Kapitel 2 Lineare und nichtlineare Gleichungen - Institut für ...

2.1 Lineare Gleichungssysteme 27
• Hermitesche Randbedingung: Die Steigungen bzw. Ableitungen des Splines an
den beiden Intervallenden werden vorgegeben. Es seien also zusätzlich f 0 und f n
gegeben, die Zusatzbedingungen sind s (x 0 )=f 0 und s (x n )=f n.
• Natürliche Randbedingung 3 : Es werden die zweiten Ableitungen an den Intervallenden
vorgegeben. Gegeben seien also f0 und fn (sehr oft ist f0 = fn =0), die
beiden Zusatzbedingungen sind s (x 0 )=f0 und s (x n )=fn.
• Not-a-knot Bedingung: Es wird gefordert, dass der kubische Spline in dem ersten
und dem letzten inneren Knoten, also in x 1 und x n−1 ,dreimalstetigdifferenzierbar
ist. Die Zusatzbedingungen sind also s (x 1 − 0) = s (x 1 +0)und
s (x n−1 −0) = s (x n−1 +0).DieseBedingungistangebracht,wennkeineInformationen
über erste oder zweite Ableitungen an den Intervallenden zur Verfügung
stehen.
Auf die Aufstellung der entsprechenden Gleichungssysteme gehen wir in den Aufgaben
3, 4 und 5 näher ein. ✷
2.1.2 LU-, QR- und Cholesky-Zerlegung: Motivation
Gegeben sei ein lineares Gleichungssystem Ax = b mit einer nichtsingulären Koeffizientenmatrix
A ∈ R n×n und einer rechten Seite b ∈ R n . Direkte Verfahren zur Lösung
linearer Gleichungssysteme beruhen darauf, eine gewisse Zerlegung der Koeffizientenmatrix
zu berechnen und das gegebene lineare Gleichungssystem in ein äquivalentes
lineares Gleichungssystem (äquivalent soll hierbei heißen, dass die Lösungen übereinstimmen)
mit einer oberen Dreecksmatrix als Koeffizientenmatrix zu transformieren.
Ein solches lineares Gleichungssystem kann dann durch sogenanntes Rückwärtseinsetzen
(backward substitution) mit 1 2 n(n +1) “flops” gelöst werden4 . Genauer werden wir
konstruktiv, also durch Angabe eines Algorithmus, zeigen:
• LU-Zerlegung: Sei A ∈ R n×n nichtsingulär. Dann existiert eine Permutationsmatrix
P ∈ R n×n (das ist eine quadratische Matrix, die in jeder Zeile und jeder
3 In Maple gibt es den Befehl spline. Z. B. erhält man durch spline([0,1,2,3],[0,1,4,3],x,3);
den kubischen Spline
⎧
⎪⎨
s(x) =
⎪⎩
1
5 x + 4 5 x3 , 0 ≤ x ≤ 1,
14
5 − 41 5 x + 42 5 x2 − 2x 3 , 1 ≤ x ≤ 2,
− 114
5 + 151
5 x − 54 5 x2 + 6 5 x3 , 2 ≤ x ≤ 3.
Dies ist ein natürlicher Spline in dem (eingeschränkten) Sinne, dass die zweiten Ableitungen an den
Intervallenden verschwinden.
4 Auf diese Anzahl ist schon der 10-jährige C. F. Gauß gekommen. Um die Schüler “ruhig zu stellen”,
gab der Lehrer ihnen die Aufgabe, die Zahlen von 1 bis 100 zu addieren. Gauß gab die richtige Antwort
5050 in Sekunden, sein Trick ist inzwischen wohlbekannt: Er addierte zunächst 1 und 99, dann 2 und
98 usw., erhält also als Summe der Zahlen von 1 bis 100 ohne 50 und 100 genau 49 · 100 = 4900.
Hinzufügen der beiden fehlenden Zahlen ergibt die gesuchte Zahl.