Kapitel 2 Lineare und nichtlineare Gleichungen - Institut für ...
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24 Lineare und nichtlineare Gleichungen –0.5 –1 y –1.5 –2 –1 –0.5 0 0.5 1 x Abbildung 2.1: Bahn eines Himmelskörpers Das Zeichnen der Ellipse geschieht am einfachsten mit Hilfe des implicitplot-Befehl von Maple. Die in Abbildung 2.1 gezeichnete Ellipse haben wir mit den folgenden Befehlen gewonnen: with(plots): a:=-1.383: b:=-0.665: c:=-0.671: d:=-3.371: e:=-0.475: implicitplot(x^2=a*y^2+b*x*y+c*x+d*y+e,x=-1.3..1.4,y=-2.4..0, grid=[80,80],scaling=constrained); Eine entsprechende Abbildung mit MATLAB herzustellen wäre wohl komplizierter. ✷ Beispiel: Interpolationsprobleme führen sehr oft auf die Aufgabe, ein lineares Gleichungssystem zu lösen. Gegeben seien z. B. paarweise verschiedene sogenannte Stützstellen x 0 ,...,x n ∈ R sowie zugehörige Stützwerte f 0 ,...,f n ∈ R. Mit P n bezeichnen wir den (n +1)-dimensionalen linearen Raum der Polynome vom Grad ≤ n. DieInterpolationsaufgabe bestehe darin, ein p ∈P n mit p(x i )=f i , i =0,...,n,zubestimmen. Diese Aufgabe ist eindeutig lösbar. Um dies einzusehen wähle man eine Basis von P n , es sei also P n =span{v 0 ,...,v n }.Z.B.istv j (x) :=x j , j =0,...,n (Monom-Basis). Der Ansatz p(x) = n j=0 α jv j (x) genügt den geforderten Interpolationsbedingungen genau dann, wenn n j=0 α jv j (x i )=f i , i =0,...,n, bzw. α =(α 0 ,...,α n ) T Lösung des linearen Gleichungssystems ⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ⎜ ⎝ v 0 (x 0 ) ··· v n (x 0 ) ⎟ ⎜ . . ⎠ ⎝ v 0 (x n ) ··· v n (x n ) ⎞ α 0 . α n ⎟ ⎠ = ⎜ ⎝ ⎞ f 0 ⎟ . ⎠ f n ist. Die Koeffizientenmatrix dieses linearen Gleichungssystems ist nichtsingulär. Denn ist ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ v 0 (x 0 ) ··· v n (x 0 ) β 0 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ . . ⎠ ⎝ . ⎠ = ⎝ . ⎠ , v 0 (x n ) ··· v n (x n ) β n 0
2.1 Lineare Gleichungssysteme 25 so ist q(x) := n j=0 β jv j (x) ein Polynom aus P n mit den n +1paarweise verschiedenen Nullstellen x 0 ,...,x n ,alsonotwendigerweisedasNullpolynom.Daheristdasoben angegebene Interpolationsproblem stets eindeutig lösbar. Bei der praktischen Anwendung nutzt man aus, dass man die Wahl einer Basis von P n in der Hand hat. Wählt man die Monombasis, so erhält man als Koeffizientenmatrix eine sogenannte Vandermondesche Matrix ⎛ ⎞ 1 x 0 x 2 0 ··· x n 0 1 x 1 x 2 1 ··· x n 1 V := 1 x 2 x 2 2 ··· x n 2 , ⎜ ⎝ . . . . .. ⎟ . ⎠ 1 x n x 2 n ··· x n n also eine voll besetzte Matrix, die i. Allg. auch noch ungünstige Stabilitätseigenschaften hat (was hier nicht näher erläutert werden soll). Das andere Extrem besteht darin, dass man eine sogenannte Lagrange-Basis wählt. Hier ist das j-te Basiselement gegeben durch L j (x) := n k=0 k=j x − x k x j − x k , j =0,...,n. Wegen L j (x i )=δ ij (Kronecker-Symbol), 0 ≤ i, j ≤ n, isthierdieKoeffizientenmatrix im linearen Gleichungssystem die Identität und p(x) = n f j L j (x) j=0 die sogenannte Lagrange-Darstellung des Interpolationspolynoms. Bei der Newton- Darstellung ist das j-te Basiselement durch j−1 N j (x) := (x − x k ), j =0,...,n k=0 gegeben (wobei natürlich N 0 (x) =1). Wegen N j (x i )=0, i =0,...,j − 1, istnun die Koeffizientenmatrix im linearen Gleichungssystem eine untere Dreiecksmatrix (mit nichtverschwindenden Diagonalelementen). Dies erlaubt das sukzessive Lösen des linearen Gleichungssystems durch sogenannte Vorwärtssubstitution. Der Newton-Ansatz hat gegenüber dem von Lagrange den Vorteil, dass die Hinzunahme einer neuen Stützstelle nicht die gesamte bisherige Arbeit überflüssig macht. Anmerkungen zur Interpolation von Polynomen auf relativ elementarem Niveau findet man auch bei T. Sonar (2001, S. 59 ff.) 2 . Eine Interpolation mit Polynomen hohen Grades ist nicht sinnvoll, weil die entstehenden Polynome zu starken Oszillationen neigen. Dies wollen wir durch ein berühmtes 2 T. Sonar (2001) Angewandte Mathematik, Modellbildung und Informatik. Eine Einführung für Lehamtsstudenten, Lehrer und Schüler. Viewg, Braunschweig-Wiesbaden.
