Kapitel 2 Lineare und nichtlineare Gleichungen - Institut für ...
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74 Lineare und nichtlineare Gleichungen so konvergiert {x k } bei hinreichend kleinem δ>0 für jedes x 0 mit x 0 − x ∗ ≤δ von mindestens zweiter Ordnung gegen x ∗ . Wir geben nun eine sehr einfache MATLAB-Funktion NewtonGLS zur Lösung eines nichtlinearen Gleichungssystems an: function [x,iter]=NewtonGLS(fun,x_0,tol,max_iter); %******************************************************************** %Input-Parameter: % fname Name einer Funktion fun. [f,f_strich]=fun(x) % ergibt Funktionswert und Funktionalmatrix der % Funktion in x % x_0 Startwert % tol positiver Wert, Abbruch wenn ||f||_2
2.2 Nichtlineare Gleichungen und Gleichungssysteme 75 2.2.5 Aufgaben 1. Gegeben 17 sei das nichtlineare Gleichungssystem x2 exp(x f(x 1 ,x 2 ):= 1 ) − 2 x 2 1 + x 2 − 4 =0. Durch Elimination von x 2 führe man diese Aufgabe auf die Bestimmung der Schnittpunkte zweier Funktionen in einer unabhängigen Variablen zurück. Mit Hilfe von Maple oder MATLAB bestimme man Näherungen für Lösungen des gegebenen nichtlinearen Gleichungssystems. 2. Als Variante zu Satz 2.2 zeige man: Sei f ∈ C 2 [a, b] mit f (x) > 0 und f (x) ≤ 0 für alle x ∈ [a, b],d.h.dieauf[a, b] zweimal stetig differenzierbare Funktion f sei auf [a, b] streng monoton wachsend und konkav. Ferner sei f(a) < 0
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74 <strong>Lineare</strong> <strong>und</strong> <strong>nichtlineare</strong> <strong>Gleichungen</strong><br />
so konvergiert {x k } bei hinreichend kleinem δ>0 <strong>für</strong> jedes x 0 mit x 0 − x ∗ ≤δ von<br />
mindestens zweiter Ordnung gegen x ∗ .<br />
Wir geben nun eine sehr einfache MATLAB-Funktion NewtonGLS zur Lösung eines<br />
<strong>nichtlineare</strong>n Gleichungssystems an:<br />
function [x,iter]=NewtonGLS(fun,x_0,tol,max_iter);<br />
%********************************************************************<br />
%Input-Parameter:<br />
% fname Name einer Funktion fun. [f,f_strich]=fun(x)<br />
% ergibt Funktionswert <strong>und</strong> Funktionalmatrix der<br />
% Funktion in x<br />
% x_0 Startwert<br />
% tol positiver Wert, Abbruch wenn ||f||_2
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