Kapitel 2 Lineare und nichtlineare Gleichungen - Institut für ...

2.2 Nichtlineare Gleichungen und Gleichungssysteme 73
1. Für ein p ≥ 1 konvergiert die Folge {x k } von mindestens p-ter Ordnung gegen
x ∗ ,wenneineKonstantec>0 (für p =1sei c ∈ (0, 1)) mit
für alle hinreichend großen k existiert.
x k+1 − x ∗ ≤c x k − x ∗ p
2. Die Folge {x k } konvergiert superlinear gegen x ∗ ,wenn
x k+1 − x ∗
lim
k→∞ x k − x ∗ =0.
Bemerkungen: Statt von Konvergenz von mindestens erster oder mindestens zweiter
Ordnung spricht man auch von linearer bzw. quadratischer Konvergenz.
Sind die Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes erfüllt, so liegt wegen
x k+1 − x ∗ = F (x k ) − F (x ∗ )≤q x k − x ∗
(hierbei ist q ∈ (0, 1) die Kontraktionskonstante) Konvergenz von mindestens erster
Ordnung bzw. lineare Konvergenz vor.
Nur die lineare Konvergenz ist normabhängig, die anderen Begriffe sind wegen der
Äquivalenz der Normen normunabhängig.
✷
Wir wollen uns mit einem einzigen Satz zur Konvergenz des Newton-Verfahrens begnügen
und geben diesen auch noch ohne Beweis an (Beweis z. B. bei J. Werner (1992,
S. 102 ff.)). Es ist ein lokaler Konvergenzsatz wie Satz 2.1 und verallgemeinert diesen
auf den mehrdimensionaslen Fall.
Satz 2.8 Die Abbildung f : R n −→ R n besitze in x ∗ ∈ R n eine Nullstelle, es sei also
f(x ∗ )=0. Es gelte:
1. Die Abbildung f ist auf einer Umgebung von x ∗ stetig differenzierbar.
2. Die Funktionalmatrix f (x ∗ ) ∈ R n×n ist nichtsingulär.
Es bezeichne ·eine beliebige Norm auf dem R n bzw. die zugeordnete Matrixnorm.
Dann existiert ein δ>0 derart, dass für jedes x 0 ∈ R n mit x 0 − x ∗ ≤δ die durch
das Newton-Verfahren
x k+1 := x k − f (x k ) −1 f(x k ), k =0, 1,...,
gewonnene Folge definiert ist (d. h. f (x k ) existiert und ist nichtsingulär für k =0, 1,...)
und superlinear gegen x ∗ konvergiert. Gilt sogar
3. f (·) ist auf einer (hinreichend kleinen) Kugel um x ∗ in x ∗ lipschitzstetig, d. h. es
existieren η>0 und L>0 mit
f (x) − f (x ∗ )≤L x − x ∗
für alle x mit x − x ∗ ≤η,