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24 <strong>Lineare</strong> <strong>und</strong> <strong>nichtlineare</strong> <strong>Gleichungen</strong><br />
–0.5<br />
–1<br />
y<br />
–1.5<br />
–2<br />
–1 –0.5 0 0.5 1 x<br />
Abbildung 2.1: Bahn eines Himmelskörpers<br />
Das Zeichnen der Ellipse geschieht am einfachsten mit Hilfe des implicitplot-Befehl<br />
von Maple. Die in Abbildung 2.1 gezeichnete Ellipse haben wir mit den folgenden<br />
Befehlen gewonnen:<br />
with(plots):<br />
a:=-1.383: b:=-0.665: c:=-0.671: d:=-3.371: e:=-0.475:<br />
implicitplot(x^2=a*y^2+b*x*y+c*x+d*y+e,x=-1.3..1.4,y=-2.4..0,<br />
grid=[80,80],scaling=constrained);<br />
Eine entsprechende Abbildung mit MATLAB herzustellen wäre wohl komplizierter. ✷<br />
Beispiel: Interpolationsprobleme führen sehr oft auf die Aufgabe, ein lineares Gleichungssystem<br />
zu lösen. Gegeben seien z. B. paarweise verschiedene sogenannte Stützstellen<br />
x 0 ,...,x n ∈ R sowie zugehörige Stützwerte f 0 ,...,f n ∈ R. Mit P n bezeichnen<br />
wir den (n +1)-dimensionalen linearen Raum der Polynome vom Grad ≤ n. DieInterpolationsaufgabe<br />
bestehe darin, ein p ∈P n mit p(x i )=f i , i =0,...,n,zubestimmen.<br />
Diese Aufgabe ist eindeutig lösbar. Um dies einzusehen wähle man eine Basis von P n ,<br />
es sei also P n =span{v 0 ,...,v n }.Z.B.istv j (x) :=x j , j =0,...,n (Monom-Basis).<br />
Der Ansatz p(x) = n<br />
j=0 α jv j (x) genügt den geforderten Interpolationsbedingungen<br />
genau dann, wenn n<br />
j=0 α jv j (x i )=f i , i =0,...,n, bzw. α =(α 0 ,...,α n ) T Lösung des<br />
linearen Gleichungssystems<br />
⎛<br />
⎞ ⎛ ⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
v 0 (x 0 ) ··· v n (x 0 )<br />
⎟ ⎜<br />
.<br />
. ⎠ ⎝<br />
v 0 (x n ) ··· v n (x n )<br />
⎞<br />
α 0<br />
.<br />
α n<br />
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⎠ =<br />
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f 0<br />
⎟<br />
. ⎠<br />
f n<br />
ist. Die Koeffizientenmatrix dieses linearen Gleichungssystems ist nichtsingulär. Denn<br />
ist<br />
⎛<br />
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
v 0 (x 0 ) ··· v n (x 0 ) β 0 0<br />
⎜<br />
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝ .<br />
. ⎠ ⎝ . ⎠ = ⎝ . ⎠ ,<br />
v 0 (x n ) ··· v n (x n ) β n 0
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