1,5
≅ 11330 N
> 5850 N = V ,
Der Querkraftnachweis des gemauerten Gewölbebogens gilt als erfüllt. Es erfolgt
eine Ausnutzung der Bemessungslast des Tragwiderstandes von rund 52%.
4.5.3 Nachweis der zulässigen Ausmitte (GZG)
Der Nachweis wird exemplarisch am Knotenpunkt mit der größten Ausmitte geführt.
Dabei handelt es sich um den Knoten 53 (rechtes Bogenviertel) und die Kombination
Seite 33

Nachweisführung nach Eurocode 6 in Anlehnung an ein Literaturbeispiel
der charakteristischen Einwirkungen aus Eigenlast und Nutzlast auf den linken Bogenschenkel
(vergleiche Seite 36 Anhang 1).
Aus der entsprechenden Einwirkungskombination ergeben sich folgende Biegemomente
beziehungsweise Normalkräfte (Eingangswerte siehe Seite 4 und 8 Anhang
1):
N , = (−40,5 kN) + (−6,76 kN)
N , = −47,26 kN
M , = (−0,46 kNm) + (−2,82 kNm)
M , = −3,28 kNm
Somit lässt sich die Ausmitte e nach Formel 15 rechnerisch bestimmen und der
Nachweis im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit führen (Formel 14):
e =
−3,28 kNm
−47,26 kN
≅ 0,0694 m
0,0698 m <
0,25 m
3
≅ 0,0833 m
Damit gilt der Nachweis des gemauerten Gewölbebogens im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit
als erfüllt. Die Stützlinie verlässt den 2. Kern des Bogenquerschnittes
nicht, so dass ein Klaffen der Fuge bis zur Querschnittsmitte ausgeschlossen
werden kann. Nachweis der Endwiderlager
4.6 Nachweis der Endwiderlager
4.6.1 Nachweis des Fugenbereiches 1-1
4.6.1.1 Druckfestigkeitsnachweis (GZT)
Die charakteristische Druckfestigkeit lässt sich unter Anwendung der Formel 4 rechnerisch
ermitteln. Die Konstanten nehmen auf Grundlage dessen, dass sich das Bogenmauerwerk
aus Kalksand-Vollsteinen mit Normalmörtel der Mörtelgruppe II zusammensetzt,
folgende Werte an (Tabelle 6):
Κ = 0,95 x 0,8 = 0,76
Mörtelfugen aus Normalmörtel, die in Wandebene
über Teile des Gewölbes verlaufen
Seite 34

Nachweisführung nach Eurocode 6 in Anlehnung an ein Literaturbeispiel
Abminderung um 20 %
α = 0,585
β = 0,162
Laut dem Eurocode 6 ist dabei anzumerken, dass bei Vorhandensein dieser Mörtelgruppe
die Mauerwerksdruckfestigkeit nicht höher angenommen werden darf als für
die Steinfestigkeit f = 45 N/mm².
Damit ergibt sich für die Druckfestigkeit des gegebenen Endwiderlagers (Formel 4):
f ≅ 0,76 x 15,0
N ,
mm²
x 2,5
N ,
mm²
≅ 4,298
N
mm²
Als maßgebende Einwirkungskombination ist ein Zusammenwirken von Eigengewicht
und der vollen Nutzlastbeanspruchung aus den Wänden oberhalb des Endwiderlagers
beziehungsweise des Gewölbes zu betrachten. Dabei besitzen sowohl die
ständigen als auch die veränderlichen Einwirkungen eine ungünstige Wirkung auf die
Druckbeanspruchung der Fuge 1-1 im Bereich des Endwiderlagers (vergleiche Seite
1 Anhang 2). Dies hat den Hintergrund, dass durch diese Lastfallkombination so große
Normalkräfte zustande kommen, dass die zugehörige Ausmitte als nicht maßgebend
zu werten ist. Aus der ungünstigsten vereinfachten Einwirkungskombination
(Lastfallkombination 2) ergeben sich nach Formel 3 folgende Biegemomente beziehungsweise
Normalkräfte in einer ständigen und vorübergehenden Bemessungssituation
(Eingangswerte siehe Seite 1 Anhang 2; Teilsicherheitsbeiwerte gemäß Tabelle
2):
N , = 1,35 x (−125,27 kN − 50,70 kN) + 1,5 x (−13,50 kN − 30,00 kN)
N , ≅ −302,81 kN
M , = 1,35 x (12,75 kNm − 24,34 kNm) + 1,5 x (2,10 kNm − 10,58 kNm)
M , ≅ −28,37 kNm
Die Ermittlung der Bemessungslast des Tragwiderstandes erfolgt unter Anwendung
der Formel 10. Zunächst erfolgt dazu die Bestimmung der zugehörigen Eingangsgrößen:
t = 740 mm Abbildung 11
b = 1000 mm
f = 4,298
1,5
²
≅ 2,865
N
mm²
1-m-Streifen des Tonnengewölbes
Formel 1
Seite 35

Nachweisführung nach Eurocode 6 in Anlehnung an ein Literaturbeispiel
Dabei ist:
γ = 1,5
f = 5,373
N
mm²
ständige und vorrübergehende Bemessungssituation;
unbewehrtes Mauerwerk aus Steinen der Kategorie
I und Rezeptmörtel
Tabelle 1
Φ = 1 − 2 x
0,094 m
≅ 0,746 Formel 11
0,740 m
Dabei ist:
e , =
−28,37 kNm
−302,81 kN
≅ 0,094 m vergleiche Formel 11
t = 0,740 m Abbildung 11
Damit ist es möglich die Bemessungslast des Tragwiderstandes nach Formel 10
rechnerisch zu bestimmen:
N , = 0,746 x 740 mm x 2,865
N
mm²
x 1000 mm
≅ 1583000 N
> 302810 N = N ,
N ,
N ,
=
302,81 kN
1583,00 kN ≅ 0,191
Der Druckfestigkeitsnachweis des gemauerten Gewölbeendwiderlagers im Schnitt 1-
1 gilt als erfüllt. Es erfolgt eine geringe Ausnutzung der Bemessungslast des Tragwiderstandes
von rund 19 %.
4.6.1.2 Querkraftnachweis (GZT)
Um die charakteristische Schubfestigkeit rechnerisch zu ermitteln, stellt sich Eingangs
die Aufgabe, den Bemessungswert der zugehörigen Druckspannung an der
Stelle der maximalen Schubspannung in der ungünstigsten Bemessungssituation zu
bestimmen. Die Einwirkungskombination, die zur maximalen Schubspannung führt
(Lastfallkombination 5), ergibt allerdings nicht die größte Querkraftausnutzung (Lastfallkombination
4; vergleiche Seite 2 Anhang 2). So wird der Nachweis basierend auf
Seite 36

