Kapitel 2 Lineare und nichtlineare Gleichungen - Institut für ...

72 Lineare und nichtlineare Gleichungen
Hierbei ist x 0 ∈ U ein geeigneter Startvektor. Ohne weitere Voraussetzungen ist die
Durchführbarkeit des Verfahrens natürlich nicht gesichert, also die Funktionalmatrix
f (x k ) existiert und nichtsingulär ist. Die Motivation (Linearisiere die nichtlineare Abbildung
f in aktueller Näherung) für das Verfahren ist im Prinzip genau dieselbe wie
im eindimensionalen Fall. Man beachte, dass man bei der Durchführung des Newton-
Verfahrens in jedem Schritt ein nichtlineares Gleichungssystem zu lösen hat:
• Sei x 0 Startvektor.
• Für k =0, 1,...:
– Bestimme p k mit f (x k )p k = −f(x k ).
– Berechne neue Näherung x k+1 := x k + p k .
Beispiel: Als Beispiel zum Banachschen Fixpunktsatz hatten wir die Fixpunktaufgabe
x = F (x) mit
F (x) := 1
cos x1 − sin x 2
2 sin x 1 +cosx 2
betrachtet. Zu lösen ist also das nichtlineare Gleichungssystem
f(x) :=
x1 − 1 2 (cos x 1 − sin x 2 )
x 2 − 1 2 (sin x 1 +cosx 2 )
=0.
Mit dem selben Startvektor wie bei der Fixpunktiteration geben wir einige Schritte des
Newton-Verfahrens an:
k
x k
0 1.00000000000000 1.00000000000000
1 0.26610581354771 0.60053910584450
2 0.22701533406014 0.54716433661596
3 0.22884672177495 0.54244444945610
4 0.22903704750276 0.54195442477264
5 0.22905692483687 0.54190280439516
6 0.22905902006463 0.54189735844629
7 0.22905924112547 0.54189678380833
8 0.22905926445122 0.54189672317348
9 0.22905926691252 0.54189671677538
10 0.22905926717223 0.54189671610027
Der Unterschied zur Fixpunktiteration ist deutlich.
Das Newton-Verfahren zeichnet sich sehr oft durch seine vorzügliche “Konvergenzgeschwindigkeit”
aus. Dies wollen wir jetzt genauer fassen:
Definition 2.7 Sei {x k }⊂R n eine Folge, die gegen ein x ∗ ∈ R n konvergiert. Für alle
k sei x k = x ∗ .Fernersei·eine Norm auf R n .
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