Kapitel 2 Lineare und nichtlineare Gleichungen - Institut für ...

76 Lineare und nichtlineare Gleichungen
(a) Es ist A F = Spur(A T A) für jedes A ∈ R n×n . Hierbei ist die Spur einer Matrix
die Summe ihrer Diagonalelemente.
(b) Die Frobeniusnorm · F : R n×n −→ R hat die Eigenschaften einer Norm (Definitheit,
Homogenität und Dreiecksungleichung) und ist darüberhinaus submultiplikativ,
d. h. es ist AB ≤AB für alle A, B ∈ R n×n .
(c) Es ist A 2 ≤A F für alle A ∈ R n×n .
8. Man beweise, dass
lim 2+ 2+···+ √ 2 =2.
k Wurzeln
k→∞
9. Gegeben sei das nichtlineare Gleichungssystem
x1 − 0.1x
f(x) :=
2 1 − sin x 2
x 2 − cos x 1 − 0.1x 2 2
=0.
(a) Aus irgendeinem Grund vermuten Sie, dass das nichtlineare Gleichungssystem
f(x) = 0 eine Lösung in [0, 1] × [0, 1] besitzt. Verschaffen Sie sich durch den
implicitplot Befehl im plots-package von Maple eine Näherung.
(b) Benutzen Sie fsolve in Maple, um das System f(x) =0zu lösen. Bestimmen Sie
mehr als eine Lösung.
(c) Benutzen Sie eine selbst (z. B. in MATLAB) geschriebene Funktion, um das Gleichungssystem
zu lösen.
10. Gegeben 18 sei die Abbildung f : R 2 −→ R 2 mit
exp(x
f(x) :=
2 1 + x2 2 ) − 3
x 1 + x 2 − sin(3(x 1 + x 2 ))
Man bestimme die Funktionalmatrix f (x). Für welche x ist f (x) singulär?
.
18 Diese Aufgabe findet man bei
J. Stoer (1994, S. 356) Numerische Mathematik 1 .Springer,Berlin-Heidelberg-NewYork.