Nachweisführung nach Eurocode 6 in Anlehnung an ein Literaturbeispiel
der maximalen Ausnutzung anhand der Lastfallkombination 4 dargestellt. Es ergibt
sich für die zugehörige Druckspannung folgende Größe:
213970 N
σ , =
606000 mm² ≅ 0,353 N
vergleiche Formel 6
mm²
Dabei ist:
N , = 1,0 x (−125,27 kN) + 1,35 x (−50,79 kN)
+1,5 x (−13,50 kN)
N , = −213,97 kN
M , = 1,0 x 12,75 kNm + 1,35 x (−24,34 kNm)
+1,5 x (−10,58 kNm)
M , = −35,98 kNm
e =
−35,98 kNm
−213,97 kN
Formel 3
Eingangswerte siehe Seite
1 Anhang 3
Teilsicherheitsbeiwerte gemäß
Tabelle 2
Formel 3
Eingangswerte siehe Seite
1 Anhang 3
Teilsicherheitsbeiwerte gemäß
Tabelle 2
= 0,168 m vergleiche Formel 6
t = 740 mm Abbildung 11
t ,, = 3 168 mm
x 1 − 2 x x 740 mm
2 740 mm
vergleiche Formel 6
t ,, ≅ 606 mm (maßgebend)
< t = 740 mm
A = 606 mm x 1000 mm = 606000 mm² vergleiche Formel 6
Damit lässt sich für den Wert der charakteristischen Schubfestigkeit des Gewölbewiderlagers
schließen (Formel 6):
f , = f , = 0,6 x 0,353
N
mm² ≅ 0,212
N
mm²
Aus der entsprechenden vereinfachten Einwirkungskombination (Formel 3) ergibt
sich folgende Bemessungsquerkraft in einer ständigen und vorübergehenden Bemessungssituation
(Eingangswerte siehe Seite 1 Anhang 2; Teilsicherheitsbeiwerte
gemäß Tabelle 2):
V , = 1,0 x 0 + 1,35 x 33,80 kN + 1,5 x 11,4 kN
V , ≅ 62,73 kN
Seite 37

Nachweisführung nach Eurocode 6 in Anlehnung an ein Literaturbeispiel
Die Ermittlung der Bemessungslast des Tragwiderstandes erfolgt unter Anwendung
der Formel 13. Zunächst ist dazu die Bestimmung der zugehörigen Eingangsgrößen
notwendig.
b = 1000 mm
1-m-Streifen des Tonnengewölbes
c = 1,5 vergleiche Formel 13
t , = t ,, = 606 mm
f , = 0,212
1,5
²
≅ 0,141
N
mm²
Formel 1
Dabei ist:
γ = 1,5
f , = f , = 0,212
N
mm²
ständige und vorrübergehende Bemessungssituation;
unbewehrtes Mauerwerk aus Steinen der Kategorie
I und Rezeptmörtel
Tabelle 1
Damit ist es möglich, die Bemessungslast des Tragwiderstandes nach Formel 13 zu
berechnen und den Querkraftnachweis zu führen:
V , = 0,141
V ,
V ,
N
mm²
=
62,73 kN
56,96 kN ≅ 1,10
x 606 mm x
1000 mm
1,5
≅ 56960 N
< 62730 N = V ,
Der Nachweis der Sicherheit für die Querkrafttragfähigkeit gilt als um 10% überschritten
und damit formal als nicht erfüllt. Es besteht jedoch die Möglichkeit, die bisher
vernachlässigte Haftscherfestigkeit in der Mörtelfuge zu berücksichtigen. Damit wird
eine Vergrößerung der rechnerischen Schubfestigkeit im Fugenbereich 1-1 erreicht.
Es ergibt sich nach Formel 7 folgender Festigkeitsgröße:
f ,, = f , = 0,212
N
mm² + 0,080
N
mm² = 0,292
N
mm²
Seite 38

Nachweisführung nach Eurocode 6 in Anlehnung an ein Literaturbeispiel
Es findet eine Haftscherfestigkeit von 0,08 N/mm² für den verwendeten Normalmauermörtel
mit einer Festigkeit von 2,5 N/mm² Berücksichtigung (vergleiche Tabelle 8).
f ,, = 0,292
1,5
²
≅ 0,195
N
mm²
Formel 1
Dabei ist:
γ = 1,5
f ,, = f ,, = 0,292
N
mm²
ständige und vorrübergehende Bemessungssituation;
unbewehrtes Mauerwerk aus Steinen
der Kategorie I und Rezeptmörtel
Tabelle 1
Für die Bemessungslast des Tragwiderstandes nach Formel 13 ergibt sich dadurch
folgender neuer Wert, mit dem der Querkraftnachweis geführt werden kann:
V ,, = 0,195
N
mm²
x 606 mm x
1000 mm
1,5
≅ 78780 N
< 62730 N = V ,
V ,
V ,
=
62,73 kN
78,78 kN ≅ 0,80
Der Querkraftnachweis des gemauerten Gewölbeendwiderlagers für den Schnitt 1-1
gilt unter Berücksichtigung der Haftscherfestigkeit somit als erfüllt. Es erfolgt eine
Ausnutzung der Bemessungslast des Tragwiderstandes von rund 80%. Dieses Resultat
weist gegenüber der Druckfestigkeit auf eine hohe Ausnutzung und damit gegenüber
dem Gewölbeschub auf eine wesentlich höhere Empfindlichkeit hin, was die
Eingangs gemachte Annahme im Kapitel 2 zur Umlagerung von Kräften bei Widerlagerverformung
rechtfertigt. Es zeigt auch auf, dass eine höhere Druckkraft in vertikaler
Richtung aus dem darüber liegenden Gebäude für eine höhere Tragsicherheit
respektive Zentrierung der Resultierenden führen kann.
4.6.1.3 Nachweis der zulässigen Ausmitte (GZG)
Für den Nachweis im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit ist die charakteristische
Beanspruchung aus Eigenlasten und der vollen Nutzlastbeanspruchung des
Seite 39

Nachweisführung nach Eurocode 6 in Anlehnung an ein Literaturbeispiel
Gewölbebogens als maßgebend zu betrachten. Es stellt sich für diese Kombination
der Einwirkungen die größte Ausmitte ein (vergleiche Seite 3 Anhang 2). Zur Ermittlung
dieser Ausmitte werden das folgende Biegemoment und die entsprechende
Normalkraft genutzt (Eingangswerte siehe Seite 1 Anhang 2):
N , = (−125,27 kN) + (−50,70 kN) + (−13,5 kN)
N , = −189,47 kN
M , = 12,75 kNm + (−24,34 kNm) + (−10,58 kNm)
M , = −22,17 kNm
Somit lässt sich die Ausmitte e nach Formel 15 rechnerisch bestimmen und der
Nachweis im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit führt unter Anwendung der
Formel 14 zu folgendem Ergebnis:
e =
−22,17 kNm
−189,47 kN
≅ 0,117 m
0,117 m <
0,74 m
3
≅ 0,247 m
Der Nachweis des gemauerten Gewölbeendwiderlagers für den Schnitt 1-1 im
Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit gilt als erfüllt. Die Stützlinie verlässt sogar
den 1. Kernquerschnitt des gemauerten Widerlagers mit 0,74 m⁄ 6 ≅ 0,123 m nicht,
sodass der gesamte Querschnitt ohne Klaffen der Fuge überdrückt wird.
4.6.2 Nachweis der Fundamentsohle
4.6.2.1 Allgemeines
Für die Fundamentsohle des Gewölbeendwiderlagers ist es notwendig, auf die Normengrundlage
des Eurocode 7 zurückzugreifen, der sich mit dem Entwurf, der Berechnung
und der Bemessung in der Geotechnik befasst. 1
Aufgrund dessen, dass keine genaue Klärung der Baugrundverhältnisse vorliegt,
werden in diesem Abschnitt der Arbeit bezüglich der DIN EN 1997-1 nur die Beanspruchungen
auf der Einwirkungsseite zusammengestellt. Ein Vergleich mit dem
Bauteilwiderstand sollte daher nachträglich im Zuge der Erstellung eines Baugrundgutachtens
geführt werden.
1 Vgl. Norm DIN EN 1997-1:2009-09 einschließlich Nationaler Anhang
Seite 40

Nachweisführung nach Eurocode 6 in Anlehnung an ein Literaturbeispiel
4.6.2.2 Nachweis des Sohldruckes (GEO-2)
Im Grenzzustand des Versagens von Bauwerken, Bauteilen und Baugrund (GEO-2)
darf in einfachen Regelfällen von Flachgründungen, wie es dieser Fall darstellt, ein
Vergleich des einwirkenden Sohldruckes σ und dem vom Baugrund aufnehmbaren
Sohldruck σ geführt werden. Dabei entspricht σ dem ungünstigsten Bemessungswert
aller möglichen Lastkombinationen.
Nachzuweisen ist:
σ ≤ σ
Formel 16 Nachweis Sohldruck im GEO-2
σ
σ
=
=
Bemessungswert des Sohldruckes infolge der Einwirkungen [kN/m²]
Bemessungswert des zulässigen Sohldruckes [kN/m²]
Der Sohldruck infolge der Einwirkungen lässt sich auf Grundlage des Eurocodes 7
folgendermaßen unter Annahme einer gleichmäßigen Sohldruckverteilung rechnerisch
ermitteln:
σ = N
A′
Formel 17 Bemessungswert des Sohldruckes
N
A′
= Bemessungswert der senkrecht zur Sohlfläche wirkenden Kraft [kN]
= rechnerische Ersatzfläche einer gleichmäßigen Spannungsverteilung mit:
A = a x b′ [m²] (vergleiche Abbildung 14) [m²]
Abbildung 14
rechnerische Ersatzbreite des Fundamentes bei gleichmäßiger
Spannungsverteilung
Gilt dieser Nachweis als erfüllt, kann er als Ersatz für die Nachweise auf Grundbruchsicherheit,
Gleitsicherheit und Gebrauchstauglichkeit genutzt werden. Während
Seite 41

Nachweisführung nach Eurocode 6 in Anlehnung an ein Literaturbeispiel
der Grundbruch in folgenden Nachweisen unberücksichtigt bleibt, soll auf die Ausführung
des Nachweises der Gleitsicherheit und der Gebrauchstauglichkeit in Bezug auf
die Prüfung des Auftretens unzulässiger klaffender Fugen nicht verzichtet werden.
Die größte Sohldruckspannung im Schnitt 2-2 entsteht unter der Kombination aller
Eigenlasten und einer vollen Nutzlastbeanspruchung des Gewölbes, jedoch unter
Vernachlässigung der Nutzlasten aus den Wänden der darüber liegenden Geschosse
(Lastfallkombination 4; vergleiche Seite 3 Anhang 2). Dies liegt darin begründet,
dass durch die Nutzlasten auf der Kelleraußenwand zwar größere Normalkräfte entstehen,
die zugehörige Ausmitte allerdings kleiner wird, was zu niedrigeren Sohldruckspannungen
führt. Daher wird auch den Eigenlasten aus den Wänden eine
günstige Wirkung zugeschrieben und sie erhalten im Gegensatz zu den Gewölbelasten
einen Sicherheitsbeiwert von 1,0. Für die einwirkenden Bemessungsschnittkräfte
in einer ständigen Bemessungssituation ergeben sich nach Formel 3 somit folgende
Werte (Eingangswerte siehe Seite 1 Anhang 2; entsprechende Sicherheitsbeiwerte
sind der Tabelle A 2.1 des Eurocodes 7 1 entnommen):
N , = 1,0 x (−145,27 kN) + 1,35 x (−50,70 kN) + 1,5 x (−13,5 kN)
N , ≅ −233,97 kN
M , = 1,0 x 24,32 kNm + 1,35 x (−47,83 kNm) + 1,5 x (−18,76 kNm)
M , ≅ −68,39 kNm
Für das vorliegende Endwiderlager des Beispiels ergibt sich unter Anwendung der
Formel 17 auf der Seite der Einwirkung folgende Druckspannung im Bereich der
Sohlfläche:
σ =
233,97 kN
0,415 m²
≅ 563,8
kN
m²
Dabei ist:
−68,39 kNm
e = ≅ 0,29 m
−233,97 kN
vergleiche Abbildung 14
a 1,00 m
= 2 x − 0,29 m = 0,415 m
2
vergleiche Abbildung 14
b = 1,00 m
1-m-Streifen des Fundamentes
A = 0,42 m x 1,00 m = 0,415 m² vergleiche Formel 17
1 Vgl. Norm DIN EN 1997-1:2009-09 einschließlich Nationaler Anhang
Seite 42

Nachweisführung nach Eurocode 6 in Anlehnung an ein Literaturbeispiel
Der ermittelte Wert der einwirkenden Sohldruckspannung ist im Anschluss mit dem
zulässigen Wert der aufnehmbaren Bodenpressungen eines Baugrundgutachtens zu
vergleichen. Für den Fall, dass die Einwirkungen die zulässigen Spannungen übersteigen,
besteht die Möglichkeit, den günstig wirkenden Erddruck auf die Kelleraußenwand
mit in die Berechnung einzubeziehen. Auf der sicheren Seite liegend sollte
dieser jedoch nur mit Einschränkungen (siehe 4.4.2) verwendet werden.
4.6.2.3 Nachweis der Gleitsicherheit (GEO-2)
Der Nachweis der Gleitsicherheit ist ein Nachweis im Grenzzustand des Versagens
von Bauwerken, Bauteilen und Baugrund (GEO-2). Zu untersuchen ist, ob der Bemessungswert
der parallel zur Sohlfläche wirkenden Kraft T in Verschiebungsrichtung
größer als der Bemessungswert der Widerstandskräfte ist. Tritt dieser Fall ein,
besteht keine ausreichende Sicherheit gegenüber Gleiten in der Sohlfläche.
Nachzuweisen ist:
T ≤ R , + E ,
Formel 18 Nachweis Gleitsicherheit im GEO-2
τ
R ,
= Bemessungswert des parallel zur Sohlfläche angreifenden Kräfte in Verschiebungsrichtung
[kN/m³]
= Bemessungswert des Gleitwiderstandes [kN]
a) Schnittebene befindet sich in Höhe der Sohlfläche
- nichtbindiger oder konsolidierter bindiger Boden: R , = N x tan δ , /γ ,
- bindiger wassergesättigter Boden mit φ = 0: R , = A x c , /γ ,
N
φ ,
c ,
b) Schnittebene im Boden unterhalb der Sohlfläche: R , = (N x tan φ + A x c )/γ ,
= Beanspruchung senkrecht zur Schnittebene [kN]
= Charakteristische Scherparameter [-]
c ,
A = maßgebende Schnittfläche für die Kraftübertragung [m²]
δ ,
= falls Sohlreibungswinkel nicht eigens ermittelt, kann anstelle kritischer Reibungswinkel
charakteristischer Winkel: bei Sohlflächen aus Ortbeton und Fertigteilen im Mörtelbett
δ , = φ mit δ , ≤ 35°; bei Fertigteilen δ , = 2 x φ /3 [m]
E , = Bemessungswert des passiven Erddrucks E , = E , /γ , parallel zur Sohlfläche; bei
ausreichend tiefer Fundamenteinbindung in den Baugrund wird Verdrehung durch beidseitige
Bodenreaktion verhindert, wobei e , () ≤ 0,5 x e , einzuhalten ist [kN]
Die für diesen Nachweis maßgebende einwirkende Bemessungskraft parallel zur
Schnittfläche 2-2 in einer ständigen Bemessungssituation wird durch die Lastfallkombination
5 generiert (vergleiche Seite 1 Anhang 2). Die ungünstigen Einwirkun-
Seite 43

Nachweisführung nach Eurocode 6 in Anlehnung an ein Literaturbeispiel
gen werden demnach zusammengestellt aus den Belastungen infolge des Gewölbeschubes.
Zum Zwecke des Gleitnachweises nimmt die Bemessungsquerkraft nach
Formel 3 folgenden Wert an (Eingangswerte siehe Seite 1 Anhang 2; entsprechende
Sicherheitsbeiwerte sind der Tabelle A 2.1 des Eurocodes 7 entnommen 1 ):
V , = 1,35 x 33,80 kN + 1,5 x 11,4 kN
V , = 62,73 kN
Im Zuge der Erstellung eines Baugrundgutachtens ist im Anschluss abzugleichen, ob
der Widerstand des Baugrundes unter Anwendung der Formel 18 ausreichend groß
ist, um ein Gleiten zu verhindern. Für den Fall, dass der Nachweis im Ergebnis als
nicht erfüllt zu werten ist, besteht die Möglichkeit, den günstig wirkenden Erddruck
auf die Kelleraußenwand mit in die Berechnung einzubeziehen (Einschränkungen
siehe 4.4.2).
4.6.2.4 Nachweis der zulässigen Ausmitte (SLS)
Der Nachweis der zulässigen Ausmitte ist ein Nachweis im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit
(SLS). Zu untersuchen ist für das vorhandene Streifenfundament,
ob eine klaffende Fuge im Bereich des Schnittes 2-2 entsteht. Zum einen ist
auf Grundlage der DIN EN 1997-1 nachzuweisen, dass die Kraftresultierende unter
Einfluss der charakteristischen ständigen Einwirkungen die 1. Kernweite des Streifenfundamentes
nicht verlässt. Zum anderen besteht die Anforderung, dass die Kraftresultierende
unter Einfluss der ungünstigsten Kombination der charakteristischen
ständigen und veränderlichen Einwirkungen innerhalb der 2. Kernweite verbleibt.
Somit sind nach der DIN EN 1997-1 die zwei folgenden Nachweise zu führen:
e ≤ 1 6 b
Formel 19 Nachweis Ausmitte im SLS für
ständige Einwirkungen
e
b
= Ausmitte der charakteristischen Beanspruchung Q aus den ständigen Einwirkungen in
der Sohlfläche [m]
= Breite des Streifenfundamentes [m]
1 Vgl. Norm DIN EN 1997-1:2009-09 einschließlich Nationaler Anhang
Seite 44

Nachweisführung nach Eurocode 6 in Anlehnung an ein Literaturbeispiel
e ≤ 1 3 b
Formel 20 Nachweis Ausmitte im SLS für ständige
und veränderliche Einwirkungen
e
b
= Ausmitte der charakteristischen Beanspruchung Q aus der ungünstigsten Kombination
der ständigen und veränderlichen Einwirkungen in der Sohlfläche [m]
= Breite des Streifenfundamentes [m]
Für den Nachweis nach Formel 19 kommen die folgende Normalkraft beziehungsweise
das folgende Biegemoment zur Anwendung (Eingangswerte siehe Seite 1 Anhang
2):
N ,, = (−145,27 kN) + (−50,70 kN)
N ,, = −195,97 kN
M ,, = 24,32 kNm + (−47,83 kNm)
M ,, = −23,51kNm
Somit lässt sich die Ausmitte e rechnerisch bestimmen und der Nachweis im
Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit führen (Formel 19):
e =
−23,51 kNm
−195,97kN
≅ 0,120 m
0,120 m <
1,00 m
6
≅ 0,167 m
Damit gilt der Nachweis für die ständigen Einwirkungen auf das Fundament des gemauerten
Gewölbeendwiderlagers für den Schnitt 2-2 im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit
als erfüllt. Die Stützlinie verlässt unter Einwirkung aller charakteristischen
ständigen Einwirkungen die 1. Kernweite der Sohlfläche nicht. Ein Klaffen
der Fuge ist somit nicht zu erwarten.
Für den Nachweis nach Formel 20 kommen die folgende Normalkraft beziehungsweise
das folgende Biegemoment zur Anwendung. Als maßgebend ist dabei die
Kombination der charakteristischen ständigen Einwirkungen aus Wand und Gewölbe
und der charakteristischen veränderlichen Einwirkungen aus der vollen Nutzlastbeanspruchung
des Bogenmauerwerkes zu betrachten. Es stellt sich wie auf Seite 3
Anhang 2 ersichtlich für diese Lastfallkombination die größte Ausmitte ein (Eingangswerte
siehe Seite 1 Anhang 2).
Seite 45

Nachweisführung nach Eurocode 6 in Anlehnung an ein Literaturbeispiel
N ,, = (−145,27 kN) + (−50,70 kN) + (−13,50 kN)
N ,, = −209,47 kN
M ,, = 24,32 kNm + (−47,83 kNm) + (−18,76 kNm)
M ,, = −42,27 kNm
Somit lässt sich die Ausmitte e rechnerisch bestimmen und der Nachweis im
Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit führen (Formel 20):
e =
−42,27 kNm
−209,47kN
≅ 0,202 m
0,202m <
1,00 m
3
≅ 0,333 m
Damit gilt der Nachweis ständiger und veränderlicher Einwirkungen auf das Fundament
des gemauerten Gewölbeendwiderlagers für den Schnitt 2-2 im Grenzzustand
der Gebrauchstauglichkeit als erfüllt. Die Stützlinie verlässt die 2. Kernweite der
Sohlfläche nicht.
4.7 Nachweis des Mittelpfeilers
4.7.1 Nachweis des Fugenbereiches 1-1
4.7.1.1 Druckfestigkeitsnachweis (GZT)
Die charakteristische Druckfestigkeit lässt sich unter Anwendung der Formel 4 rechnerisch
ermitteln. Die Konstanten nehmen auf Grundlage dessen, dass sich das Bogenmauerwerk
aus Kalksand-Vollsteinen mit Normalmörtel der Mörtelgruppe II zusammensetzt,
folgende Werte an (Tabelle 6):
Κ = 0,95 x 0,8 = 0,76
α = 0,585
β = 0,162
Mörtelfugen aus Normalmörtel, die in Wandebene
über Teile des Gewölbes verlaufen
Abminderung um 20 %
Auch hier darf die Mauerwerksdruckfestigkeit nach Eurocode 6 keinen Wert höher
als f = 45 N/mm² annehmen.
Seite 46

Nachweisführung nach Eurocode 6 in Anlehnung an ein Literaturbeispiel
Damit ergibt sich für die Druckfestigkeit des gegebenen Mittelpfeilers (Formel 4):
f = 0,76 x 15,0
N ,
mm²
x 2,5
N ,
mm²
≅ 4,298
N
mm²
Für den Nachweis der Druckfestigkeit ist den untersuchten vereinfachte Lastfallkombinationen
(Formel 3) zufolge ein Zusammenspiel von Eigengewicht und einer vollen
Nutzlastbeanspruchung aus den Wänden oberhalb des Mittelpfeilers und eines der
beiden angrenzenden Gewölbe maßgebend. Dabei besitzen sowohl die ständigen
als auch die veränderlichen Einwirkungen eine ungünstige Wirkung auf die Druckbeanspruchung
der Fuge 1-1 im Bereich des Mittelpfeilers (vergleiche Seite 2 Anhang
3). Dies liegt darin begründet, dass durch diese Lastfallkombination so große Normalkräfte
zustande kommen, dass die zugehörige Ausmitte als nicht maßgebend zu
werten ist. So ergeben sich in einer ständigen und vorübergehenden Bemessungssituation
für die Lastfallkombination 6 (exemplarischer Nachweis für Belastung des
rechten Tonnengewölbes) folgende Normalkräfte beziehungsweise Biegemomente
(Eingangswerte siehe Seite 1 Anhang 3; Teilsicherheitsbeiwerte gemäß Tabelle 2):
N , = 1,35 x (−164,70 kN − 101,40 kN) + 1,5 x (−13,50 kN − 55,0 kN)
N , ≅ −461,99 kN
M , = 1,35 x 0 + 1,5 x (−11,53 kNm + 0)
M , ≅ −17,29 kNm
Die Ermittlung der Bemessungslast des Tragwiderstandes erfolgt unter Anwendung
der Formel 10. Zunächst ist dazu die Bestimmung der zugehörigen Eingangsgrößen
erforderlich:
t = 600 mm Abbildung 11
b = 1000 mm
f = 4,298
1,5
²
≅ 2,865
N
mm²
1-m-Streifen des Tonnengewölbes
Formel 1
Dabei ist:
γ = 1,5
ständige und vorrübergehende Bemessungssituation;
unbewehrtes Mauerwerk aus Steinen der Kategorie
I und Rezeptmörtel
Seite 47

Nachweisführung nach Eurocode 6 in Anlehnung an ein Literaturbeispiel
f = 5,373
N
mm²
Tabelle 1
Φ = 1 − 2 x
0,037 m
≅ 0,877 Formel 11
0,600 m
Dabei ist:
e , =
−17,29 kNm
−461,99 kN
≅ 0,037 m vergleiche Formel 11
t = 0,600 m Abbildung 11
Damit ist es möglich, die Bemessungslast des Tragwiderstandes nach Formel 10
rechnerisch zu bestimmen und den Druckfestigkeitsnachweis zu führen:
N , = 0,877 x 600 mm x 2,865
N
mm²
x 1000 mm
≅ 1504000 N
> 461990 N = N ,
N ,
N ,
=
462,00 kN
1504,00 kN ≅ 0,307
Der Druckfestigkeitsnachweis des gemauerten Gewölbemittelpfeilers im Schnitt 1-1
gilt als erfüllt. Es erfolgt eine Ausnutzung der Bemessungslast des Tragwiderstandes
von rund 31 %.
4.7.1.2 Querkraftnachweis (GZT)
Um die charakteristische Schubfestigkeit rechnerisch zu ermitteln ist der Bemessungswert
der zugehörigen Druckspannung an der Stelle der maximalen Schubspannung
in der ungünstigsten Bemessungssituation (Lastfallkombination 7) zu bestimmen.
Diese Lastfallkombination ergibt sich aus dem Zusammenwirken der für die
Querkraftbeanspruchung günstigen Eigenlasten und dem ungünstigen Gewölbeschub
infolge der Nutzlastbeanspruchung. So nimmt die zugehörige Druckspannung
folgenden Wert an (vergleiche Seite 3 Anhang 3):
σ , =
286350 N
600000 mm² ≅ 0,477 N
mm²
vergleiche Formel 6
Seite 48

Nachweisführung nach Eurocode 6 in Anlehnung an ein Literaturbeispiel
Dabei ist:
N , = 1,0 x (−164,70 kN − 101,40 kN) +
1,5 x (−13,50 kN)
N , = −286,35 kN
M , = 1,0 x 0 + 1,5 x (−11,53 kNm)
M , ≅ −17,30 kNm
e =
−17,30 kNm
−286,35 kN
≅ 0,06 m
Formel 3
Eingangswerte siehe Seite
1 Anhang 3
Formel 3
Eingangswerte siehe Seite
1 Anhang 3
t = 600 mm Abbildung 11
t ,, = 3 60,0 mm
x 1 − 2 x x 600 mm
2 600 mm
vergleiche Formel 6
t ,, = 720 mm
< t = 600 mm (maßgebend) vergleiche Seite 3 Anhang 3
A = 600 mm x 1000 mm = 600000 mm² vergleiche Formel 6
Damit ergibt sich für die charakteristische Schubfestigkeit des gegebenen Gewölbewiderlagers
(Formel 6):
f , = f , = 0,6 x 0,477
N
mm² ≅ 0,286
N
mm²
Aus der entsprechenden vereinfachten Einwirkungskombination (Formel 3) ergibt
sich folgende Bemessungsquerkraft in einer ständigen und vorübergehenden Bemessungssituation
(Eingangswerte Seite 1 Anhang 3; Teilsicherheitsbeiwerte gemäß
Tabelle 2):
V , = 1,0 x 0 + 1,5 x 11,4 kN
V , = 17,10 kN
Die Ermittlung der Bemessungslast des Tragwiderstandes erfolgt unter Anwendung
der Formel 13. Zunächst ist dazu die Bestimmung der zugehörigen Eingangsgrößen
notwendig:
b = 1000 mm
1-m-Streifen des Tonnengewölbes
c = 1,5 vergleiche Formel 13
t , = t ,, = 600 mm
Seite 49

Nachweisführung nach Eurocode 6 in Anlehnung an ein Literaturbeispiel
f , = 0,286
1,5
²
≅ 0,191
N
mm²
Formel 1
Dabei ist:
γ = 1,5
f , = f , = 0,286
N
mm²
ständige und vorrübergehende Bemessungssituation;
unbewehrtes Mauerwerk aus Steinen der Kategorie
I und Rezeptmörtel
Tabelle 1
Damit ist es möglich, die Bemessungslast des Tragwiderstandes nach Formel 13
rechnerisch zu bestimmen und den Querkraftnachweis zu führen:
V , = 0,191
N
mm²
x 600 mm x
1000 mm
1,5
≅ 76400 N
< 17100 N = V ,
V ,
V ,
=
17,10 kN
76,40 kN ≅ 0,224
Der Querkraftnachweis des gemauerten Mittelpfeilers gilt als erfüllt. Es erfolgt eine
Ausnutzung der Bemessungslast des Tragwiderstandes von rund 22 %.
4.7.1.3 Nachweis der zulässigen Ausmitte (GZG)
Für den Nachweis im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit ist die charakteristische
Beanspruchung aus Eigenlasten und der vollen Nutzlastbeanspruchung eines
angrenzenden Gewölbebogens als maßgebend zu betrachten. Es stellt sich für diese
Kombination der Einwirkungen die größte Ausmitte ein. Zur Ermittlung dieser Ausmitte
werden das folgende Biegemoment und die entsprechende Normalkraft verwendet
(Eingangswerte Seite 1 Anhang 3):
N , = (−164,70 kN) + (−101,40 kN) + (−13,5 kN)
N , = −279,6 kN
M , = 0 + 0 + (−11,53 kNm)
M , = −11,53 kNm
Seite 50

Nachweisführung nach Eurocode 6 in Anlehnung an ein Literaturbeispiel
Somit lässt sich die Ausmitte e rechnerisch bestimmen (Formel 15) und der
Nachweis im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit führt unter Anwendung der
Formel 14 zu folgendem Ergebnis:
e =
−11,53 kNm
−279,6 kN
≅ 0,0412 m
0,0412 m <
0,60 m
3
≅ 0,20 m
Damit gilt der Nachweis des gemauerten Gewölbemittelpfeilers für den Schnitt 1-1 im
Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit als erfüllt. Die Stützlinie verlässt die 1.
Kernweite des gemauerten Widerlagers mit 0,60 m⁄ 6 = 0,10 m nicht, so dass die Fuge
vollständig überdrückt wird.
4.7.2 Nachweis der Fundamentsohle
4.7.2.1 Allgemeines
Für diesen Fugenbereich des Gewölbemittelpfeilers wird wie zuvor auf den Eurocode
7 zurückgegriffen. 1
Aufgrund dessen, dass keine genaue Klärung der Baugrundverhältnisse vorliegt,
werden in diesem Abschnitt der Arbeit bezüglich des Eurocode 7 nur die Beanspruchungen
auf der Einwirkungsseite zusammengestellt. Ein Vergleich mit dem Bauteilwiderstand
ist nachträglich im Zuge der Erstellung des notwendigen Baugrundgutachtens
zu führen.
4.7.2.2 Nachweis des Sohldruckes (GEO-2)
Die größten Sohldruckspannungen im Schnitt 2-2 entstehen unter der vereinfachten
Kombination (Formel 3) aus Eigenlasten der Wände und des Gewölbes, der vollen
Nutzlastbeanspruchung eines der beiden angrenzenden Gewölbe und den Nutzlasten
aus den Wänden oberhalb des Mittelpfeilers. Dabei wird allen Komponenten eine
ungünstige Wirkung auf die Höhe Sohldruckbeanspruchung zugesprochen. Dies liegt
darin begründet, dass durch diese Lastfallkombination so große Normalkräfte zu
Stande kommen, dass die vorherrschende Ausmitte als nicht maßgebend zu werten
ist. Für die einwirkenden Bemessungsschnittkräfte in einer ständigen Bemessungssituation
ergeben sich für die Lastfallkombination 6 (exemplarischer Nachweis für Belastung
des rechten Tonnengewölbes) somit folgende Werte (Eingangswerte siehe
1 Vgl. Norm DIN EN 1997-1:2009-09 einschließlich Nationaler Anhang
Seite 51

Nachweisführung nach Eurocode 6 in Anlehnung an ein Literaturbeispiel
Seite 1 Anhang 3; entsprechende Sicherheitsbeiwerte sind der Tabelle A 2.1 des
Eurocodes 7 1 entnommen):
N , = 1,35 x (−184,70 kN − 101,40 kN) + 1,5 x (−13,50 kN − 55,00 kN)
N , ≅ −488,99 kN
M , = 1,35 x 0 + 1,5 x (−19,70 kNm + 0)
M , ≅ −29,56 kNm
Für den vorliegenden Mittelpfeiler des Beispiels ergibt sich unter Anwendung der
Formel 17 auf der Seite der Einwirkung folgende Druckspannung im Bereich der
Sohlfläche (vergleiche Seite 4 Anhang 3):
σ =
488,99 kN
0,880 m²
≅ 555,7
kN
m²
Dabei ist:
−29,56 kNm
e = ≅ 0,06 m
−488,99 kN
vergleiche Abbildung 14
1,00 m
a = 2 x − 0,06 m = 0,88 m
2
vergleiche Abbildung 14
b = 1,00 m
1-m-Streifen des Fundamentes
A = 0,88 m x 1,00 m = 0,880 m² vergleiche Formel 17
Der ermittelte Wert der einwirkenden Sohldruckspannung ist im Anschluss mit dem
zulässigen Wert der durch den Boden aufnehmbaren Spannungen des Baugrundgutachtens
zu vergleichen. Für den Fall, dass die Einwirkungen die zulässigen
Spannungen übersteigen, besteht die Möglichkeit, den günstig wirkenden Erddruck
auf die Kelleraußenwand mit in die Berechnung einzubeziehen.
4.7.2.3 Nachweis der Gleitsicherheit (GEO-2)
Die für diesen Nachweis maßgebende einwirkende Bemessungskraft parallel zur
Schnittfläche 2-2 in einer ständigen Bemessungssituation wird durch die Lastfallkombination
7 beziehungsweise 8 generiert (vergleiche Seite 2 Anhang 3). Die ungünstigen
Einwirkungen werden demnach zusammengestellt aus den Belastungen
infolge des Gewölbeschubes und die günstigen aus den zu großen Normalkräften
1 Vgl. Norm DIN EN 1997-1:2009-09 einschließlich Nationaler Anhang
Seite 52

Nachweisführung nach Eurocode 6 in Anlehnung an ein Literaturbeispiel
führenden Belastungen. Die Begründung dessen basiert auf der Erhöhung des
Gleitwiderstandes durch Kräfte, die senkrecht zur Gleitfläche gerichtet sind. Zum
Zwecke des Gleitnachweises nimmt die Bemessungsquerkraft unter Anwendung der
Formel 3 folgenden Wert an (Eingangswerte siehe Seite 1 Anhang 3; entsprechende
Sicherheitsbeiwerte sind der Tabelle A 2.1 des Eurocodes 7 entnommen 1 ):
V , = 1,35 x 0 kN + 1,5 x 11,4 kN
V , = 17,1 kN
Auf Grundlage eines Baugrundgutachtens ist im Anschluss abzugleichen, ob der Widerstand
des Baugrundes unter Anwendung der Formel 18 ausreichend groß ist, um
ein Gleiten zu verhindern. Für den Fall, dass der Nachweis im Ergebnis als nicht erfüllt
zu werten ist, besteht die Möglichkeit, den günstig wirkenden Erddruck auf die
Kelleraußenwand mit in die Berechnung einzubeziehen.
4.7.2.4 Nachweis der zulässigen Ausmitte (SLS)
Für den Nachweis nach Formel 19 kommen die folgende Normalkraft beziehungsweise
das folgende Biegemoment zur Anwendung (Eingangswerte Seite 1 Anhang
3).
N ,, = (−184,70 kN) + (−101,40 kN)
N ,, = −286,1 kN
M ,, = 0
Somit lässt sich die Ausmitte e unter Anwendung der Formel 15 berechnen und der
Nachweis im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit führen (Formel 19):
e =
0 kNm = 0,00 m
−286,1kN
0,00 m <
1,00 m
6
≅ 0,167 m
Damit gilt der Nachweis für die ständigen Einwirkungen auf das Fundament des Mittelpfeilers
für den Schnitt 2-2 im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit als erfüllt.
1 Vgl. Norm DIN EN 1997-1:2009-09 einschließlich Nationaler Anhang
Seite 53

Nachweisführung nach Eurocode 6 in Anlehnung an ein Literaturbeispiel
Die Stützlinie verlässt die 1. Kernweite der Sohlfläche nicht. Ein Klaffen der Fuge ist
damit nicht zu erwarten.
Für den Nachweis nach Formel 20 kommen die folgende Normalkraft beziehungsweise
das folgende Biegemoment zur Anwendung. Als maßgebend ist dabei die
Kombination der charakteristischen ständigen Einwirkungen aus Eigenlasten und der
charakteristischen veränderlichen Einwirkungen aus der vollen Nutzlastbeanspruchung
eines der beiden angrenzenden Tonnengewölbe zu betrachten. Es stellt sich
wie auf Seite 4 Anhang 3 ersichtlich für diese Lastfallkombination die größte Ausmitte
ein (Eingangswerte Seite 1 Anhang 3).
N ,, = (−184,70 kN) + (−101,40 kN) + (−13,50 kN)
N ,, = −299,6 kN
M ,, = 0 kNm + (−19,70 kNm)
M ,, = −19,70 kNm
Somit lässt sich die Ausmitte e unter Anwendung der Formel 15 berechnen und der
Nachweis im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit führen (Formel 20):
e =
−19,70 kNm
−299,60 kN
≅ 0,066 m
0,066m <
1,00 m
3
≅ 0,333 m
Damit gilt der Nachweis für die ständigen und veränderlichen Einwirkungen auf das
Fundament des Mittelpfeilers für den Schnitt 2-2 im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit
als erfüllt. Die Stützlinie verlässt die 2. und sogar die 1. Kernweite der
Sohlfläche nicht, so dass der gesamte Querschnitt ohne Klaffen der Fuge überdrückt
wird.
Seite 54

Auswertung
5 Auswertung
Mauerwerksgewölbe sind statisch unbestimmte Tragwerke. Es existieren verschiedene
Möglichkeiten diese in ihrer Tragfähigkeit zu untersuchen und nachzuweisen.
So stellt die elastizitätstheoretische Betrachtungsweise des Gewölbes in Form eines
eingespannten Bogensystems einen lösbaren Ansatz dar. Dieser führt jedoch im Gegensatz
zu Berechnungen auf Grundlage der Plastizitätstheorie zu Ergebnissen, denen
es an Eindeutigkeit bei der Bestimmung des Kraftverlaufes respektive der Stützlinie
fehlt. Schon geringe Änderungen der Randbedingungen führen zu großen Änderungen
in den Schnittkraftverläufen und Auflagerreaktionen. Ein weiteres Defizit ist
unter dem Aspekt der Wirtschaftlichkeit zu begründen. So wird die Größe der maximalen
Beanspruchung bis zum Versagen in der Elastizitätstheorie erheblich eingeschränkt.
Wo die Grenzen der Elastizitätstheorie Zweifel an der Tragfähigkeit eines
gemauerten Bogens hervorrufen, können plastische Reserven genutzt werden. So
folgt nach dem Eintreten der Rissbildung in lokal eingegrenzten Bereichen nicht
zwingend ein vollständiges Versagen des Tragwerkes, sondern lediglich eine Anpassung
des statischen Systems an veränderte Randbedingungen. Mit der großen Bedeutung
des Bruchzustandes, der die statische Unbestimmtheit der Bogenkonstruktion
aufhebt, beschäftigten sich schon in der Vergangenheit Ingenieure, Wissenschaftler
und Mathematiker. Die daraus gewonnenen Erkenntnisse in Verbindung mit der
Plastizitätstheorie setzten sich für die Fachwelt im Bereich der Gewölbeberechnung
allmählich durch und gelten heute als ein praktikables Mittel für die Tragfähigkeitsermittlung.
Den normentechnischen Rahmen für die Nachweisführung am gewählten System
des Dreigelenkbogens bildet die DIN EN 1996-1-1(Eurocode 6) in Verbindung mit
dem national eingeführten Anhang Deutschlands. In diesem Regelwerk findet kein
direkter Bezug auf gemauerte Bögen und Gewölbe statt. Es ist jedoch möglich, die
vorhandenen Anforderungen und Nachweise zu übertragen und in einem geeigneten
Arbeitsablauf zusammenzufassen.
In dem gewählten Berechnungsbeispiel des letzten Abschnittes ist dieser Vorgang
exemplarisch umgesetzt. Keine Anwendung finden dabei Faktoren wie das Mitwirken
von Bogenhintermauerungen oder Brüstungen, die, falls vorhanden, einen erheblichen
Einfluss auf die Traglast eines Mauerwerksgewölbes haben. So bewirken diese
eine niedrigere Beanspruchung des gebogenen Systems und ermöglichen somit weitere
Reserven im Tragverhalten. Die Begründung dessen liegt in der behinderten
Verformungsfähigkeit des Bogens. Durch die zusätzliche Auflast auf der lastabgewandten
Bogenseite, die Scherbeanspruchung in der Fuge zwischen Bogenmauerwerk
und Aufmauerung und die Scheibenwirkung der Hintermauerung wird die Verdrehung
des Gewölbemauerwerkes eingeschränkt. Die Stützlinie verbleibt somit bei
steigender Belastung zentraler im Querschnittskern. Als Ergebnis dieser Arbeit konn-
Seite 55

Auswertung
te das Berechnungsbeispiel gemäß der normativen Anforderungen mit der Plastizitätstheorie
in seiner Tragfähigkeit nachgewiesen werden.
Für den Fall, dass ein gemauertes Bogentragwerk trotz der Berücksichtigung aller
Einflussfaktoren nicht ausreichend tragfähig ist, gibt es verschiedene Ertüchtigungsmaßnahmen.
Beispiele dafür stellen der Einbau von horizontalen Zugbändern in
Kämpferhöhe oder die Stabilisierung der Widerlager durch Erdanschüttungen oder
größere Auflasten zur Zentrierung des Gewölbeschubes in der Fuge dar. Durch die
Anwendung solcher Maßnahmen zur Erhöhung der Tragfähigkeit können Defizite
ausgeglichen und der Nutzen gesichert werden. Im Interesse der Wirtschaftlichkeit
und/ oder der Erhaltung des architektonischen Erbes kommt dem eine wichtige Rolle
zu.
Seite 56

Quellenverzeichnis
Quellenverzeichnis
GRAUBNER, Carl-Alexander; SCHMITT, Michael; http://www.massivbau.tudamstadt.de/media/massivbau_fgm/pdf_cag/pdf_05_publikationen/schmitt/PKA_The
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DIN EN 1990:2010-12
Eurocode 0: Grundlagen der Tragwerksplanung; Deutsche Fassung EN 1990:2002 +
A1:2005 + A1:2005/AC:2010
einschließlich
DIN EN 1990/NA:2010-12
Nationaler Anhang - National festgelegte Parameter - Eurocode 0: Grundlagen der
Tragwerksplanung
DIN EN 1991-1-1:2010-12
Eurocode 1: Einwirkungen auf Tragwerke – Teil 1-1: Allgemeine Einwirkungen auf
Tragwerke – Wichten, Eigengewicht und Nutzlasten im Hochbau; Deutsche Fassung
EN 1991-1-1:2002 + AC:2009
einschließlich
DIN EN 1991-1-1/NA:2010-12
Nationaler Anhang – National festgelegte Parameter – Eurocode 1: Einwirkungen auf
Tragwerke – Teil 1-1: Allgemeine Einwirkungen auf Tragwerke – Wichten Eigengewicht
und Nutzlasten im Hochbau
DIN EN 1996-1-1:2010-12
Eurocode 6: Bemessung und Konstruktion von Mauerwerksbauten - Teil 1-1: Allgemeine
Regeln für bewehrtes und unbewehrtes Mauerwerk; Deutsche Fassung EN
1996-1-1:2005 + Europäische Berichtigung AC:2009
einschließlich
Seite 57

Quellenverzeichnis
DIN EN 1996-1-1/ NA:2012-05
Nationaler Anhang - National festgelegte Parameter - Eurocode 6: Bemessung und
Konstruktion von Mauerwerksbauten - Teil 1-1: Allgemeine Regeln für bewehrtes
und unbewehrtes Mauerwerk
DIN EN 1996-3:2010-12
Eurocode 6: Bemessung und Konstruktion von Mauerwerksbauten - Teil 3: Vereinfachte
Berechnungsmethoden für unbewehrte Mauerwerksbauten; Deutsche Fassung
EN 1996-3:2006 + Europäische Berichtigung AC:2009
einschließlich
DIN EN 1996-3/ NA:2012-01
Nationaler Anhang - National festgelegte Parameter - Eurocode 6: Bemessung und
Konstruktion von Mauerwerksbauten - Teil 3: Vereinfachte Berechnungsmethoden
für unbewehrte Mauerwerksbauten
DIN EN 1997-1:2009-09
Eurocode 7: Entwurf, Berechnung und Bemessung in der Geotechnik - Teil 1: Allgemeine
Regeln; Deutsche Fassung EN 1997-1:2004 + AC:2009
einschließlich
DIN EN 1997-1/NA:2010-12
Nationaler Anhang - National festgelegte Parameter - Eurocode 7: Entwurf, Berechnung
und Bemessung in der Geotechnik - Teil 1: Allgemeine Regeln
FALTER, Holger; KAHLOW, Andreas; KURRER, Karl-Eugen: Vom geometrischen
Denken zum statisch-konstruktiven Ansatz im Brückenentwurf. In: Bautechnik, Jg. 78
(2001), H. 12 S. 889-902
HEYMAN, Jacques: The Stone Skeleton - Structural Engineering of Masonry Architecture.
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Seite 58

Quellenverzeichnis
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Steinkonstruktionen. In: Mauerwerks-Kalender. Berlin, 2008, S. 373-422
RIECHERS, Hans-Joachim: Mauermörtel. In: Mauerwerk-Kalender 2005, Ernst &
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STRITZKE, Jürgen: Steinbrücken. In: Handbuch Brücken - Entwerfen, Konstruieren;
Berechnen; Bauen und Erhalten. Berlin, 2010, S.362-375
WEBER, Wilmar Karlemann: Die gewölbte Eisenbahnbrücke mit einer Öffnung: Dissertation
Technische Universität München. München, 1998
Seite 59

Anhangverzeichnis
Anhangverzeichnis
Anhang 1
Anhang 2
Anhang 3
Statische Berechnung des Gewölbebogens
Statische Berechnung des Endwiderlagers
Statische Berechnung des Mittelpfeilers
Seite 60

Statische Berechnung des Gewölbebogens Anhang 1
Statisches System:
Seite 1 von 36

Statische Berechnung des Gewölbebogens Anhang 1
Seite 2 von 36

Statische Berechnung des Gewölbebogens Anhang 1
Seite 3 von 36

Statische Berechnung des Gewölbebogens Anhang 1
Seite 4 von 36

Statische Berechnung des Gewölbebogens Anhang 1
Seite 5 von 36

Statische Berechnung des Gewölbebogens Anhang 1
Seite 6 von 36

Statische Berechnung des Gewölbebogens Anhang 1
Seite 7 von 36

Statische Berechnung des Gewölbebogens Anhang 1
Seite 8 von 36

Statische Berechnung des Gewölbebogens Anhang 1
Seite 9 von 36

Statische Berechnung des Gewölbebogens Anhang 1
Seite 10 von 36

Statische Berechnung des Gewölbebogens Anhang 1
Seite 11 von 36

Statische Berechnung des Gewölbebogens Anhang 1
Seite 12 von 36

Statische Berechnung des Gewölbebogens Anhang 1
Seite 13 von 36

Statische Berechnung des Gewölbebogens Anhang 1
Seite 14 von 36

Statische Berechnung des Gewölbebogens Anhang 1
Seite 15 von 36

Statische Berechnung des Gewölbebogens Anhang 1
Seite 16 von 36

Statische Berechnung des Gewölbebogens Anhang 1
Seite 17 von 36

Statische Berechnung des Gewölbebogens Anhang 1
Seite 18 von 36

Statische Berechnung des Gewölbebogens Anhang 1
Seite 19 von 36

Statische Berechnung des Gewölbebogens Anhang 1
Seite 20 von 36

Statische Berechnung des Gewölbebogens Anhang 1
Seite 21 von 36

Statische Berechnung des Gewölbebogens Anhang 1
Seite 22 von 36

Statische Berechnung des Gewölbebogens Anhang 1
Seite 23 von 36

Statische Berechnung des Gewölbebogens Anhang 1
Seite 24 von 36

Statische Berechnung des Gewölbebogens Anhang 1
Seite 25 von 36

Statische Berechnung des Gewölbebogens Anhang 1
Seite 26 von 36

Statische Berechnung des Gewölbebogens Anhang 1
Seite 27 von 36

Statische Berechnung des Gewölbebogens Anhang 1
Seite 28 von 36

Statische Berechnung des Gewölbebogens Anhang 1
Seite 29 von 36

Statische Berechnung des Gewölbebogens Anhang 1
Seite 30 von 36

Statische Berechnung des Gewölbebogens Anhang 1
Seite 31 von 36

Statische Berechnung des Gewölbebogens Anhang 1
Seite 32 von 36

Statische Berechnung des Gewölbebogens Anhang 1
Seite 33 von 36

Statische Berechnung des Gewölbebogens Anhang 1
Seite 34 von 36

Statische Berechnung des Gewölbebogens Anhang 1
Seite 35 von 36

Statische Berechnung des Gewölbebogens Anhang 1
Seite 36 von 36

Statische Berechnung des Endwiderlagers Anhang 2
Seite 1 von 3

Statische Berechnung des Endwiderlagers Anhang 2
Seite 2 von 3

Statische Berechnung des Endwiderlagers Anhang 2
Seite 3 von 3

Statische Berechnung des Mittelpfeilers Anhang 3
Seite 1 von 4

Statische Berechnung des Mittelpfeilers Anhang 3
Seite 2 von 4

Statische Berechnung des Mittelpfeilers Anhang 3
Seite 3 von 4

Statische Berechnung des Mittelpfeilers Anhang 3
Seite 4 von 4

Ehrenwörtliche Erklärung
„Ich erkläre hiermit ehrenwörtlich“,
1. dass ich meine Diplomarbeit mit dem Thema
„Tragverhalten von Bögen und Gewölben aus Mauerwerk
auf Grundlage der Plastizitätstheorie“
ohne fremde Hilfe angefertigt habe.
2. dass ich die Übernahme wörtlicher Zitate aus der Literatur sowie die Verwendung
der Gedanken anderer Autoren an den entsprechenden Stellen innerhalb
der Arbeit gekennzeichnet habe und
3. dass ich meine Diplomarbeit bei keiner anderen Prüfung vorgelegt habe.
Ich bin mir bewusst, dass eine falsche Erklärung rechtliche Folgen haben wird.
Rochlitz, den 28.08.2013
Ort, Datum
Unterschrift

Berufsakademie Sachsen
Staatliche Studienakademie Glauchau
Bauingenieurwesen Hochbau
Diplomarbeit
Jenny Herrmann
BI10-1
Thesen zur Diplomarbeit
- Es gibt noch immer eine Vielzahl gemauerter Gewölbetragwerke in Nutzung. Daher
besteht die Notwendigkeit, diese in ihrer vorhandenen Tragfähigkeit nachzuweisen.
- Mauerwerksgewölbe sind als Tragwerk betrachtet statisch unbestimmte Systeme.
Das bedeutet, dass es nicht möglich ist, die Schnittkraftermittlung einzig auf
Grundlage der Gleichgewichtsbedingungen durchzuführen.
- Das elastizitätstheoretische Anwendungsmodell des eingespannten Bogenträgers
führt zu unwirtschaftlichen Ergebnissen mit fehlender Eindeutigkeit des
Kraftflusses. Schon kleine Änderungen der vorausgesetzten Rahmenbedingungen
führen zur Veränderung der Schnittkraftverläufe und Auflagerreaktionen.
- Die Rissbildung im Mauerwerksgewölbe deutet nicht zwingend auf das Versagen
des Bogentragwerkes hin, sondern stellt lediglich eine Anpassung der Struktur
an veränderte Rand- und Systembedingungen dar.
- Die Plastizitätstheorie legt den Bruchzustand des Bogentragwerkes, der die statische
Unbestimmtheit durch die Bildung von Gelenken aufhebt, zugrunde und
basiert auf der Untersuchung der Grenzzustände des Tragvermögens des Gewölbemauerwerkes.
Der Dreigelenkbogen wird dazu als ein geeignetes statisches
System angesehen.
- Den normentechnischen Rahmen zum Nachweis der Tragfähigkeit des gemauerten
Gewölbes in Form eines Dreigelenkbogens bietet die Mauerwerksnorm DIN
EN 1996-1-1 (Eurocode 6) einschließlich der nationalen Bestimmungen Deutschlands.
- Der Eurocode 6 stellt keinen konkreten Bezug zur Nachweisführung an Mauerwerksgewölben
her. Es ist allerdings möglich, die Anforderungen in einen geeigneten
Arbeitsablauf zu übertragen und anzuwenden.